[argentinator]

Ejercicio 4.10
(c) Dado \( a>0 \) sea \( B=\{x\in \mathbb{R}:x^2<a\} \). Demuestre que \( B \) está acotado superiormente y que contiene, al menos un número positivo. Sea \( b=\sup B \); demuestre que \( b^2=a \).
Demostración:
Sabemos que \( (1+a)^2>a \), entonces \( (1+a) \) es cota superior de B, entonces B está acotado superiormente, además como \( (1+a)^2>a\Rightarrow{a(1+a^2)>a^2}\Rightarrow{a>\left({\cfrac{a}{1+a}}\right)^2} \), luego \( \cfrac{a}{1+a}\in B \), por lo que \( B\neq{\emptyset} \) y también \( \cfrac{a}{1+a}>0 \). Por el axioma del supremo, \( B \) posee supremo, sea este \( b \), luego como \( b\geq\cfrac{a}{1+a}\Rightarrow{b>0} \). Falta probar que \( b^2=a \). Supongamos que no, tenemos los siguientes casos:

• \( b^2>a \), luego por (b) existe \( h>0 \) tal que \( (b-h)^2>a \), luego \( (b-h)^2>x^2 \), para todo \( x\in B \)

, entonces \( (b-h)>x \), para todo \( x\in B \)[/li][/list]. Por lo que \( b-h \) es una cota superior de B menor que \( b=\sup B \). Contradicción.

• \( b^2<a \), luego existe \( h>0 \) tal que \( (b+h)^2<a \), entonces \( (b+h)\in{B}\Rightarrow{b+h\leq{b}} \) lo que es una contradicción.
  

Por tanto, \( b^2=a \).
¿Qué tal?

No veo errores.
En todo caso, el razonamiento es justo ese mismo.

[argentinator]

Ejercicio 4.11
Dado \( m\in\mathbb{Z} \), decimos que \( m \) es par si \( m/2\in\mathbb{Z} \), y que \( m \) es impar en caso contrario.
(a) Demuestre que si \( m \) es impar, \( m=2n+1 \) para algún \( n\in{\mathbb{Z}} \)
Como \( m \) es impar, entonces por definición \( m/2\not\in{\mathbb{Z}} \), y por el ejercicio 4.9 (b) existe un \( n\in{\mathbb{Z}} \) tal que

\( n<m/2<n+1\Rightarrow{2n<m<2n+2} \) y como \( m\in{\mathbb{Z}} \) no queda otra que \( m=2n+1 \). Esto a pesar de estar bien, no me convence. Ayuda argentinator

No sé por qué no te convence. Está muy bien.
Aún si el n fuese negativo, no habría problema.

[argentinator]

Ejercicio 4.11
(b) Demuestre que si \( p \) y \( q \) son impares, también lo son \( p\cdot{q} \) y \( p^n \), para cualquier \( n\in{\mathbb{Z}_+} \)
Tenemos que \( p=2n+1 \) y \( q=2m+1 \), con \( n,m\in{\mathbb{Z}} \), luego
\( p\cdot{q}=2(nm+n+m)+1=2k+1 \), luego se tiene lo pedido.
Por inducción sobre \( n \)
Para \( n=1 \) se cumple, supongamos el resultado válido para \( n \).
\( p^{n+1}=p^n\cdot{p} \). Como por hipótesis, \( p^n \) es impar y \( p \) también es impar, por lo mostrado anteriormente se tiene que \( p^{n+1} \) también es impar. Luego el resultado es válido para cualquier \( n\in{\mathbb{Z}_+} \).

Un lujo 

[enloalto]

Ejercicio 4.11
Dado \( m\in\mathbb{Z} \), decimos que \( m \) es par si \( m/2\in\mathbb{Z} \), y que \( m \) es impar en caso contrario.
(a) Demuestre que si \( m \) es impar, \( m=2n+1 \) para algún \( n\in{\mathbb{Z}} \)
Como \( m \) es impar, entonces por definición \( m/2\not\in{\mathbb{Z}} \), y por el ejercicio 4.9 (b) existe un \( n\in{\mathbb{Z}} \) tal que

\( n<m/2<n+1\Rightarrow{2n<m<2n+2} \) y como \( m\in{\mathbb{Z}} \) no queda otra que \( m=2n+1 \). Esto a pesar de estar bien, no me convence. Ayuda argentinator

No sé por qué no te convence. Está muy bien.
Aún si el n fuese negativo, no habría problema.

No me gusta esto:"no queda otra que \( m=2n+1 \)", osea ¿es aceptable?

[enloalto]

Ejercicio 4.9
(c) Si \( x-y>1 \), demuestre que existe al menos un \( n\in{\mathbb{Z}} \) tal que \( y<n<x \).
Humm por contradicción, supongamos que para todo \( n\in{\mathbb{Z}} \) se cumple \( y\geq n \) o \( n\geq x \), como no puede suceder que \( y\geq n \), para todo \( n\in{\mathbb{Z}} \), entonces \( n\geq x \) para todo \( n\in{\mathbb{Z}} \), pero esto tampoco es posible. Por tanto, se cumple lo pedido

Esta demostración no me gusta mucho, hummmm

No entiendo mucho la lógica, no parece estar bien.

Si \( x-y > 1 \), entonces \( x > 1 + y \).
Se sabe que existe un entero \( n \) tal que \( n-1 \leq y < n \).
Sumando 1 da \( y< n \leq 1 + y < x \).
El entero \( n \) es el buscado.

Entendido!!!!

[argentinator]

Ejercicio 4.11
(c) Demuestre que si \( a>0 \) es un número racional, entonces \( a=m/n \) para ciertos \( m,n\in{\mathbb{Z}_+} \), donde \( m \) y \( n \) no pueden ser a la vez pares. Indicación: sea \( n \) el menor elemento del conjunto \( \{x\in\mathbb{Z}_+/x\cdot{a}\in{\mathbb{Z}_+\} \)

¿ Cómo demuestro que \( \{x\in\mathbb{Z}_+/x\cdot{a}\in{\mathbb{Z}_+\} \) es no vacío ?

El número a es cociente de dos enteros p, q, con q no nulo.
Si q es negativo, se puede escribir a = (-p)/(-q).

Así que, sin pérdida de generalidad, se puede considerar que q > 0.
Luego aq = p es entero.
Como q > 0, a > 0, resulta p > 0.
Esto quiere decir que q es elemento del dichoso conjunto que estás estudiando.

[argentinator]

Ejercicio 4.11
Dado \( m\in\mathbb{Z} \), decimos que \( m \) es par si \( m/2\in\mathbb{Z} \), y que \( m \) es impar en caso contrario.
(a) Demuestre que si \( m \) es impar, \( m=2n+1 \) para algún \( n\in{\mathbb{Z}} \)
Como \( m \) es impar, entonces por definición \( m/2\not\in{\mathbb{Z}} \), y por el ejercicio 4.9 (b) existe un \( n\in{\mathbb{Z}} \) tal que

\( n<m/2<n+1\Rightarrow{2n<m<2n+2} \) y como \( m\in{\mathbb{Z}} \) no queda otra que \( m=2n+1 \). Esto a pesar de estar bien, no me convence. Ayuda argentinator

No sé por qué no te convence. Está muy bien.
Aún si el n fuese negativo, no habría problema.

No me gusta esto:"no queda otra que \( m=2n+1 \)", osea ¿es aceptable?

Entre 2n y 2n+1 no existen otros enteros posibles,
y lo mismo entre 2n+1 y 2n +2.
Si m es entero, y 2n < m < 2n+2, entonces necesariamente m = 2n+1.

La frase "no queda otra" es muy informal, es cierto.
Mi exposición también fue informal, pero quizá más "elegante".

[enloalto]

El número a es cociente de dos enteros p, q, con q no nulo.
Si q es negativo, se puede escribir a = (-p)/(-q).

Eso del \( q \) no nulo, creo que le faltó mencionar al profesor Munkres, lo otro, osea: "Si q es negativo, se puede escribir a = (-p)/(-q)" tendría que probarlo, ¿verdad?

[enloalto]

Ejercicio 4.11
Dado \( m\in\mathbb{Z} \), decimos que \( m \) es par si \( m/2\in\mathbb{Z} \), y que \( m \) es impar en caso contrario.
(a) Demuestre que si \( m \) es impar, \( m=2n+1 \) para algún \( n\in{\mathbb{Z}} \)
Como \( m \) es impar, entonces por definición \( m/2\not\in{\mathbb{Z}} \), y por el ejercicio 4.9 (b) existe un \( n\in{\mathbb{Z}} \) tal que

\( n<m/2<n+1\Rightarrow{2n<m<2n+2} \) y como \( m\in{\mathbb{Z}} \) no queda otra que \( m=2n+1 \). Esto a pesar de estar bien, no me convence. Ayuda argentinator

No sé por qué no te convence. Está muy bien.
Aún si el n fuese negativo, no habría problema.

No me gusta esto:"no queda otra que \( m=2n+1 \)", osea ¿es aceptable?

Entre 2n y 2n+1 no existen otros enteros posibles,
y lo mismo entre 2n+1 y 2n +2.
Si m es entero, y 2n < m < 2n+2, entonces necesariamente m = 2n+1.

La frase "no queda otra" es muy informal, es cierto.
Mi exposición también fue informal, pero quizá más "elegante".

Sí, así está mucho mejor. 

[argentinator]

Ejercicio 6.1
(a) Haga una lista de todas las aplicaciones inyectivas
\( f:\{\1,2,3}\rightarrow{\{1,2,3,4\}} \)
Demuestre que ninguna es biyectiva.

Humm esta la veo como tanteando, una puede ser la inclusión
\( f_1(k)=k \), \( K=1,2,3. \)
\( f_2(1)=1, f_2(2)=2, f_2(3)=4 \)
\( f_3(1)=1, f_3(2)=3, f_3(3)=4 \)
\( f_4(1)=1, f_4(2)=4, f_3(3)=3 \)
hmm me da pereza, acaso ¿hay otra manera de hacerla?

Como el conjunto del dominio es 1, 2, 3, se puede denotar cada función como una mera terna ordenada, listando las "imágenes":

\( f_1 = (1, 2, 3) \)
\( f_2 = (1, 3, 4) \)

etc.

El total son todos los subconjuntos de 1, 2, 3, 4 que tienen 3 elementos,
multiplicado esto por el número de permutaciones de 3 elementos.
O sea: \( \dbinom43 3!=24 \)