Autor Tema: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)

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07 Junio, 2011, 06:03 pm
Respuesta #470

argentinator

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Bastaría con Cálculo de una variable,
pero tal vez convenga tener experiencia con cursos superiores: cálculo de varias variables, análisis avanzado, haber visto por ahí espacios métricos, espacios de funciones y límites, convergencia uniforme, etc.

Pero eso es una recomendación no más, porque los temas son bastante autocontenidos, y yo contesto cualquier pregunta relativa a los ejercicios del libro.

Saludos

23 Febrero, 2012, 02:13 am
Respuesta #471

pierrot

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Buenas noches argentinator

Estoy en la misma situación que Richard. Estudio ingeniería en computación y en mi carrera naturalmente no tengo ninguna asignatura que se llame "Topología". Lo único que sé es el capítulo 1 del libro de Juan de Burgos, Cálculo Infinitesimal de varias variables, en el que se hace una breve introducción a la topología del espacio euclídeo \( \mathbb{R}^p \). Pero la materia ciertamente me interesa y en varias oportunidades he estado tentado de estudiarla de manera autodidacta.

Más allá de que he estudiado algunos temas por mi cuenta, mi experiencia me dice que es mucho más enriquecedor aprender con alguien que te guíe y te explique lo que no entiendes. Tal vez esta impresión haya sido fomentada por el hecho de que en facultad he tenido buenos profesores que despiertan el interés del alumno y lo estimulan. Desconocía que había un curso de Topología en el foro; había visto otros, pero éste se me había pasado por alto. Me parece una excelente idea que se dicten estos cursos y felicito a todos aquellos que participen ya sea como profesores o como alumnos, pero especialmente a los profesores, por todo el tiempo dedicado a contribuir al conocimiento de otros. Me parece un acto de solidaridad digno de admiración.

No sé si puedo integrarme a estas alturas, ya que veo que el curso está muy avanzado (se inició hace más de un año). He visto además que ya muchos han intervenido en la resolución de los ejercicios o haciendo comentarios de los temas (y yo en caso de inscribirme, empezaría por el principio). Tal vez te sea a ti muy cansador tener que repetir las mismas cosas.

Por otra parte, la semana que viene empiezo las clases y mi disponibilidad horaria se ve fuertemente reducida (además tengo 4 horas diarias de viaje -dos de ida, y dos de vuelta-, ya que soy del interior y la facultad es en Montevideo). Si todos los ómnibus tuvieran wi-fi sería estupendo, pero por el momento no es así :'(. Dadas estas complicaciones, tengo miedo de asumir un compromiso demasiado serio, por ejemplo, con lo que respecta a la resolución de ejercicios. Por otra parte, sé que es necesario cierto nivel de exigencia para poder aprender. Es como contradictorio, pero veré como puedo hacer.

Desde ya, muchas gracias por tu atención.

Saludos
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23 Febrero, 2012, 11:41 am
Respuesta #472

argentinator

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Bueno, tendría que aclarar de alguna manera en algún lugar que aunque el curso esté "empezado", en realidad cada persona puede comenzar por donde le guste, y a su propio ritmo.

Las bases teóricas que se necesitan para Topología son muy pocas, básicamente se necesita teoría de conjuntos algo avanzada, y haber cursado cálculo de una o varias variables.
Las bases de conjuntos necesarias están cubiertas en el curso, ya que agregué el capítulo de teoría de conjuntos, y es igual al Taller de teoría de conjuntos que puse por ahí en forma aislada.
En ambos cursos se pueden discutir los mismos ejercicios de Munkres de Teoría de conjuntos.

Sin embargo, la dificultad está en el grado de abstracción y en la práctica de los ejercicios.

Pero ese tipo de cosas se pueden discutir todo lo que haga falta.
Estudiar vos solo, con las bases que mencionás que tenés, me parece que puede ser una cuesta arriba, aunque a lo mejor no, eso no lo puedo saber.

El libro que estamos siguiendo tiene ejercicios de nivel intermedio, no son difíciles, pero requieren cierto esfuerzo intelectual, y práctica de conjuntos.

Si la práctica con conjuntos te lleva tiempo antes de empezar con topología, no te desanimes, es tiempo bien invertido para toda la matemática en general.
Además ciertos temas de teoría de conjuntos se pueden pasar por alto hasta que realmente hagan falta.

En cuanto al proceso de abstracción, yo agregué en la teoría una introducción que no está en el libro de Munkres, que permite ver la Topología desde varios puntos de vista, a partir de hechos conocidos y elementales, como por ejemplo los intervalos abiertos en la recta real.

Quizá no queda claro un concepto importante, que es el de la continuidad, que viene más adelante.

Te comento acá entonces que la noción de continuidad es la primer que se intenta generalizar a conjuntos cualesquiera, y para ello se necesita la noción de entorno pequeño alrededor de un punto, para definir cierta noción de convergencia allí.
Esos entornos en realidad serán tanto pequeños como grandes, y son lo que en Topología General reciben el nombre de conjuntos abiertos.

Reemplazan a los intervalos abiertos en R, o a las bolas abiertas en el n-espacio real, o en los complejos.

De allí que la definición de abierto sea central en topología, y se empieza por ahí.

Creo que sería sabio de mi parte agregar alguna aclaración sobre esto en la introducción.

Saludos

28 Marzo, 2012, 08:22 pm
Respuesta #473

alejandra

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Hola! En el ejercicio de la sección 3 "relaciones" tengo un problema para demostrar que
siendo los conjuntos [0,1]=\( \{x | 0\leq {x}\leq 1\} \) y [0,1)=\( \{x | 0\leq {x}\leq 1\} \)
(es estricta la desigualdad enel segundo conjunto pero no se escribirla con esos códigos, disculpen)
el conjunto [0,1]\times{[01]}, [0,1]\times{[01)}, [0,1)\times{[01]} con la relacion del diccionario poseen la propiedad del supremo.

Resolucion: Para el caso[0,1]\times{[01]} en la grafica tenemos un cuadrado cerrado.

Primero supongamos que para todo punto (a,b) en (0,1)\times(0,1) podemos siempre tomar un radio  \varepsilon\geq0  / \( \{(x,y):d((a,b),(x,y))\leq{\epsilon}\} \)
Asi estaria considerando todas aquellas esferas cerradas contenidas en el conjunto (0,1)\times(0,1).
Tomemos la espera \( (a-x)^2 \)  + \( (b-y)^2 \)\ leq{\( \epsilon^2 \)}\ \subset{[0,1]\times{[01]}}
entonces este conjunto esta acotado superiormente y su supremo será el punto (x+r,y)

Ahora bien, necesitaria considerar un conjunto que tenga en cuenta los bordes.
Por ahora el razonamiento esta bien?, como podria continuar con el ejercicio?

Desde ya muchas gracias!  :D

28 Marzo, 2012, 08:39 pm
Respuesta #474

argentinator

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Hola.

En este foro hay que usar Latex para escribir las fórmulas.

Hay un tutorial y todo que habrás visto al inscribirte.

Esta noche recién podré contestarte adecuadamente.

Mientras tanto, podrías reeditar un poco el mensaje para que se vean las expresiones matemáticas correctamente.

A vuelo de pájaro ví que pusiste algo de una esfera... En este ejercicio eso no tiene sentido.
Hay que usar sólo las propiedades de los reales, y analizar un poco cómo se comporta el orden de diccionario.

Hasta luego.

29 Marzo, 2012, 02:30 am
Respuesta #475

argentinator

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Te arreglé algunos detalles de Latex que aún no estaban del todo bien.

Lo importante en todo ejercicio es tener claras las definiciones y el contexto en el que estamos.

En este caso no hay que olvidarse de que, a pesar de que se trata de un cuadradito en el plano, se lo está mirando como un cierto conjunto ordenado X, con una cierta relación de orden dada <, que en este caso es el orden de diccionario.

Acá no importa ni de qué conjunto se trata, ni cuál es la relación de orden.
Lo que importa es entender que se está preguntando si se cumple o no se cumpla la propiedad del supremo en ese conjunto ordenado (X, <).

Según la definición, un conjunto ordenado (X, <) cumple la propiedad del supremo, si vale la siguiente condición:

* Dado un subconjunto no vacío A de X, con una cota superior c de A, con c en X; siempre existe otra cota superior s de A, con s en X, tal que s es la mínima de todas las cotas superiores de A posibles.

(A veces s podría llegar a ser igual a c, pero no interesa acá).

Esa definición de "tener supremo" es lo que nos dice qué es lo que tenemos que demostrar en el ejercicio.

Ahora volvemos al cuadradito unitario con el orden de diccionario.
Lo que hay que hacer es tomar un subconjunto cualquiera A dentro del cuadradito, sin ningún tipo de temor, decir simplemente: "Sea A cualquier subconjunto de X".

Ahora, pedimos además que A sea no vacío, y que tenga una cota superior en X.
Esas condiciones son las que hacen falta en la condición del supremo dada arriba.

Finalmente, hay que demostrar que ese conjunto A tiene una mínima cota superior (o sea, tiene supremo).

______________

Así que, ahí voy.

Sea A un subconjunto cualquiera de [0,1]x[0,1], tal que A es no vacío, y además supongamos que A tiene una cota superior en [0,1]x[0,1].
Esa cota superior es un par (c,d) de números en el intervalo [0,1], ya que (c,d) es un punto del cuadradito unitario.

¿Qué significa que (c,d) sea cota superior de A?
Quiere decir que para todo punto (x, y) que está en A, vale la relación \( (x,y) \leq (c,d). \)

Nos interesa hallar, si es posible, un punto (s, t) de X que sea cota superior de A, y que se la mínima.
O sea que tiene que cumplir que \( (x,y)\leq (s,t) \) para todo punto (x,y) de A (o sea, es "cota superior"), y además,
si (p,q) es cualquier otra cota superior de A, entonces \( (s,t)\leq (p,q) \) (o sea, es mínima).

______________________

La estrategia para hallar tal cota mínima es hacerlo en dos etapas, una que analice la coordenada "x", y luego una 2da que analice la coordenada "y",
debido a que el orden de diccionario se define justamente en 2 etapas, primero según la coordenada "x", y después según la coordenada "y".

Por lo tanto, un primer paso es proyectar las coordenadas "x" de todos los puntos (x, y) del conjunto A, y formar con ellos un conjunto E en el eje de las "x", o sea, un subconjunto de [0, 1] en este caso.

Esas proyecciones son números reales, y como en el conjunto R de los números reales vale la propiedad del supremo, podemos hallar allí un supremo s de E (ya que E está acotado por ejemplo por c).
Una vez hallado este supremo, se analiza qué valor de t ha de cumplir la condición de que (s, t) "sirva" como supremo de A.

Allí se analizan una o dos situaciones según cómo sea el conjunto A...

Esto te lo dejo para que lo pienses.
Fijate si con estas indicaciones llegás a la solución correcta del ejercicio.
Si no, preguntame de nuevo a ver dónde están las dudas.

___________________

La imaginación y la intuición no son parte de una demostración matemática correcta,
pero aún así son ingredientes necesarios para encontrar la solución de un problema.
Si no, se hace imposible.
Los ejercicios hay que reflexionarlos con tranquilidad y paciencia, hasta que se entienda intuitivamente la situación.
Después la solución viene casi siempre en forma natural.

Si se intenta resolver un ejercicio a los garrotazos, significa que uno seguramente está usando la estrategia equivocada.

31 Marzo, 2012, 06:35 pm
Respuesta #476

alejandra

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Ejercicio 7.1 Demuestre que \( \mathbb{Q} \) es infinito numerable.
Demostración
Sabemos que \( \mathbb{Q}_+ \) es infinito numerable, defino \( f:\mathbb{Q}_+\rightarrow{\mathbb{Q}_ -} \) como \( f(x)=-x \), claramente es una biyección, luego \( \mathbb{Q}_- \) es numerable. Por tanto, \( \mathbb{Q}=\mathbb{Q}_+\cup{\{0\}}\cup{\mathbb{Q}_-} \) es numerable

Proviene de los siguiente no?

Para probar que  \( \mathbb{Q}_+ \) es infinito numerable.

Sea g:\( \mathbb Z_+\times\mathbb Z_+\rightarrow\mathbb{Q}_+  \)/g(n,m)=m/n sobreyectiva
Como \( \mathbb Z_+\times\mathbb Z_+ \) es numerable, existe una w:\( \mathbb Z_+\rightarrow\mathbb Z_+\times\mathbb Z_+ \) sobreyectiva
Así \( \ g\circ\ w  \):\( \mathbb Z_+\rightarrow\mathbb{Q}_+ \) es sobreyectiva. Luego \( \mathbb{Q}_+ \) es numerable y como \( \mathbb Z_+\subset \mathbb{Q}_+ \) es infinito numerable.

Para probar que  \( \mathbb{Q}_- \) es  numerable.
\( \ f\circ\ w\circ\ g  \):\( \mathbb Z_+\rightarrow\mathbb{Q}_- \) es sobreyectiva. Entonces \( \mathbb{Q}_- \) es numerable.

Luego la union de numerables es numerable. Por definicion de numerables: un conjunton es numerable si es finito numerable o finito.

Luego \( \mathbb{Q} \) es infinito numerable.

Saludos. :D

31 Marzo, 2012, 10:00 pm
Respuesta #477

argentinator

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Está correcto. La resolución está muy bien y detallada.

En el último paso, cuando decís que finalmente Q es "infinito numerable", tenés que saber de antemano que Q ya era infinito.

Pero esto se deduce de que \( Z_+ \) ya era infinito (Corolario 1.6.4) y del hecho de que \( Z_+\subset Q \), pues se aplica el Ejercicio 1.6.2.

O sea, como Q contiene algún conjunto infinito, es infinito.
Esto es casi obvio, pero ya que estás haciendo las cuentitas con cuidado, no está de más argumentar todos los pasos en forma exhaustiva, diciendo siempre qué teoremas o qué ejercicios o qué hechos son los que estás usando.


31 Marzo, 2012, 10:29 pm
Respuesta #478

argentinator

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Para probar que  \( \mathbb{Q}_+ \) es infinito numerable.

Sea g:\( \mathbb Z_+\times\mathbb Z_+\rightarrow\mathbb{Q}_+  \)/g(n,m)=m/n sobreyectiva

Como \( \mathbb Z_+\times\mathbb Z_+ \) es numerable, existe una w:\( \mathbb Z_+\rightarrow\mathbb Z_+\times\mathbb Z_+ \) sobreyectiva

Así \( \ g\circ\ w  \):\( \mathbb Z_+\rightarrow\mathbb{Q}_+ \) es sobreyectiva.

Luego \( \mathbb{Q}_+ \) es numerable y como \( \mathbb Z_+\subset \mathbb{Q}_+ \) es infinito numerable.


Quería comentar esta prueba tuya.
Como ya te dije, está correcta.
Sin embargo, si se exige mayor rigor técnico,
te faltaría indicar en cada una de las afirmaciones qué resultado o hecho estás invocando.

En la primer afirmación por ejemplo, tendrías que decir que estás usando el Ejemplo 2 de la Sección 7.
En la 2da afirmación podrías decir que estás invocando el Teorema 7.1 (parte (2)).
En la 3ra afirmación, justificar que la composición de funciones sobreyectivas es de nuevo una función sobreyectiva... no haría falta, ya que es un hecho bastante obvio sobre funciones en general. No obstante, recordar que eso está probado por ejemplo en el Ejercicio 4 (d) de la Sección 2.
En la 4ta afirmación estás usando las dos cosas que ya te dije en el post anterior, a saber, que \( Z_+ \) es infinito (Corolario 6.4) y que si un conjunto infinito contiene un conjunto infinito, es que él mismo es infinito (ejercicio 6.2).


31 Marzo, 2012, 10:41 pm
Respuesta #479

argentinator

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Luego \( \mathbb{Q} \) es finito numerable.

Saludos. :D

Acá al final le pifiaste, pero estoy seguro que es un error de escritura solamente.
Q es "infinito" numerable, no "finito", jeje.

Saludos