Autor Tema: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)

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03 Mayo, 2012, 11:32 pm
Respuesta #490

alejandra

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Buenas...

En el ejercicio 14.7 me piden determinar relaciones de inclusiones entre topologias, tuve un inconveniente en relacionar la topologia de los complementos (Tf) con la topologia generada por la base \( {(\infty,a)/ a\in{\mathbb{R}} \} \) (Tr)


intuitivamente puedo deducir que \( Tr\not\subset{Tf} \wedge Tf\not\subset{Tr} \)

La primera no inclucion la demuestro haciendo...

Los elementos de Tf tienen la forma, \( U=\mathbb{R}-\displaystyle\bigcup_{k=1}^{k=n}{x_k } \)

\( (\infty,a)\neq{ \displaystyle\bigcup{U}} \) pues \( \forall{x>a,x\not\in{(\infty,a)}} \wedge  x\in{ \displaystyle\bigcup{U }} \)

Y como hago la otra?

Desde ya muchas gracias

03 Mayo, 2012, 11:58 pm
Respuesta #491

argentinator

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La notación está muy confusa, imagino que por culpa del Latex.

Supongo también que te referís a la topología de los complementos FINITOS (no de los "complementos").
Ambas topologías en R.

Bueno, sean pues \( T_f,T_r \) las topologías que indicaste.

La topología \( T_r \) sólo contiene intervalos \( (-\infty,a) \).

Obviamente, un tal elemento de \( T_r \) no tiene complemento finito, porque \( [a,\infty) \) es el complemento respecto R, que no es finito.
Por otra parte, si \( U \) es un abierto no trivial en \( T_f \), entonces su complemento es finito, y suopngo que lo que quisiste denotar son los puntos \( x_1,...,x_n \) del complemento.

Conviene pensar que esos puntos están ordenados, o sea, \( x_1< x_2< ...< x_n \).
Esto está bien porque son finitos, y luego hay un mínimo elemento, otro que le sigue, etc.

Entonces se escribe: \( U=R\setminus \{x_1,...,x_n\}=(-\infty,x_1)\cup \bigcup _{k=1}^{n-1}(x_{k},x_{k+1})\cup (x_n,\infty) \)

La pregunta es si ese conjunto puede pertenecer a \( T_r \).

La respuesta es que no, porque ese conjunto on es de la forma \( (-\infty,a) \) para algún \( a\in R \).

Si lo fuera, estaría acotado por algún número real \( a \), pero esto no sucede, porque \( U \) contiene al intervalo no acotado \( (x_n,\infty) \). (Lo aclaro por si no me creías lo que puse arriba).

___________

Así que esas dos topologías no pueden ser comparables.

Ninguna estará contenida en la otra.


04 Mayo, 2012, 03:25 am
Respuesta #492

argentinator

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Hola Alejandra.

Un colega me hizo notar que tengo un error en el modo en que planteé el siguiente ejercicio, que me consultaste la vez pasada:

Creo que primero convendría probar (si es que no figura ya como teorema o ejercicio previo) que la imagen de un isomorfismo ordinal de una sección es de nuevo una sección.

Sean D, E conjuntos bien ordenados, y sea \( h \) un isomorfismo ordinal de D en E.
Sea \( x \) un elemento de D, y sea \( S_x \) la sección correspondiente.
Mostraremos que \( h(S_x)=S_{h(x)} \).

En efecto, sea  \( z=h(x) \) la imagen en E de x.
Si \( \beta < z \) entonces \( \alpha =h^{-1}(\beta )<x \), porque tanto h como su inversa conservan el orden.
Esto muestra que \( \beta \in h(S_x) \).

Además, si \( \beta \geq z \), entonces \( \alpha \geq x \), otra vez porque h y su inversa conservan el orden, y así \( \beta \not\in h(S_x) \).

En conclusión, \( h(S_x)=S_z=S_{h(x)} \), con lo cual hemos probado que la imagen de una sección en D es una sección en E.

__________________

Después de probar este resultado, usando ahora que \( x\in E \), vemos que la sección \( S_x \) no es todo E, puesto que \( x \) mismo no está en \( S_x \).
La imagen de \( x \) es algún elemento \( z=\phi (x)\in E \), y de nuevo \( S_z \) no es todo E, porque no contiene al elemento \( z \).
Sin embargo, la imagen de \( S_x \) por \( \phi  \) es la sección \( S_z \), que ya sabemos que no es todo E.

Esto demuestra que ninguna sección de E tiene el mismo tipo de orden que E.


Te invito a que intentes resolverlo de nuevo por tu cuenta.

El inconveniente principal es que en ninguna parte he usado la hipótesis de buena ordenación de E.

Además, aunque el 1er resultado auxiliar que probé es cierto en general, y puede ser útil tenerlo a mano, no sirve para ese ejercicio.

Disculpas por el error, y que andes bien.

05 Mayo, 2012, 12:50 am
Respuesta #493

alejandra

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Hola!! gracias por avisar. Lo repasaré otra vez...

Espero no molestar... en el ejercicio 16.3 tengo que decir si ciertos conjuntos son abiertos en Y y \( \mathbb{R} \) pero no sé si la manera en que estoy resolviendo el ejercicio es correcto...

\( A={  x | 0.5<|x|<1 \} \), en conclusión digo que si, pertenecen a ambos.

Análisis: \( (-1,-0.5)=(-1,-0.5)\cap{[-1,1]} \) donde \( (-1,-0.5)\in{\mathbb{R}} \)
análogo para el otro conjunto.

\( (-1,-0.5)\cup{(0.5,1)}= \displaystyle\bigcup_{i\in{I}}{(a_i,b_i) } \)

B=\( \{ x | 0.5\leq{|x|}<1\} \)

\( B\not\in{\tau_y} \)

no existe \( M\in{\tau_\mathbb{R}}/ (-1,-0.5]=[-1,1]\cap{M} \) pues M es de la forma (a,b)

\( B\not\in{\tau_\mathbb{R}} \)
supongamos que \( [0.5,1)= \displaystyle\bigcup_{i\in{I}}{(a_i,b_i) } \)
\( \exists{i_o\in{I}}/0.5\in{(a_i_o,b_i_o)}\rightarrow{a_i_o<0.5<b_i_o}\rightarrow{[0.5,1)\subset{(a_i_o,b_i_o)}} \) absurdo

E=\( \{ x | 0\leq{|x|}<1 y 1/x con x\in{\mathbb{Z_+}}\} \)

por intuición digo que pertenece a ambos, pero ahora cómo puedo realizar un análisis?

Saludos y muchas gracias  :laugh:

05 Mayo, 2012, 05:17 am
Respuesta #494

argentinator

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 en el ejercicio 16.3 tengo que decir si ciertos conjuntos son abiertos en Y y \( \mathbb{R} \) pero no sé si la manera en que estoy resolviendo el ejercicio es correcto...

\( A={  x | 0.5<|x|<1 \} \), en conclusión digo que si, pertenecen a ambos.

Análisis: \( (-1,-0.5)=(-1,-0.5)\cap{[-1,1]} \) donde \( (-1,-0.5)\in{\mathbb{R}} \)
análogo para el otro conjunto.

\( (-1,-0.5)\cup{(0.5,1)}= \displaystyle\bigcup_{i\in{I}}{(a_i,b_i) } \)

Esto está bien planteado, pero está mal redactado.
A lo último escribiste el conjunto \( A \) como unión de intervalos.
¿Para qué?
¿Y cuáles intervalos? ¿O qué quisiste decir ahí?

Lo que estás intentando demostrar es que \( A \) es abierto en la topología de subespacio de \( Y=[-1,1] \).
Entonces eso es lo que tenés que dejar claro en tu argumentación.
Lo podés decir con símbolos o con palabras, pero tiene que ser claro, eso es lo que importa.

Podrías decir algo como esto: "Hemos podido escribir \( A \) como unión de (dos) conjuntos abiertos en la topología de subespacio \( Y \), por lo tanto \( A \) es abierto en dicha topología".

O bien, en símbolos:

Puesto que \( A=(-1,-0,5)\cup (0,5,1) \) y \( (-1,-0,5),(0,5,1)\in\tau_Y \), entonces \( A\in Y \).

Citar
B=\( \{ x | 0.5\leq{|x|}<1\} \)

\( B\not\in{\tau_y} \)

no existe \( M\in{\tau_\mathbb{R}}/ (-1,-0.5]=[-1,1]\cap{M} \) pues M es de la forma (a,b)


Esto está incompleto e impreciso.

Pareciera que estás tratando de trabajar con elementos de la base, pero faltan cosas que probar.

La idea es ésta:

* Todo abierto en una topología se puede escribir como unión de elementos de alguna base, si te dan alguna.
* Para demostrar que un conjunto no es abierto en esa topología, razonamos por absurdo pensando que sí es abierto.
* Pero si es abierto, es unión de (algunos de los) elementos de la base, siempre.
* Luego, cada punto del conjunto está cubierto por algún elemento de la base, que a su vez está contenido en el conjunto.
* Si hallamos un tal elemento de la base que está contenido en el conjunto... pero a la vez no lo está, llegamos al absurdo buscado.

Siguiendo ese camino, dibujando los intervalos en un borrador, y especulando con lo que va pasando, vamos obteniendo esto:

(1) Supongamos que \( B\in\tau_Y \) (o sea, abierto en la topología subespacio \( Y \)).
(2) Entonces existe una familia \( \{M_j\}_{j\in J} \) de elementos básicos de \( \tau_Y \) tal que \( U=\bigcup _{j\in J}M_j \).
(3) En particular, existe \( j\in J \) tal que \( 0,5\in M_j \). Llamémosle \( M \) a este elemento \( M_j \), para seguir tu notación.
(4) Como la base de \( \tau_Y \) se obtiene intersecando intervalos abiertos  (básicos de R) con \( Y \), tenemos que: existe \( (a,b) \) tal que \( M=Y\cap (a, b) \).
(Llegamos a lo que vos escribiste).

Vos lo hiciste con -0,5, y yo lo hice con 0,5... pero es lo mismo.

En resumen, tenemos estos hechos importantes, que conducirán a lo que buscamos:

\( 0,5\in M, M\subset B \) (pues \( M \) era uno de los \( M_j \) de la unión).

(5) Fijate que el intervalo \( (a,b) \) podría ser muy grande, y no nos sirve para el análisis que estamos haciendo. Necesitamos llegar a una contradicción, y para eso basta observar lo que pasa "localmente", o sea "cerquita" del punto 0,5.

(6) Entonces observamos que si \( 0< a'< 0,5 \) y si \( a< a' \), entonces \( M'=(a',b)\cap Y \) es un conjunto aún más pequeño, y que todavía está contenido en \( B \), pues: \( M'\subset M\subset B \).

Además, también sigue ocurriendo que \( 0,5\in M' \).

Así que tomaremos \( M \) ó \( M' \) como nuestro conjunto básico, según lo que nos convenga.

Voy a denotar a ambos con la misma \( M \)... mmmmm

Tenemos ahora que \( M=(a,b)\cap [-1,1] \) es un intervalo de números reales que contiene al elemento 0,5.
(Esto es un hecho elemental de los números reales, o sea: la intersección de dos intervalos que tienen un punto en común, es de nuevo un intervalo que contiene a ese punto común).

Pero observemos que el intervalo \( (a, 0,5] \) está contenido en \( M \), que a su vez está contenido en \( B \).
Esto quiere decir que \( B \) contiene elementos \( x \) que están entre \( a \) y \( 0,5 \), y mayores todavía que -0,5...

Esto es absurdo.

_______________

Me paré en muchos detalles, por las dudas.
No sé si vos tenés que escribir tantos detalles.

En realidad, para no dar tantas vueltas, lo que conviene es ir comprendiendo cómo se trabaja con elementos básicos.

En este caso, lo que hicimos fue un análisis "localizado" del conjunto \( B \).
O sea, nos paramos en un punto \( x \) (x = 0,5) del que sospechamos que tiene un comportamiento anómalo, y a partir del cual hallaremos una contradicción.

(O sea, si B no es abierto, es por "culpa" del 0,5).

Cuando se hace un análisis "localizado", conviene hacerlo con elementos de la base tan "pequeños" como sea necesario.
Si uno tiene un elemento M de la base, contenido en B, que contiene el punto x, siempre puede encontrar un elemento básico N que siga cumpliendo lo mismo que M, pero que sea más chico que M.

Esto se infiere de las propiedades de las bases, y es una propiedad útil, pues en topología, muchas veces, conviene irse "tan cerca" como se pueda.
Después de todo, la topología tiene que ver con continuidad y procesos de límite.

Hay que acostumbrarse a manejar con soltura "entornos pequeños alrededor de un punto dado".


Citar
\( B\not\in{\tau_\mathbb{R}} \)
supongamos que \( [0.5,1)= \displaystyle\bigcup_{i\in{I}}{(a_i,b_i) } \)
\( \exists{i_o\in{I}}/0.5\in{(a_i_o,b_i_o)}\rightarrow{a_i_o<0.5<b_i_o}\rightarrow{[0.5,1)\subset{(a_i_o,b_i_o)}} \) absurdo

 

Esta parte es muy parecido a la anterior, y sospechosamente lo resolviste mucho mejor.
Quizás es porque la topología es la de R, y no la topología relativa...

Lo que hiciste mal es el último paso, porque eso no es cierto en general, y además el absurdo no sale así.

Lo que vos tenés es que \( (a_{i_o},b_{i_o})\subset B \), por la manera en que escribiste B, como unión de esos intervalos...

Pero entonces, como  \( a_{i_o}< 0,5< b_{i_o} \), estás diciendo que los puntos del intervalo \( (a_{i_o},0,5] \) están contenidos en \( B \).
Pero en \( B \) no hay puntos que cumplan eso (y que estén "cerquita" del 0,5).
Ahí está el absurdo.
La idea es como antes.

______________


A ver si logro simplificar algunas cosas.

Si en vez de B, tuvieras solamente el conjunto \( C=[0,5,1) \), no haría falta hacer esos análisis que hice de irme tan "cerquita" del 0,5.
De hecho, cualquier intervalo hallado (a, b) en los razonamientos previos, con \( a< 0,5< b \) ya sirve, porque \( (a,0,5] \) queda contenido en B, absurdo.

Acá, lo que "molesta" es que B es unión de dos pedazos, y uno no quiere "mezclar" el pedazo \( (-1,-0,5] \) con el pedazo \( [0,5,1) \).

Por eso, se hace un análisis un poquito más fino, y se buscan conjuntos básicos que no sean cualesquiera, sino lo bastante cercanos al 0,5, como para que me "pesquen" puntos del pedazo \( (-1,-0,5] \).
Lamento no haberlo explicado antes, que puede haber enturbiado las ideas de la demostración.
Pues en realidad la idea original es muy simple.

_______________

En cuanto al conjunto \( E \), no sé qué te dice tu intuición, quizás si describieras un dibujo de la situación podría "creerte", jeje.

Lo que tenés ahí es el intervalo abierto (-1, 1), que es abierto en R, al que le has quitado la sucesión de los números de la forma 1/n, con n = 1, 2, 3, 4, ...

Cuando uno quita puntos que están "separados" entre sí una cierta distancia, lo que te queda entre dos de ellos es un "intervalo abierto" en la recta.
O sea que pareciera que sí, que es abierto, porque uno uniría los intervalos intermedios \( (1/n, 1/(n+1)) \), y eso te da un conjunto abierto.

Sin embargo no es abierto, pues hay un "problemilla" en el punto \( x=0 \), que es el límite de la sucesión 1/n.
Esto es un problema "sólo" cuando agregamos los elementos negativos, porque estamos agregando el intervalo \( (-1,0] \), que "intuitivamente" no es un conjunto abierto.
No hace falta probar que este intervalo no es abierto, pero usaremos esta información para demostrar que E no es abierto.

Razonamos con bases, como hasta ahora.
Como sospechamos que el culpable de arruinar el ejercicio es el x = 0, entonces analizamos lo que pasa ahí.

Supongamos que E es abierto en R.
En particular, existe un elemento básico \( (a, b) \)  tal que \( 0\in (a, b) \) y tal que \( (a, b)\subset (-1,1) \).

Tenemos que \( a< 0< b \).

Como 1/n tiende a 0, sabemos que existe un n tal que \( 0< 1/n <  b \). Con lo cual \( 1/n\in (a, b)\subset E \).

Pero \( 1/n\not\in E \), y esto es una contradicción.

Lo mismo pasará para el subespacio Y porque E está contenido en Y.
________

Fijate que las cuentas salen de forma casi automática, una vez que uno se ha situado correctamente en el problema. (En este caso, apuntándole los tiros al x = 0).

Saludos

05 Mayo, 2012, 07:59 pm
Respuesta #495

alejandra

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Citar
En cuanto al conjunto \( E \), no sé qué te dice tu intuición, quizás si describieras un dibujo de la situación podría "creerte", jeje.

Lo que tenés ahí es el intervalo abierto (-1, 1), que es abierto en R, al que le has quitado la sucesión de los números de la forma 1/n, con n = 1, 2, 3, 4, ...

Cuando uno quita puntos que están "separados" entre sí una cierta distancia, lo que te queda entre dos de ellos es un "intervalo abierto" en la recta.
O sea que pareciera que sí, que es abierto, porque uno uniría los intervalos intermedios \( (1/n, 1/(n+1)) \), y eso te da un conjunto abierto.

Sin embargo no es abierto, pues hay un "problemilla" en el punto \( x=0 \), que es el límite de la sucesión 1/n.
Esto es un problema "sólo" cuando agregamos los elementos negativos, porque estamos agregando el intervalo \( (-1,0] \), que "intuitivamente" no es un conjunto abierto.
No hace falta probar que este intervalo no es abierto, pero usaremos esta información para demostrar que E no es abierto.


Razonamos con bases, como hasta ahora.
Como sospechamos que el culpable de arruinar el ejercicio es el x = 0, entonces analizamos lo que pasa ahí.

Supongamos que E es abierto en R.
En particular, existe un elemento básico \( (a, b) \)  tal que \( 0\in (a, b) \) y tal que \( (a, b)\subset (-1,1) \).

Tenemos que \( a< 0< b \).

Como 1/n tiende a 0, sabemos que existe un n tal que \( 0< 1/n <  b \). Con lo cual \( 1/n\in (a, b)\subset E \).

Pero \( 1/n\not\in E \), y esto es una contradicción.

Lo mismo pasará para el subespacio Y porque E está contenido en Y.
________

Fijate que las cuentas salen de forma casi automática, una vez que uno se ha situado correctamente en el problema. (En este caso, apuntándole los tiros al x = 0).

Saludos


Si me hubieran dado el conjunto \( \{ x | 0<|x|<1 y 1/x con x\in{\mathbb{Z_+}}\} \)

los intervalos intermedios \( (1/(n+1), 1/n) \) abiertos en \( \mathbb{R} \) y agrregando el intervalo abierto (-1,0) en \( \mathbb{R} \) seria por union de conjuntos abiertos un abierto en \( \mathbb{R} \)
Para el subespacio Y digo...

\( E\subset{Y} \) entonces puedo escribir los elementos de E como unión de conjuntos abiertos  de \( {\tau_y} \)

Estaría bien? o habría alguna complicación por el cero?, yo supongo que no, porque a pesar de que el cero este en Y existen elementos básicos de la forma \( (a,b)\in{\tau_y} \) excluyendo el elemento cero, para el cual pueda escribir a E como unión de los mismos.

Desde ya muchas gracias, me ha clarificado mejor el tema! muchas gracias por su disposición.

05 Mayo, 2012, 08:06 pm
Respuesta #496

argentinator

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09 Mayo, 2012, 03:14 am
Respuesta #497

alejandra

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Hola Argentinator tengo una consulta... las topologias conservan la inclusión? por ejemplo si \( \tau_1\subset{\tau_2} \wedge \tau_2\subset{\tau_3}\longrightarrow{\tau_1\subset{\tau_3}}? \)

09 Mayo, 2012, 03:18 am
Respuesta #498

argentinator

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09 Mayo, 2012, 03:44 am
Respuesta #499

alejandra

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\( \tau_3 \) es la topologia de los complementos finitos e \( \tau_4 \)es la del limite superior y \( \tau_1 \) es la usual entonces para probar que \( \tau_3\subset{\tau_4} \)

Tomo un elemento básico U de \( \tau_3 \) este es union de elementos de la topologia usual pues es de la forma (a,b) entonces

\( U=R\setminus \{x_1,...,x_n\}=(-\infty,x_1)\cup \bigcup _{k=1}^{n-1}(x_{k},x_{k+1})\cup (x_n,\infty)

\tau_3\subset{\tau_1} entonces \tau_3\subset{\tau_4} pues  \tau_1\subset{\tau_4} \)

¿Está bien?

Saludos