Autor Tema: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)

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07 Julio, 2010, 10:51 pm
Respuesta #330

mabelmatema

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hola
de nuevo, si la idea era tomar un punto genérico interior a la bola y demostrar que es de acumulación (adherente) y después tomar un punto del límite de la bola y demostrar que también es de acumulación (adherencia)
veo que no se entendió nada, pruebo con el complemento, pero cuál es el complemento de una bola cerrada???

07 Julio, 2010, 11:03 pm
Respuesta #331

argentinator

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Bien, lo último que has hecho, de contar la idea, y después pasar a las cuentas, es una metodología muy recomendable.

La "práctica" en las demostraciones consiste en hacer una "traducción" gradual de la idea a la lógica.

Hasta lueguito

07 Julio, 2010, 11:04 pm
Respuesta #332

argentinator

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pero cuál es el complemento de una bola cerrada???


Es lo mismo que el complemento de cualquier otro conjunto: "todos los puntos del plano que están afuera", en este caso, todo lo que está afuera de la bola cerrada.

La parte lógica se hace "negando" las condiciones que definen los puntos de la bola cerrada

07 Julio, 2010, 11:08 pm
Respuesta #333

mabelmatema

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ahhh pruebo más tarde y te cuento, eso es lo que te gusta de negar als cuestiones lógicas y todas, me metiste en un lío!
pero no me achico

08 Julio, 2010, 12:02 am
Respuesta #334

mabelmatema

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a ver si esto parece una demostración lógica. (lógicamente planteada y escrita)
Demostrare que el complemento de una bola cerrada es un conjunto abierto, por lo tanto la bola cerrada es un conjunto cerrado

Sea \( \begin{align*}\displaystyle   \bar{  B}_r(\mathbf x) := \{y\in \mathbb{R}^n:|\mathbf y-\mathbf x|\leq  r\}.\end{align*} \)
una bola cerrada,

Definimos su complemento
\( \bar{  B}_r(\mathbf x)^c \)  como X- \( \bar{  B}_r(\mathbf x) \) = \( \{h\in \mathbb{R}^n:|\mathbf h-\mathbf x|>  r\}.\end{align*} \)
tomamos \(  h\in{}\bar{  B}_r(\mathbf x)^c \) , entonces \( \displaystyle B_{r/2}(\mathbf h) \subset{}\bar{  B}_r(\mathbf x)^c \)
luego \( \displaystyle B_{r/2}(\mathbf h)\not\subset{}\bar{  B}_r(\mathbf x) \)
por lo que \( \bar{  B}_r(\mathbf x)^c \)  es abierto y por lo tanto \( \bar{  B}_r(\mathbf x) \)es cerrado

puede que no esté muy prolijo o lógicamente escrito pero creo que la idea está
saludos. mabel









08 Julio, 2010, 12:47 am
Respuesta #335

argentinator

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ahhh pruebo más tarde y te cuento, eso es lo que te gusta de negar als cuestiones lógicas y todas, me metiste en un lío!
pero no me achico

No es que me guste, sino que el conjunto complementario se define negando una propiedad, y no queda otra que trabajar así.  ::)

08 Julio, 2010, 12:59 am
Respuesta #336

argentinator

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Te marco las correcciones u observaciones en azul:

Sea \( \begin{align*}\displaystyle   \bar{  B}_r(\mathbf x) := \{y\in \mathbb{R}^n:|\mathbf y-\mathbf x|\leq  r\}.\end{align*} \)
una bola cerrada,

Definimos su complemento
\( \bar{  B}_r(\mathbf x)^c \)  como  \( X-\bar{  B}_r(\mathbf x) \) = \( \{h\in \mathbb{R}^n:|\mathbf h-\mathbf x|>  r\}.\end{align*} \)
tomamos \(  h\in{}\bar{  B}_r(\mathbf x)^c \) , entonces \( \displaystyle B_{r/2}(\mathbf h) \subset{}\bar{  B}_r(\mathbf x)^c \) (esto no es cierto en general, porque el punto h puede estar muy cerca de la frontera del círculo. Hay que elegir un radio adecuado. Sabiendo que \( D=|y-h|>r \), basta elegir el radio \( s = D-r \), y ya la bola abierta B(h,s) no toca la bola cerrada original)

luego \( \displaystyle B_{r/2}(\mathbf h)\not\subset{}\bar{  B}_r(\mathbf x) \)
(eso que pusiste es cierto, pero no es lo que sirve, porque solamente estás diciendo que "no hay una inclusión de un conjunto en otro", que es muy poco decir.
Lo que sirve es decir que en realidad la bola cerrada y la bolita centrada en h son conjuntos disjuntos, porque así la bolita centrada en h está "toda" contenida en el complemento.
Sin embargo, eso ya lo pusiste un renglón antes.
O sea que esto que agregaste de la inclusión no va, está de más)


por lo que \( \bar{  B}_r(\mathbf x)^c \)  es abierto y por lo tanto \( \bar{  B}_r(\mathbf x) \)es cerrado

El final es feliz, y sólo hay que arreglar lo que te comentado más arriba


Saludos

08 Julio, 2010, 01:00 am
Respuesta #337

argentinator

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La clave está en darse cuenta que el número \( s = D - r \) es estrictamente mayor que 0, y entonces se puede construir una bola con radio s.

Esa observación que parece tonta, es la clave del análisis en este caso.

Saludos

08 Julio, 2010, 05:10 am
Respuesta #338

mabelmatema

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como siempre gracias..
creo estoy mejorando de poco. paso lento pero seguro, eso espero.
Hasta lueguito

11 Julio, 2010, 04:22 am
Respuesta #339

mabelmatema

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hola argentinator, aunque no estés.
ya entré de lleno al tema de las convergencias y se me presentan algunas dudas, sobre todo en el tratamiento de los ejercicios
Va uno que necesito que me des un empujoncito, me gustaría demostrarlo sola pero necesita ayuda

Sea la ecuación g(x) - x = = en R y supongamos que para alguna distancia y cierto intervalo finito I = [a,b] se verifica que \(  g(I) \subset{}I \) y para todo \(  x\neq{}y \) d( (g(x), g(y)) < q. d( x,y) con 0<q<1. Entonces
i) existe \(  c\in{}I \) que es la única solución de dicha ecuación
ii) para cualquier \( x_i\in{}I \) la sucesión definida por \(  x_{n+1} = g(x_n) \) converge a c

A ver lo que he podido deducir  que g(x) = x, con la condición de q y de las distancias entre las imágenes y la pre-imágenes la función es de contracción ( que sería lo mismo que la condición para los elementos de una sucesión de Cauchy, ( a medida que n crece, los \( a_n \) están más juntos, las distancias son menores) no?

Ahora cómo demostrar que c es única solución no sé

Con respecto a Iii) no sé como demostrar que esa sucesión converge a c???, sé armarla pero no me doy idea de la convergencia, es decir si me doy idea porque se irían acercado cada vez más, porque la función es de contracción pero la convergencia??

gracias. saludos, espero tu colaboración. mabel