Autor Tema: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)

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21 Diciembre, 2010, 11:01 pm
Respuesta #450

enloalto

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[li]Ejercicio 7.5 Determine, para cada uno de los siguientes conjuntos, si son o no numerables. Justifique sus respuestas:
  • (a) El conjunto \( A \) de todas las funciones \( f:\{0,1\}\to \mathbb{Z}_+ \).
  • (b) El conjunto \( B_n \) de todas las funciones \( f:\{1,\cdots,n\}\to\mathbb{Z}_+ \).
  • (c) El conjunto \( C=\bigcup_{n\in\mathbb{Z}_+}B_n \).
  • (d) El conjunto \( D \) de todas las funciones \( f:\mathbb{Z}_+\to\mathbb{Z}_+ \).
  • (e) El conjunto \( E \) de todas las funciones \( f:\mathbb{Z}_+\to\{0,1\} \).
  • (f) El conjunto \( F \) de todas las funciones \( f:\mathbb{Z}_+\to \{0,1\} \) que son eventualmente cero (esto significa que existe un entero positivo \( N \) tal que \( f(n)=0 \) para todo \( n \geq N \)).
  • (g) El conjunto \( G \) de todas las funciones \( f:\mathbb{Z}_+\to\mathbb{Z}_+ \) que son eventualmente \( 1 \).
  • (h) El conjunto \( H \) de todas las funciones \( f:\mathbb{Z}_+\to\mathbb{Z}_+ \) que son eventualmente constantes.
  • (i) El conjunto \( I \) de todos los subconjuntos de 2 elementos de \( \mathbb{Z}_+ \).
  • (j) El conjunto \( J \) de todos los subconjuntos finitos de \( \mathbb{Z}_+ \).

He estado pensando, pero no veo como hacerlo, una idea profe. Desde la (a), luego seguimos con los demás
Llovizna queriendo ser lluvia de verano

22 Diciembre, 2010, 12:45 am
Respuesta #451

enloalto

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Ejercicio 6.6
(b) Demuestre que si \( A \) es finito, entonces \( P(A) \) es finito
Demostración
Como \( A \) es finito, entonces existe una biyección entre \( I_m=\{1,...,m\} \) y \( A \), luego, definamos \( h:P(A)\rightarrow{P(I_m)} \), como por \( h(B)=I_{m_B} \), donde \( m_B=Card(B) \), \( h \) es biyección.

Por otro lado, por (a) tenemos que existe una biyección \( f:P(I_m)\rightarrow{\{0,1\}^{m}} \), dado por \( f(I_k)=\chi_{I_k} \), luego la composición \( g=f\circ{h}:P(A)\rightarrow{\{0,1\}^{m}} \) dada por \( g(B)=\chi_{I_{m_B}} \) es una biyección. Por otra parte, como \( \{0,1\} \) es finito, entonces \( \{0,1\}^{m} \) es finito, y existe una biyección \( r:\{0,1\}^{m}\rightarrow{I_p} \), luego como \( r\circ{g}:P(A)\rightarrow{I_p} \) es biyección, por lo que \( P(A) \) es finito.

hay algo que no me gusta Voy a arreglarlo espérame
Mencioné que mi \( h \) así definida no es biyección, voy a buscar otra biyección entre \( P(A) \) y \( P(I_m) \). Como \( A \) tiene \( m \) elementos, sea \( p:I_m\rightarrow{A} \) una biyección, defino \( h:P(I_m)\rightarrow{P(A)} \) como
Si \( B\in{P(I_m)} \), es decir \( B\subset{I_m} \), entonces \( h(B)=\{p(b);b\in{B}\}=p(B) \). Es decir, \( h(B) \) consiste en las imágenes de \( B \) por \( p \)

Veamos que \( h \) es inyectiva. Sean \( B,B'\subset{I_m} \) distintos, entonces existe \( x\in{B} \) tal que \( x\not\in{B'} \), entonces si \( b'\in{B'} \), se tiene que \( x\neq{b'\Rightarrow{p(x)\neq{p(b')}}} \) para todo \( b'\in{B'} \), de donde \( h(B)\neq{h(B')} \).

Veamos que \( h \) es sobre. Tomemos un \( C\subset{A} \), por probar que existe \( B\subset{I_m} \) tal que \( h(B)=C \). Como \( p \) es sobre, para ese \( C \) existe un \( I_C\subseteq{I_m} \) con \( C=p(I_C)=h(I_C) \). Por tanto \( h \) es sobre
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22 Diciembre, 2010, 09:56 pm
Respuesta #452

enloalto

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  • Ejercicio 7.6 Decimos que dos conjuntos \( A,B \) tienen la misma cardinalidad si hay una biyección de \( A \) con \( B \).
    • (a) Muestre que si \( B\subset A \) y si hay una inyección \( f:A\to B \), entonces \( A \) y \( B \) tienen la misma cardinalidad.
      Ayuda: Utilice una definición recursiva para construir conjuntos \( A_1=A,B_1=B \) y para \( n>1 \), \( A_n=f(A_{n-1}),B_n=f(B_{n-1}) \).
      Luego observe que \( A_1\supset B_1\supset A_2\supset B_2\supset A_3\supset\cdots \).
      Finalmente defina la biyección \( h:A\to B \) mediante:

      \( h(x)=\begin{cases}f(x),&x\in \bigcup_n (A_n-B_n),\\ x,&\textsf{en otro caso.}\end{cases} \)
    • (b) Teorema (de Schroeder-Bernstein). Si hay inyecciones \( f:A\to C \) y \( g:C\to A \), entonces \( A \) y \( C \) tienen la misma cardinalidad.
    Demostración
    (a) Con la sugerencia, veamos que \( h \) es biyectiva. Claramente es inyectiva. Falta probar que \( h \) es sobreyectiva.

    Sea \( C=\displaystyle\bigcup_{n=1}^{+\infty} (A_n-B_n) \), luego \( A=(A-C)\cup{C} \), luego
    \( h(A)=h(A-C)\cup h(C)=(A-C)\cup f(C)=\left({A-\displaystyle\bigcup_{n=1}^{+\infty}(A_n-B_n)}\right)\cup f\left({\displaystyle\bigcup_{n=1}^{+\infty} (A_n-B_n)}\right) \)
    Pero claramente se ve que \( A_n=f^n(A), B_n=f^n(B)\Rightarrow{C_n=A_n-B_n=f^n(A-B)} \), esto último SOLO porque \( f \) es inyectiva.
    Es bonita la demostración de que \( C_n\cap C_m=\emptyset \) si \( n\neq m \), inténtela, si no sale me avisan. Luego tenemos
    \( h(A)=\left({A-\displaystyle\bigcup_{n=1}^{+\infty} f^n(A-B)}\right)\cup f\left({\displaystyle\bigcup_{n=1}^{+\infty} f^n(A-B)}\right)= \)
    \( \left({A-\displaystyle\bigcup_{n=1}^{+\infty} f^n(A-B)}\right)\cup\displaystyle\bigcup_{n=1}^{+\infty}f^{n+1}(A-B) \)
    \( =\left({A-\displaystyle\bigcup_{n=1}^{+\infty} f^n(A-B)}\right)\cup\displaystyle\bigcup_{n=2}^{+\infty}f^{n}(A-B)=A-(A-B)=B \)
Como ejercicio dejo los detalles.
Y tenemos que \( h \) es sobreyectiva

(b) Tenemos \( g\circ{f}:A\rightarrow{g(C)} \) es inyectiva con \( g(C)\subseteq{A} \). Luego por (a) tenemos un biyección \( h:A\rightarrow{g(C)} \), pero \( g:C\rightarrow{g(C)} \) es biyección, luego \( g^{-1}\circ{h}:A\rightarrow{C} \) es una biyección y se cumple el resultado.
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22 Diciembre, 2010, 11:03 pm
Respuesta #453

enloalto

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Ejercicio 7.7
Demuestre que los conjuntos \( D \) y \( E \) del ejercicio 5 tienen el mismo cardinal.
Demostración
Defino \( \alpha:D\rightarrow{E} \), como \( \alpha (f)(n)=\cfrac{1-(-1)^{f(n)}} {2} \). Sean \( f,g\in{D} \), entonces \( f,g:\mathbb{Z}_+\rightarrow{\mathbb{Z}_+} \) tales que \( \alpha(f)=\alpha(g)\Rightarrow{\alpha(f)(n)=\alpha(g(n))} \), para todo \( n\in{\mathbb{Z}_+}\Rightarrow{f(n)=g(n)} \), para todo \( n\in{\mathbb{Z}_+}\Rightarrow{f=g} \). Por tanto, \( \alpha \) es inyectiva.

Defino \( \beta:E\rightarrow{F} \) como \( \beta(f)(n)=n-f(n) \), entonces \( \beta \) es inyectiva. Por el teorema de Schroeder-Bernstein, \( D \) y \( E \) tienen el mismo cardinal.
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22 Diciembre, 2010, 11:22 pm
Respuesta #454

enloalto

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Ejercicio 7.8
Sea \( X=\{0,1\} \); \( B \) el conjunto de los subconjuntos numerables de \( X^{\omega} \). Demuestre que \( X^{\omega} \) y \( B \) tienen el mismo cardinal.
Demostración:
Ni idea profe
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23 Diciembre, 2010, 12:01 am
Respuesta #455

enloalto

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  • Ejercicio 7.9
    • (a) La fórmula
      \( (*)\qquad h(1)=1,\qquad h(2)=2,\qquad h(n)=[h(n+1)]^2-[h(n-1)]^2,\quad  n\geq2 \)

      no es una a la cual se aplica el principio de definición recursiva.
      Muestre que no existe una función \( h:\mathbb{Z}_+\to\mathbb{R} \) que satisface esta fórmula.
      Ayuda: Reformule \( (*) \) tal que el principio pueda aplicarse y requiera que \( h \) sea positiva.
    • (b) Muestre que la fórmula \( (*) \) de la parte (a) no determina \( h \) unívocamente.
      Ayuda: Si \( h \) es una función positivia que satisface \( (*) \), hacer \( f(i)=h(i) \) para \( i\neq3 \), y \( f(3)=-3 \).
    • Muestre que no hay una función \( h:\mathbb{Z}_+\to\mathbb{R} \) que satisface la fórmula

      \( h(1)=1,\qquad h(2)=2,\qquad h(n)=[h(n+1)]^2-[h(n-1)]^2,\quad n \geq2. \)

No entiendo que hacer  :-\ :-\ :-\
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23 Diciembre, 2010, 02:22 am
Respuesta #456

argentinator

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Ejercicio 7.3
Sea \( X=\{0,1\} \). Demuestre que existe una correspondencia biyectiva entre \( P(\mathbb{Z}_+) \) y \( X^{\omega} \).
Demostración:
Es lo mismo que este
Ejercicio 6.6
(b) Demuestre que si \( A \) es finito, entonces \( P(A) \) es finito
Demostración
Sé que debo utilizar (a), pero me cuesta trabajo ordenar mis ideas, una ayudadita profe

Si \( (a_1,...,a_n)\in X^n \), le asignamos el número natural
\( x =1+ \sum_{j=1}^{n}a_j2^{j-1} \).

Esto nos da una aplicación biyectiva de \( X^n \) en \( S_{2^{n}} \).
solo que ahora sería

Si \( (a_1,...,a_n,...)\in X^{\omega} \), le asignamos el número natural
\( x =1+ \sum_{j=1}^{+\infty}a_j2^{j-1} \).
¿Está bien???

En realidad es lo mismo que este otro:
El conjunto es \( X^n \).

El conjunto \( X^n \) consta de las funciones de {1, 2, ..., n} en {0, 1}.
Pero como la imagen de estas funciones sólo es 0 ó 1,
entonces \( X^n \) es el conjunto de funciones características de los subconjuntos de {1, 2, ..., n}.

Por cada subconjunto A hay una y sólo una función característica \( \chi_A \).
La aplicación que manda A en \( \chi_A \) es la biyección buscada.

23 Diciembre, 2010, 02:24 am
Respuesta #457

argentinator

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Ejercicio 7.4
(a) Probar que el conjunto de los números algebraicos es numerable.
Demostración:
Denotemos por \( \mathbb{Q}_n[x] \) al conjunto de todos los polinomios de grado menor o igual que \( n \) con coeficientes racionales, es decir
\( \mathbb{Q}_n[x]=\{p(x)=a_0+a_1x+\ldots a_nx^n;a_i\in{\mathbb{Q}},i=0,...,n\} \)
Entonces la función \( f:\mathbb{Q}_n[x]\rightarrow{\mathbb{Q}_n^{n+1}} \) definida como \( f(p(x))=f(a_0+a_1x+\ldots a_nx^n)=(a_0,a_1,...,a_n) \) es una biyección, como \( \mathbb{Q}_n^{n+1} \) es numebrable, se tiene que \( \mathbb{Q}_n[x] \) es numerable. Entonces, sea \( \mathbb{Q}_n[x]=\{p_1,p_2,...\} \), luego para cada \( k\geq{1} \), el Teorema Fundamental de la Álgebra nos dice que el conjunto \( A_k=\{x\in{\mathbb{R}};p_k(x)=0\} \) es finito. \( A_k \) es el conjunto de ceros del polinomio \( p_k \) que es de grado menor o igual a \( n \). Luego denotando \( Z_n=\displaystyle\bigcup_{k=1}^{+\infty}{A_k } \) es unión numerable de conjuntos finitos, por lo que \( Z_n \) es numerable. Pero por la definición \( Z_n \) es el conjunto de todos los ceros de todos los polinomios de grado menor igual a \( n \). Como el conjunto de los números algebraicos es el conjunto de todos los ceros de los polinomios de todos los grados, se tiene que \( A=\displaystyle\bigcup_{n=1}^{+\infty}{Z_n } \) que es unión numerable de conjuntos numerables, por lo que es numerable.

¿Qué tal?

Está bien, así es el razonamiento típico de este ejercicio.

23 Diciembre, 2010, 02:25 am
Respuesta #458

argentinator

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Ejercicio 7.4
(b) El conjunto de los números trascendentes es no numerable.
Demostración
Sea A el conjunto de los números algebraicos y T el de los números trascendentes,
Por definición \( \mathbb{R}=A\cup{T} \) y la unión es disjunta. Luego como \( \mathbb{R} \) es no numerable y \( A \) sí lo es, se tiene que \( T \) es no numerable.

100% de acuerdo

23 Diciembre, 2010, 02:28 am
Respuesta #459

argentinator

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[li]Ejercicio 7.5 Determine, para cada uno de los siguientes conjuntos, si son o no numerables. Justifique sus respuestas:
  • (a) El conjunto \( A \) de todas las funciones \( f:\{0,1\}\to \mathbb{Z}_+ \).
  • (b) El conjunto \( B_n \) de todas las funciones \( f:\{1,\cdots,n\}\to\mathbb{Z}_+ \).
  • (c) El conjunto \( C=\bigcup_{n\in\mathbb{Z}_+}B_n \).
  • (d) El conjunto \( D \) de todas las funciones \( f:\mathbb{Z}_+\to\mathbb{Z}_+ \).
  • (e) El conjunto \( E \) de todas las funciones \( f:\mathbb{Z}_+\to\{0,1\} \).
  • (f) El conjunto \( F \) de todas las funciones \( f:\mathbb{Z}_+\to \{0,1\} \) que son eventualmente cero (esto significa que existe un entero positivo \( N \) tal que \( f(n)=0 \) para todo \( n \geq N \)).
  • (g) El conjunto \( G \) de todas las funciones \( f:\mathbb{Z}_+\to\mathbb{Z}_+ \) que son eventualmente \( 1 \).
  • (h) El conjunto \( H \) de todas las funciones \( f:\mathbb{Z}_+\to\mathbb{Z}_+ \) que son eventualmente constantes.
  • (i) El conjunto \( I \) de todos los subconjuntos de 2 elementos de \( \mathbb{Z}_+ \).
  • (j) El conjunto \( J \) de todos los subconjuntos finitos de \( \mathbb{Z}_+ \).

He estado pensando, pero no veo como hacerlo, una idea profe. Desde la (a), luego seguimos con los demás

(a) \( A=Z_+\times Z_+ \)
(b) \( B=Z_+^n \)
(c) numerable
(d) \( D\supset E \)
(e) \( E\approx P(Z_+) \)
(f) \( F\approx C \)
(g) \( G\approx F \)

H, I, J son obviamente numerables