En el (a) estás asumiendo que hay una base en X, X', Y, Y', cuando eso no siempre se tiene, debido a que la base alguien te la tiene que dar.
(En realidad una topología es trivialmente una "base" que genera su propia topología..., o sea que técnicamente no es incorrecto lo que escribiste).
Es más interesante aprovechar las técnicas de bases para la topología producto, ya que ahí es donde simplifican el desarrollo.
Así, basta demostrar que si \( U\times V \) es básico en la topología producto \( \tau_p \), entonces es un abierto en \( \tau_p' \).
Pero esto es trivial ya que, si \( B \) es básico en \( \tau_p \), entonces \( B \) es de la forma \( B=U\times V \), con \( U\in \tau_X,V\in \tau_Y \) (o sea, abiertos cualesquiera, no hace falta que sean básicos).
Pero, debido a las inclusiones de topologías del enunciado, se tiene ahora que \( U\in\tau_{X'},V\in\tau_{Y'} \).
Se deduce entonces que \( U\times V \) es básico en \( X'\times Y' \), por lo tanto es abierto en esa topología.
Esto implica que todo abierto en \( \tau_p \) es abierto en \( \tau_{p'} \), lo cual se prueba de un modo totalmente rutinario, escribiendo cada abierto como unión de elementos de la base.
Pero esto último, que es rutina, conviene dejarlo para el final, y centrarse en la prueba de más arriba en lo que ocurre con los conjuntos "básicos".
Vos arrancaste directamente desde los abiertos de la topología producto, y eso no está mal, pero no le veo utilidad a que hayas empleado básicos en cada coordenada, para después no aprovechar los básicos en la topología producto.
Pero parece que tus cuentas son correctas a pesar de que el enfoque no es el más óptimo.
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En la parte (b) no entiendo qué estás haciendo, imagino que buscás un contraejemplo.
Pero el conjunto vacío en general no se toma como elemento de una base, no podés asumir que el vacío es elemento de una familia de conjuntos básicos.
Tampoco sirve pensar en topologías vacías.
Eso no sé qué tan claro está en cada libro, pero en general no se aceptan conjuntos vacíos como espacios topológicos.
Así que, si bien el vacío te destroza los productos cartesianos como conjuntos, en el caso del tema de topología no se podría usar con esa intención.
El enunciado asume que los productos satisfacen \( \tau_p\subset \tau_{p'} \).
Para ver que las topologías en cada coordenada X, Y, son más gruesas que cada coordenada X', Y',
basta usar proyecciones.
Hay que tomar preimágenes e imágenes de proyecciones, y jugando con eso vas a ver que te salen las inclusiones en cada coordenada.
Saludos
