Las funciones \( X^{Z_+} \) para cualquier conjunto \( X \) son las bien conocidas "sucesiones de elementos de X", o sea, si tenés una función
\( f\in X^{Z_+} \), quiere decir que \( f:Z_+\to X \), o sea, una función con dominio los enteros positivos e imagen en X.
Esto a su vez se puede visualizar como una sucesión (de hecho, ES una sucesión), pues si en vez de escribir \( f(1),f(2), \), etc., escribimos
\( (a_1,a_2,a_3,...) \)
donde \( a_j=f(j) \), todo \( j \),
entonces, lo que estamos diciendo en este ejercicio en particular con X = {0,1} es que hablamos de sucesiones de 0's y 1's.
Ahora una "función" finalmente 0, quiere decir que, si la miramos como "sucesión", hay un índice N a partir del cual la sucesión se hace 0 de ahí en adelante:
\( a_1,a_2,...,a_N,0,0,0,... \)
Esto ahora visto de nuevo como "función", se dice así:
\( \exists{N\in Z_+}:(\forall{j> N}:f(j)=0). \)
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Siempre conviene "mirar" a las funciones con dominio \( Z_+ \) como sucesiones, y viceversa.
Matemáticamente es "exactamente" lo mismo.
La única diferencia es la "intuición" que se obtiene en la "manera en que se escribe".
Es decir, la sucesión es una manera de escribir la función de modo que nos recuerde a una "lista ordenada de objetos".
Pero eso es sólo una ayuda intuitiva.
Técnicamente, una sucesión es una función con dominio \( Z_+ \).
Por otro lado, una función de un conjunto A en {0,1} conviene pensarla también como la "función característica" de un cierto subconjunto B de A.
En efecto, si \( f=\chi_B:A\to\{0,1\} \), se tiene que
\( \chi_B(x)=1 \) si y sólo si \( x\in B \), y
\( \chi_B(x)=0 \) si y sólo si \( x\not\in B \).
A su vez, si \( f \) es una función \( f:A\to\{0,1\} \), entonces es la característica de algún subconjunto B de A, pues basta definir:
\( B=\{x\in A:f(x) =1\} \)
y luego es trivial verificar que \( f=\chi_B \) (o sea, \( f(x) = \chi_B(x) \) para todo \( x\in A \)).
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Una función finalmente cero en el ejercicio citado, es una sucesión de 0's y 1's (corregido) enteros positivos que son finalmente 0 en el sentido arriba explicado, o sea, esas funciones son elementos de \( \{0,1\}^{Z_+} \) que son 0 "a partir de un cierto índice N dado".
