[enloalto]

El conjunto es \( X^n \).

El conjunto X^n consta de las funciones de {1, 2, ..., n} en {0, 1}.
Pero como la imagen de estas funciones sólo es 0 ó 1,
entonces X^n es el conjunto de funciones características de los subconjuntos de {1, 2, ..., n}.

Por cada subconjunto A hay una y sólo una función característica \( \chi_A \).
La aplicación que manda A en \( \chi_A \) es la biyección buscada.

Entendido

[enloalto]

Ejercicio 6.6
(b) Demuestre que si \( A \) es finito, entonces \( P(A) \) es finito
Demostración
Como \( A \) es finito, entonces existe una biyección entre \( I_m=\{1,...,m\} \) y \( A \), luego, definamos \( h:P(A)\rightarrow{P(I_m)} \), como por \( h(B)=I_{m_B} \), donde \( m_B=Card(B) \), \( h \) es biyección.

Por otro lado, por (a) tenemos que existe una biyección \( f:P(I_m)\rightarrow{\{0,1\}^{m}} \), dado por \( f(I_k)=\chi_{I_k} \), luego la composición \( g=f\circ{h}:P(A)\rightarrow{\{0,1\}^{m}} \) dada por \( g(B)=\chi_{I_{m_B}} \) es una biyección. Por otra parte, como \( \{0,1\} \) es finito, entonces \( \{0,1\}^{m} \) es finito, y existe una biyección \( r:\{0,1\}^{m}\rightarrow{I_p} \), luego como \( r\circ{g}:P(A)\rightarrow{I_p} \) es biyección, por lo que \( P(A) \) es finito.

hay algo que no me gusta Voy a arreglarlo espérame

[argentinator]

Ejercicio 6.6
(b) Demuestre que si \( A \) es finito, entonces \( P(A) \) es finito
Demostración
Sé que debo utilizar (a), pero me cuesta trabajo ordenar mis ideas, una ayudadita profe

Si \( (a_1,...,a_n)\in X^n \), le asignamos el número natural
\( x =1+ \sum_{j=1}^{n}a_j2^{j-1} \).

Esto nos da una aplicación biyectiva de \( X^n \) en \( S_{2^{n}} \).

[enloalto]

Ejercicio 6.6
(b) Demuestre que si \( A \) es finito, entonces \( P(A) \) es finito
Demostración
Como \( A \) es finito, entonces existe una biyección entre \( I_m=\{1,...,m\} \) y \( A \), luego, definamos \( h:P(A)\rightarrow{P(I_m)} \), como por \( h(B)=I_{m_B} \), donde \( m_B=Card(B) \), \( h \) es biyección.

Por otro lado, por (a) tenemos que existe una biyección \( f:P(I_m)\rightarrow{\{0,1\}^{m}} \), dado por \( f(I_k)=\chi_{I_k} \), luego la composición \( g=f\circ{h}:P(A)\rightarrow{\{0,1\}^{m}} \) dada por \( g(B)=\chi_{I_{m_B}} \) es una biyección. Por otra parte, como \( \{0,1\} \) es finito, entonces \( \{0,1\}^{m} \) es finito, y existe una biyección \( r:\{0,1\}^{m}\rightarrow{I_p} \), luego como \( r\circ{g}:P(A)\rightarrow{I_p} \) es biyección, por lo que \( P(A) \) es finito.

hay algo que no me gusta Voy a arreglarlo espérame

Está mal, pues \( h \) no es biyección, pero lo dejo, pues a veces de los errores se aprende

[argentinator]

Está mal, ..., pero lo dejo, pues a veces de los errores se aprende

Yo pienso que el profesor perfecto es aquel que ha cometido todos los errores posibles, porque así puede guiar mejor al estudiante, ya que entiende por qué algo está mal.

Pero claro, con los errores solos no alcanza... también se necesita al menos una solución correcta, jeje.
Y en lo posible varias.

[enloalto]

Ejercicio 6.7
Si \( A \) y \( B \) son finitos, demuestre que el conjunto de todas las funciones \( f:A\rightarrow{B} \) es finito.
Demostración:
Sea \( Card(A)=m \) y \( Card(B)=n \). Fijando \( n \) lo haré por inducción sobre \( m \).
Si \( m=1 \), entonces \( A=\{a\} \), luego \( f:\{a\}\rightarrow{B} \) solamente puede tomar un valor en \( B \), como \( B \) tiene \( n \) elementos, entonces existen \( n \) funciones \( f:\{a\}\rightarrow{B} \). Luego el resultado es válido para \( m=1 \).
Supongamos el resultado válido para \( m \), probemos que vale para \( m+1 \). Sea \( a\in A \), a ese \( a \) le podemos asociar \( n \) elementos de \( B \). Para cada asociación, existen \( n^m \) funciones definidas en \( A-\{a\} \) hacia \( B \). Luego tenemos \( n\times{n^m} \) funciones definidas en \( A \) con valores en \( B \).

[enloalto]

Ejercicio 7.1 Demuestre que \( \mathbb{Q} \) es infinito numerable.
Demostración
Sabemos que \( \mathbb{Q}_+ \) es infinito numerable, defino \( f:\mathbb{Q}_+\rightarrow{\mathbb{Q}_ -} \) como \( f(x)=-x \), claramente es una biyección, luego \( \mathbb{Q}_- \) es numerable. Por tanto, \( \mathbb{Q}=\mathbb{Q}_+\cup{\{0\}}\cup{\mathbb{Q}_-} \) es numerable

[enloalto]

Ejercicio 7.3
Sea \( X=\{0,1\} \). Demuestre que existe una correspondencia biyectiva entre \( P(\mathbb{Z}_+) \) y \( X^{\omega} \).
Demostración:
Es lo mismo que este

Ejercicio 6.6
(b) Demuestre que si \( A \) es finito, entonces \( P(A) \) es finito
Demostración
Sé que debo utilizar (a), pero me cuesta trabajo ordenar mis ideas, una ayudadita profe

Si \( (a_1,...,a_n)\in X^n \), le asignamos el número natural
\( x =1+ \sum_{j=1}^{n}a_j2^{j-1} \).

Esto nos da una aplicación biyectiva de \( X^n \) en \( S_{2^{n}} \).

solo que ahora sería

Si \( (a_1,...,a_n,...)\in X^{\omega} \), le asignamos el número natural
\( x =1+ \sum_{j=1}^{+\infty}a_j2^{j-1} \).
¿Está bien???

[enloalto]

Ejercicio 7.4
(a) Probar que el conjunto de los números algebraicos es numerable.
Demostración:
Denotemos por \( \mathbb{Q}_n[x] \) al conjunto de todos los polinomios de grado menor o igual que \( n \) con coeficientes racionales, es decir
\( \mathbb{Q}_n[x]=\{p(x)=a_0+a_1x+\ldots a_nx^n;a_i\in{\mathbb{Q}},i=0,...,n\} \)
Entonces la función \( f:\mathbb{Q}_n[x]\rightarrow{\mathbb{Q}_n^{n+1}} \) definida como \( f(p(x))=f(a_0+a_1x+\ldots a_nx^n)=(a_0,a_1,...,a_n) \) es una biyección, como \( \mathbb{Q}_n^{n+1} \) es numebrable, se tiene que \( \mathbb{Q}_n[x] \) es numerable. Entonces, sea \( \mathbb{Q}_n[x]=\{p_1,p_2,...\} \), luego para cada \( k\geq{1} \), el Teorema Fundamental de la Álgebra nos dice que el conjunto \( A_k=\{x\in{\mathbb{R}};p_k(x)=0\} \) es finito. \( A_k \) es el conjunto de ceros del polinomio \( p_k \) que es de grado menor o igual a \( n \). Luego denotando \( Z_n=\displaystyle\bigcup_{k=1}^{+\infty}{A_k } \) es unión numerable de conjuntos finitos, por lo que \( Z_n \) es numerable. Pero por la definición \( Z_n \) es el conjunto de todos los ceros de todos los polinomios de grado menor igual a \( n \). Como el conjunto de los números algebraicos es el conjunto de todos los ceros de los polinomios de todos los grados, se tiene que \( A=\displaystyle\bigcup_{n=1}^{+\infty}{Z_n } \) que es unión numerable de conjuntos numerables, por lo que es numerable.

¿Qué tal?

[enloalto]

Ejercicio 7.4
(b) El conjunto de los números trascendentes es no numerable.
Demostración
Sea A el conjunto de los números algebraicos y T el de los números trascendentes,
Por definición \( \mathbb{R}=A\cup{T} \) y la unión es disjunta. Luego como \( \mathbb{R} \) es no numerable y \( A \) sí lo es, se tiene que \( T \) es no numerable.