Autor Tema: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)

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21 Diciembre, 2010, 05:21 am
Respuesta #430

argentinator

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Ejercicio 6.5
Si \( A\times B \) es finito, ¿se deduce que \( A \) y \( B \) también lo son?
Demostración
Estas clases de preguntas son buenas, pues nos hace pensar mucho y se obtienen buenos contraejemplos. Pensando


Si alguno de ellos, digamos B, fuese infinito, entonces {x} X B sería infinito para todo elemento x en A.
Como {x} X B es subconjunto de A X B, nos daría que A X B es finito.

Pero aquí estamos usando que A es no vacío.

Creo que el problema está en el caso en que A ó B es vacío.
Allí el producto cartesiano es vacío, aún cuando el otro conjunto sea infinito.

21 Diciembre, 2010, 05:25 am
Respuesta #431

argentinator

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Ejercicio 4.9
(d) Si \( y<x \), demuestre que existe un número racional \( z \) tal que \( y<z<x \)
Como \( y<x \), por el ejercicio 4.2(k), \( y<\cfrac{y+x}{2}<x \), tomando \( z=\cfrac{y+x}{2} \) tengo lo pedido.

¿Qué tal?

Un desastre, jaja!! Así no es...

Los números x, y no son racionales.
Y respecto a esto, no sé como puedo empezar

Hay que hacer algunos malabares con la propiedad arquimediana.
En la teoría de números reales que he puesto por ahí en el foro, eso está explicado.


En el siguiente enlace, sección 4.7, fijate en la Proposición 6.

http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35792.msg142857.html#msg142857

21 Diciembre, 2010, 05:25 am
Respuesta #432

enloalto

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Ejercicio 6.4
(b) Demuestre que \( A \) tiene el tipo de orden de una sección de los enteros positivos.
Demostración:
Debemos buscar una biyección \( A \) con alguna sección \( S_n \), con \( n\in{\mathbb{Z_+}} \). \( f:S_n\rightarrow{A} \). Como A es no vacío, y está simplemente ordenado, sea \( Card(A)=n \), y denotemos a su máximo \( a_n \), luego tenemos que \( A-\{a_n\} \), también tiene elemento máximo, sea este \( a_{n-1} \). Tenemos que \( a_{n-1}<a_n \). Ahora consideremos \( A-\{a_n,a_{n-1}\} \), sea \( a_{n-2} \) su elemento máximo. Tenemos que \( a_{n-2}<a_{n-1}<a_n \). De esta manera, tenemos \( A=\{a_1,...,a_n} \), con \( a_1<a_2<...<a_n \). Luego, definimos \( f:S_n\rightarrow{A} \) por \( f(n)=a_n \). Claramente \( f \) es biyectiva y se tiene lo pedido

En la última línea debe decir \( f(k) = a_k, k = 1, 2, ..., n. \)

Los detalles técnicos son un poco aburridos.
Por ejemplo, uno tendría que definir el proceso recursivo hacia atrás de manera más "formal".
Ahora bien, este tipo de procedimiento no parece estar justificado en la sección 6, porque se desarrolla el tema de la recurrencia en la sección 8.
Así que, ¿cómo arreglárselas con los elementos teóricos de la sección 6 y previas?
Precisamente hay una observación que hace el mismo Munkres, y menciona el principio de definición recursiva, pero es en la sección 7.
Llovizna queriendo ser lluvia de verano

21 Diciembre, 2010, 05:30 am
Respuesta #433

enloalto

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Ejercicio 4.9
(d) Si \( y<x \), demuestre que existe un número racional \( z \) tal que \( y<z<x \)
Como \( y<x \), por el ejercicio 4.2(k), \( y<\cfrac{y+x}{2}<x \), tomando \( z=\cfrac{y+x}{2} \) tengo lo pedido.

¿Qué tal?

Un desastre, jaja!! Así no es...

Los números x, y no son racionales.
Y respecto a esto, no sé como puedo empezar

Hay que hacer algunos malabares con la propiedad arquimediana.
En la teoría de números reales que he puesto por ahí en el foro, eso está explicado.


En el siguiente enlace, sección 4.7, fijate en la Proposición 6.

http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,35792.msg142857.html#msg142857

??? es trabajadito, me gusta mucho
Llovizna queriendo ser lluvia de verano

21 Diciembre, 2010, 07:30 am
Respuesta #434

enloalto

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Bueno hoy sí hemos avanzado bastante, ya es hora de descanzar, mañana seguimos, un abrazo argentinator.
varios  :aplauso: :aplauso: :aplauso: :aplauso: :aplauso: :aplauso: :aplauso: :aplauso: :aplauso: :aplauso:
Llovizna queriendo ser lluvia de verano

21 Diciembre, 2010, 12:00 pm
Respuesta #435

argentinator

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Bueno, gracias a vos.
Has trabajado duro.

Justamente los cursos funcionan cuando hay participación.
Yo podría intentar escribir todo un largo apunte de teoría con algunos ejercicios resueltos,
pero es difícil encontrar las ganas yendo en solitario.

Nos vemos

21 Diciembre, 2010, 04:15 pm
Respuesta #436

enloalto

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Ejercicio 4.10
(d) Demuestre que si \( b \) y \( c \) son positivos y \( b^2=c^2 \), entonces \( b=c \)

Pensando
Si \( c<b \), entonces \( c^2<bc \) y \( cb<b^2 \), como \( b^2=c^2 \) se tiene
\( cb<b^2=c^2<bc \) contradicción. De igual manera con el caso \( c>b \)
Llovizna queriendo ser lluvia de verano

21 Diciembre, 2010, 04:25 pm
Respuesta #437

enloalto

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Ejercicio 6.6
(A) Sea \( A=\{1,...,n} \). Demuestre que existe una biyección entre \( P(A) \) y el producto cartesiano \( X^{\omega} \), donde \( X \) es el conjunto de dos elementos \( \{0,1\} \)
Demostración
Dame una idea argentinator, no sé cómo empezar.
Gracias
Llovizna queriendo ser lluvia de verano

21 Diciembre, 2010, 04:43 pm
Respuesta #438

argentinator

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El conjunto es \( X^n \).

El conjunto \( X^n \) consta de las funciones de {1, 2, ..., n} en {0, 1}.
Pero como la imagen de estas funciones sólo es 0 ó 1,
entonces \( X^n \) es el conjunto de funciones características de los subconjuntos de {1, 2, ..., n}.

Por cada subconjunto A hay una y sólo una función característica \( \chi_A \).
La aplicación que manda A en \( \chi_A \) es la biyección buscada.

21 Diciembre, 2010, 04:47 pm
Respuesta #439

enloalto

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