[argentinator]

Para la 6 de esa misma sección, a saber
Ejercicio 2.6
\( f:\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}} \), \( f(x)=x^3-x \). Restringiendo adecuadamente el dominio y rango de \( f \) obtenga a partir de \( f \) una función biyectiva \( g \). Dibuje las gráficas de \( g \) y \( g^{-1} \).

La verdad no sé por donde empezar. ¿ Alguna idea Argentinator?

El enunciado del ejercicio, así como está, no es muy claro.
Incluso tiene una solución trivial: tomar un dominio A con un solo punto, y B = f(A), y ya está.
Munkres dice que hay muchas posibilidades para g.

Creo que hay que conformarse con algún dominio bastante amplio, por ejemplo los reales positivos, o los negativos, o algo por el estilo.

En realidad, basta con analizar los intervalos donde la función f es estrictamente creciente, y estrictamente decreciente.
En cada uno de esos intervalos, la función f es inyectiva.
Un tal intervalo se puede entonces considerar como el "dominio" de g, y el conjunto de imágenes f(x) con x en dicho dominio sería el conjunto imagen a tomar.

Esto se hace con cálculo, viendo los signos de la derivada:

\( f'(x) = 3x^2-1. \)

Se ve que f decrece cuando  \( |x|<1/ \sqrt 3 \), y crece cuando \( |x|>1/ \sqrt 3 \).

[argentinator]

Ejercicio 4.4
(a) Demuestre por inducción que dado \( n\in{\mathbb{Z}_+} \), todo subconjunto no vacío de \( \left\{{1,2,...,n}\right\} \) tiene un mayor elemento.
Solución
Veamos para \( n=1 \), entonces tenemos \( \{1\} \) y se cumple. Supongamos la válida la afirmación para \( n\in{\mathbb{Z}_+} \), entonces veamos que sucede con \( \left\{{1,2,...,n,n+1}\right\} \). Sea \( N \) el elemento máximo de \( \left\{{1,2,...,n}\right\} \), entonces haciendo \( M=max \left\{{N,n+1}\right\} \) se tiene que M es el elemento máximo de \( \left\{{1,2,...,n+1}\right\} \). Por tanto, la afirmación es válida para todo \( n\in{\mathbb{Z}_+} \).

La idea está correcta, pero veo que hay imprecisiones.

Por ejemplo, el máximo de \( \left\{{1,2,...,n}\right\} \) es \( n \).

Lo que falta es trabajar más claramente con el "subconjunto" del cual habla el enunciado.

* Sea A un subconjunto no vacío de {1, 2, ..., n, n+1}.
* Sea B el conjunto de elementos de A distintos de n+1.
* Si B es no vacío, entonces tiene un máximo elemento N, y luego la prueba sigue como vos la escribiste.
* Si B es vacío, entonces \( A = \{n+1\} \), y así el \( \max(A) = n+1 \).

Fijate que el enunciado habla de "todo subconjunto no vacío" y no sólo de la lista \( \{1, 2, ..., n\} \).
En el caso n = 1, la única posibilidad para A es {1}, y por eso no hay nada que corregir.

[argentinator]

(b) Explique por qué no se puede deducir de (a) que todo subconjunto no vacío de \( \mathbb{Z}_+ \) tiene un mayor elemento.
Solución
Porque (a) solo se cumple para subconjuntos no vacíos que son finitos.

¿Correcto?

Este tipo de preguntas "conceptuales" son cosas que me cuesta responder,
porque no sé qué es lo que pretende el "profe Munkres", jeje.

Estoy de acuerdo con tu respuesta, ya que yo hubiese respondido lo mismo.

Sin embargo, lo más exacto matemáticamente es exhibir un contraejemplo.
El mismo conjunto \( \mathbb{Z}_+ \) es un subconjunto no vacío que no tiene máximo elemento. En efecto, si x fuese un tal máximo, x + 1 sería un entero positivo mayor que x, absurdo.

[enloalto]

Hola argentinator, también me da mucho gusto regresar. Sigamos con los ejercicios
Ejercicio 4.8
(a) Demuestre que \( \mathbb R \) tiene la propiedad del ínfimo.

Sea \( X\subset\mathbb{R} \) un conjunto no vacío acotado inferiormente, por probar que posee ínfimo. Como \( X \) es acotado inferiormente, entonces existe un \( x_0\in\mathbb{R} \) tal que \( x_0\leq x \), para todo \( x\in{X} \). Entonces \( -x\leq -x_0 \) para todo \( x\in{X} \). Haciendo \( -X=\{y\in\mathbb{R};y=-x, x\in{X}\} \) y \( y_0=-x_0 \) tenemos que
\( y\leq y_0 \) para todo \( y\in{-X} \). De acá concluimos que el conjunto \( -X \) es acotado superiormente y por el axioma del supremo tiene supremo. Defino el ínfimo de X como \( -sup(-X) \). No es difícil probar que esta definición es la correcta

[enloalto]

Ejercicio 4.8
(b) Demuestre que \( \inf\{1/n;n\in{\mathbb{Z}_+}\}=0 \).

Se tiene que \( \inf\{1/n;n\in{\mathbb{Z}_+}\}=0 \) si y solo si \( \forall\varepsilon>0 \) existe un \( n_0\in\mathbb{Z}_+ \) tal que \( 0<\cfrac{1}{n_0}<\varepsilon \). Supongamos lo contrario, entonces
Existe \( \varepsilon_0>0 \) tal que \( \forall{n\in{\mathbb{Z}_+}} \) \( \cfrac{1}{n}\leq\varepsilon_0\Rightarrow{\cfrac{1}{\varepsilon_0}}\geq n \), \( \forall{n\in{\mathbb{Z}_+}} \) que es una contradicción. Por tanto se tiene lo pedido.

[argentinator]

Ejercicio 4.5
Demuestre las siguientes propiedades de \( \mathbb{Z} \) y \( \mathbb{Z}_+ \):
(a) \( a,b\in{\mathbb{Z}_+}\Rightarrow{a+b\in{\mathbb{Z_+}}} \).
Recordemos que \( \mathbb{Z}_+ \) es la intersección de todos los conjuntos inductivos de \( \mathbb{R} \)

(...) luego \( X= \displaystyle\bigcap_{a\in \mathbb{Z}_+}^{}{X_a} \) es inyectivo [/color]  (inductivo) por el ejercicio 3(a).

(...)

Salvo esa palabreja, el ejercicio está fantástico.

[enloalto]

Ejercicio 4.5
Demuestre las siguientes propiedades de \( \mathbb{Z} \) y \( \mathbb{Z}_+ \):
(a) \( a,b\in{\mathbb{Z}_+}\Rightarrow{a+b\in{\mathbb{Z_+}}} \).
Recordemos que \( \mathbb{Z}_+ \) es la intersección de todos los conjuntos inductivos de \( \mathbb{R} \)

(...) luego \( X= \displaystyle\bigcap_{a\in \mathbb{Z}_+}^{}{X_a} \) es inyectivo [/color]  (inductivo) por el ejercicio 3(a).

(...)

Salvo esa palabreja, el ejercicio está fantástico.

Jajaja un blooper, ahora mismo lo corrijo

[argentinator]

Ejercicio 4.5
(d) \( c,d\in{\mathbb{Z}} \), entonces \( c+d\in{\mathbb{Z}} \) y \( c-d\in{\mathbb{Z}} \).
Primero para el caso \( d=1 \).
(...)

• Si \( c<-1 \), entonces \( c+1<0\Rightarrow{c+1\in{\mathbb{Z}_-}\subset{\mathbb{Z}}} \)

[/li]
[/list]

Siento que estoy haciendo trampa.

Estas cosas sobre propiedades tan conocidas sobre los números son molestas y tienen sutilezas que obedecen estrictamente al punto de vista adoptado por el libro.

Z se definió como la unión de Z+, el 0, y los negativos de Z+.
En principio, eso no quiere decir que los enteros negativos sean "menores que 0".
Salvo que se haya demostrado en algún lugar. (¿dónde se ha probado que los enteros positivos son mayores que 0?) En el ejercicio 4.2(d) se ve lo que pasa con los negativos...

En fin, sea \( c \) un entero "opuesto" a un entero positivo.
En tal caso, \( -c \) es un entero positivo.
Sea \( m = -c-1 \).
Usando el ejercicio 4.1(h), se ve que \( -m=-(-c)+1=c+1 \).

Usando el inciso 4.5.(c), se ve que \( m \in Z_+\cup\{0\} \).
Si \( m = 0 \), entonces \( c+1=-m=0 \).
Si \( m \) es entero positivo, entonces \( c+1= -m \) es entero, por mera definición de entero.

[enloalto]

Ejercicio 4.8
(c) Demuestre que dado \( a \) con \( 0<a<1 \), \( \inf\{a^n;n\in{\mathbb{Z}_+}\}=0 \)
Sea \( h=\cfrac{1-a}{a} \) por inducción se demuestra que \( (1+h)^n\geq 1+nh \), luego
\( \left({\cfrac{1}{a}}\right)^n=(1+h)^n\geq 1+nh=1+\cfrac{n(1-a)}{a} \)....(1),
Supongamos que \( \inf\{a^n;n\in{\mathbb{Z}_+}\}\neq 0 \), entonces existe \( \varepsilon_0>0 \) tal que \( a^n\geq \varepsilon_0\Rightarrow{\cfrac{1}{a^n}\leq\cfrac{1}{\varepsilon_0}} \)....(2)
De (1) y (2)
\( 1+\cfrac{n(1-a)}{a}\leq\cfrac{1}{\varepsilon_0} \), de donde obtengo
\( n\leq\cfrac{1+\varepsilon_0}{\varepsilon_0}\cfrac{a}{1-a} \) y esto es para todo \( n\in{\mathbb{Z}_+} \) que es una contradicción. El resultado sigue.

[argentinator]

Hola argentinator, también me da mucho gusto regresar. Sigamos con los ejercicios
Ejercicio 4.8
(a) Demuestre que \( \mathbb R \) tiene la propiedad del ínfimo.

(,,,)

Defino el ínfimo de X como \( -sup(-X) \). No es difícil probar que esta definición es la correcta

La parte de tu demostración que borré está correcta.
Pero este remate no es correcto.

El ínfimo se define usando solamente propiedades de la relación de orden <, puesto que es un concepto de la teoría de conjuntos ordenados.
No se usa el álgebra de los números reales para "definir" el ínfimo.

Lo que hay que hacer es seguir un pòco con las cuentas,
y "demostrar" que el numerito \( -sup(-X) \) es efectivamente un ínfimo para \( X \).

Hay que definir \( s = -sup(-X) \) y probar que \( s \) es ínfimo de X.
Quizá eso es lo que has querido decir, y la cuenta seguro ya la hiciste.