[enloalto]

Ejercicio 4.11
(b) Demuestre que si \( p \) y \( q \) son impares, también lo son \( p\cdot{q} \) y \( p^n \), para cualquier \( n\in{\mathbb{Z}_+} \)
Tenemos que \( p=2n+1 \) y \( q=2m+1 \), con \( n,m\in{\mathbb{Z}} \), luego
\( p\cdot{q}=2(nm+n+m)+1=2k+1 \), luego se tiene lo pedido.
Por inducción sobre \( n \)
Para \( n=1 \) se cumple, supongamos el resultado válido para \( n \).
\( p^{n+1}=p^n\cdot{p} \). Como por hipótesis, \( p^n \) es impar y \( p \) también es impar, por lo mostrado anteriormente se tiene que \( p^{n+1} \) también es impar. Luego el resultado es válido para cualquier \( n\in{\mathbb{Z}_+} \).

[enloalto]

Ejercicio 4.11
(c) Demuestre que si \( a>0 \) es un número racional, entonces \( a=m/n \) para ciertos \( m,n\in{\mathbb{Z}_+} \), donde \( m \) y \( n \) no pueden ser a la vez pares. Indicación: sea \( n \) el menor elemento del conjunto \( \{x\in\mathbb{Z}_+/x\cdot{a}\in{\mathbb{Z}_+\} \)

¿ Cómo demuestro que \( \{x\in\mathbb{Z}_+/x\cdot{a}\in{\mathbb{Z}_+\} \) es no vacío ?

[enloalto]

Ejercicio 4.11
(d) Teorema: \( \sqrt[ ]{2} \) es irracional
Esta demostración es muy conocida y está en cualquier libro de análisis matemático.

[enloalto]

Ejercicio 6.1
(a) Haga una lista de todas las aplicaciones inyectivas
\( f:\{\1,2,3}\rightarrow{\{1,2,3,4\}} \)
Demuestre que ninguna es biyectiva.

Humm esta la veo como tanteando, una puede ser la inclusión
\( f_1(k)=k \), \( K=1,2,3. \)
\( f_2(1)=1, f_2(2)=2, f_2(3)=4 \)
\( f_3(1)=1, f_3(2)=3, f_3(3)=4 \)
\( f_4(1)=1, f_4(2)=4, f_3(3)=3 \)
hmm me da pereza, acaso ¿hay otra manera de hacerla?

[enloalto]

Ejercicio 6.2
Demuestre que si \( B \) no es finito y \( B\subset{A} \), entonces \( A \) no es finito.
Demostración:
Si \( A \) es finito, como  \( B\subset{A} \) entonces, por el corolario 6.6, \( B \) es finito. Contradicción.

[enloalto]

Ejercicio 6.3
Sea \( X=\{0,1\} \). Encuentre una correspondencia biyectiva entre \( X^{\omega} \) y un subconjunto de sí mismo.
Sea \( Y_n=\left\{{\cfrac{1-(-1)^n}{2}}\right\} \), luego \( Y_1=\{1\} \), \( Y_2=\{0\} \), \( Y_3=\{1\} \) y así sucesivamente, luego tenemos
\( Y^{\omega}\subset{X^{\omega}} \). Humm no avanzo, a pensar un poco más

[enloalto]

Ejercicio 6.4
Sea \( A \) un conjunto finito, no vacío, simplemente ordenado.
(a) Demuestre que \( A \) tiene un máximo.
Demostración:
Sea \( Card(A)=n \), procedamos por inducción sobre \( n \).
Si \( n=1 \), entonces \( A=\{a\} \), luego se cumple la afirmación.
Supongamos válido la afirmación para \( n \). Sea \( Card(A)=n+1 \). Tomemos \( a_0\in A \), luego por el Lema 6.1, \( Card(A-\{a_0\})=n \), entonces por H.I. \( A-\{a_0\} \) posee un elemento máximo, digamos \( a \). Como \( A \) es simplemente ordenado, para \( a \) y \( a_0 \) se cumple qué \( a=a_0 \), \( a<a_0 \) o \( a>a_0 \). Pero, \( a\neq{a_0} \), entonces si \( a<a_0 \), el elemento máximo de \( A \) es \( a_0 \). Caso contrario, es decir, si \( a>a_0 \), el elemento máximo de \( A \) es \( a \). En ambos casos \( A \) tiene elemento máximo. Es decir, se cumple la afirmación para \( Card(A)=n+1 \).
El resultado sigue.

[enloalto]

Ejercicio 6.4
(b) Demuestre que \( A \) tiene el tipo de orden de una sección de los enteros positivos.
Demostración:
Debemos buscar una biyección \( A \) con alguna sección \( S_n \), con \( n\in{\mathbb{Z_+}} \). \( f:S_n\rightarrow{A} \). Como A es no vacío, y está simplemente ordenado, sea \( Card(A)=n \), y denotemos a su máximo \( a_n \), luego tenemos que \( A-\{a_n\} \), también tiene elemento máximo, sea este \( a_{n-1} \). Tenemos que \( a_{n-1}<a_n \). Ahora consideremos \( A-\{a_n,a_{n-1}\} \), sea \( a_{n-2} \) su elemento máximo. Tenemos que \( a_{n-2}<a_{n-1}<a_n \). De esta manera, tenemos \( A=\{a_1,...,a_n} \), con \( a_1<a_2<...<a_n \). Luego, definimos \( f:S_n\rightarrow{A} \) por \( f(n)=a_n \). Claramente \( f \) es biyectiva y se tiene lo pedido

[enloalto]

Ejercicio 6.5
Si \( A\times B \) es finito, ¿se deduce que \( A \) y \( B \) también lo son?
Demostración
Estas clases de preguntas son buenas, pues nos hace pensar mucho y se obtienen buenos contraejemplos. Pensando

[argentinator]

Ejercicio 2.9
(a) Demuestre que todo subconjunto no vacío de \( \mathbb Z \) acotado superiormente tiene un máximo.
Sea \( X\subset{\mathbb{Z}} \) acotado superiormente, entonces el conjunto \( A=\{y\in\mathbb{Z};y\geq{x},\forall{x\in{X}}\} \) es no vacío y por el principio del buen orden tiene un elemento mínimo. Sea este \( x_0 \). Afirmo que \( x_0\in X \) y éste es el elemento máximo que buscamos. Si \( x_0\not\in{X} \), entonces \( x_0>x \), \( \forall{x\in X} \)...
Ahí me quedo, mi idea es ver que existe un \( p_0<x_0 \) que también esté en A contradiciendo la minimilidad de \( x_0 \) por lo que sería una contradicción y tendría que \( x_0\in X \)

Podrías preguntarte qué pasa con \( x_0-1 \). Se sabe ya que no existen enteros entre \( x_0-1 \) y \( x_0 \).
El elemento \( x_0-1 \) no puede ser una cota superior de X,
porque si no, estaría en A,
y sería más pequeño que el mínimo \( x_0 \), absurdo.

Así que existe x en X tal que \( x_0-1<x\leq x_0 \).
Pero se sabe ya que no existen enteros entre uno dado y su "siguiente", así que \( x = x_0 \).