Autor Tema: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)

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05 Julio, 2010, 11:42 pm
Respuesta #320

mabelmatema

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hola profe, de nuevo por acá, fronterizando conjuntos, seguro no soy fronteriza, sino lo tendría más claro

Bueno en el conjunto
B= \( \left\{{}\right\(x,y) \in{}R^2/ x^2+y^2=1. \left |{x}\right|<y} \)



yo hice el dibujo, marque puntos y todo. Obtengo una circunferencia de radio \( \sqrt[ ]{}2/2 \)

Primero me piden si es cerrrado, es así.
Luego me piden frontera, y ahí no encajo, yo pienso en la frontera así:
frontera de B= \( \left\{{}\right\(x,y) \in{}R^2/ x^2+y^2=\sqrt[ ]{}2/2} \)
a lo que el texto agrega \(  \cup{}\left\{{}\right\(x,y)\in{}R^2/ x=y, \left |{x}\right |\leq{}\sqrt[ ]{}2/2} \) esta parte no sé de dónde salió
me puede ayudar a comprender esto?
gracias. mabel

 

06 Julio, 2010, 01:16 am
Respuesta #321

mabelmatema

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de nuevo yo por aquí
te escribo una demostración para que la critiques ya que no veo otra forma de llegar

voy con "una bola cerrada es un conjunto cerrado"

a) con los puntos, de dicha bola que están más cercanos al centro que el radio (xn)

Sea K(x,r) una bola cerrada

Sea \(  x_n\in{}K(x,r)\Rightarrow{}\exists{}B(x_n,r/n) \forall{}n \in{}N/ B(x_n,r/n)\subset{}K(x,r) \), de modo que
\(  K(x,r)\cap{}B(x_n,r/n)\neq{}\emptyset \) , luego \(  x_n \) es punto adherente de K(x,r)


b) con los puntos que estan a una distancia =r ( yn)

Sea  \(  y_n\in{} K(x,r) / d(x,y_n) = r\Rightarrow{} \exists{}B(yn,r)/ K(x,r) \cap{}B(y_n,r)\neq{} \empty \), luego \(  y_n  \) es adherente

Luego, los puntos que se encuentran a menor distancia que el radio y los que están a igual distancia que el radio son adherentes, entonces K(x,r) es cerrada

espero haber mejorado un poco en las demostraciones. saludos. mabel

06 Julio, 2010, 11:38 pm
Respuesta #322

argentinator

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hola profe, de nuevo por acá, fronterizando conjuntos, seguro no soy fronteriza, sino lo tendría más claro

Bueno en el conjunto
B= \( \left\{{}\right\(x,y) \in{}R^2/ x^2+y^2=1. \left |{x}\right|<y} \)



yo hice el dibujo, marque puntos y todo. Obtengo una circunferencia de radio \( \sqrt[ ]{}2/2 \)

Primero me piden si es cerrrado, es así.
Luego me piden frontera, y ahí no encajo, yo pienso en la frontera así:
frontera de B= \( \left\{{}\right\(x,y) \in{}R^2/ x^2+y^2=\sqrt[ ]{}2/2} \)
a lo que el texto agrega \(  \cup{}\left\{{}\right\(x,y)\in{}R^2/ x=y, \left |{x}\right |\leq{}\sqrt[ ]{}2/2} \) esta parte no sé de dónde salió
me puede ayudar a comprender esto?
gracias. mabel

 


No entiende por que´el radio te da alguna cosa distinta de 1. Si la ecuación es \( x^1+y^2<1 \), se trata de un disco circular abierto, sin borde, cuyo radio es 1.
Ese conjunto no es cerrado, porque los puntos del borde, que cumplen \( x^2+y^2=1 \), son puntos de acumulación del conjunto.

mmm

07 Julio, 2010, 04:55 am
Respuesta #323

mabelmatema

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hola profe
lo que sucede es que al armar os valores para dibujar el conjunto, eliminé aquellos que no cumplían la condición \(  \left |{x}\right |<y \). por esto llega a \( \sqrt[ ]{}2/2 \)
saludos

07 Julio, 2010, 06:47 pm
Respuesta #324

mabelmatema

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hola de nuevo
referido al ejercicio anterior el conjunto tenía un error de tipeo
sería
B= \( \left\{{}\right\(x,y) \in{}R^2/ x^2+y^2\leq{}1,\left |{x}\right |<y} \)
así da un conjunto cerrado, pero la frontera realmente no sé como sacarla
gracias, perdón por el error

07 Julio, 2010, 06:49 pm
Respuesta #325

argentinator

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Ah, perdón, ahora veo bien la corrección del enunciado, voy a analizar todo de nuevo.
Olvidate lo que puse antes, que lo voy a borrar.

07 Julio, 2010, 07:08 pm
Respuesta #326

argentinator

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Al pedir una condición como |x| < y, estás exigiendo, sin querer queriendo, que y > 0 siempre, para todo x.
Así que la mitad inferior del círculo ya no está en el conjunto B.

Habría que graficar la curva y = |x|, para después fijarse cuáles son los puntos que están "encima" de esa curva, y que intersecan al círculo.

Acá te pongo el dibujillo. Es la región que está en amarillo lo que sería el conjunto B.
Fijate que el borde superior está incluido en B, pero el borde inferior no lo está, porque la condición es |x| < y, estrictamente.

El radio no cambia, sigue siendo 1, pero tenemos un trozo de círculo.

Los puntos en rosa son la intersección de las rectas y el círculo.
Busquemos el del lado derecho: \( x^2+y^2 = 1 \) se intersecta con la recta \( x = y \).
Basta poner esta última condición en la primer igualdad, para obtener \( x^2+x^2=1 \), y de ahí sale tu famosa raíz de 2. Se obtiene que \( x=\sqrt 2/2 \), y como \( y = x \), obviamente también \( y = \sqrt 2/2 \).

Es importante saber que el punto \( (\sqrt 2/2,\sqrt 2/2) \) es punto de corte porque eso puede influir en los cálculos...

Sin embargo, para ver que "no es cerrado", basta analizar un solo punto de acumulación que sea fácil de demostrar que "no está" en el conjunto. Por ejemplo el (x, y) = (0, 0).








07 Julio, 2010, 09:41 pm
Respuesta #327

mabelmatema

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ya de vuelta del trabajo y a estudiar de nuevo
mirá vos! ni pensé en el conjunto como intersección de 2 condiciones, así quedó clarísimo.
no sé si no te has dado cuenta o a lo mejor esta todo bien pero el 5/7 puse una demostración de "una bola cerrada es un conjunto cerrado", espero tus correcciones.
por todo muchas gracias, mabel

ahhh y entonces el conjunto no sería ni cerrado ni abierto

07 Julio, 2010, 09:55 pm
Respuesta #328

argentinator

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ahhh y entonces el conjunto no sería ni cerrado ni abierto

El dibujjo muestra que no, pero habría que ponerse a probarlo.
El punto (0, 1) es un punto de B que no es interior.
Y el punto (0, 0) es de adherencia de B pero no está en B.


07 Julio, 2010, 10:01 pm
Respuesta #329

argentinator

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Creo que te referís a esta prueba:

de nuevo yo por aquí
te escribo una demostración para que la critiques ya que no veo otra forma de llegar

voy con "una bola cerrada es un conjunto cerrado"

a) con los puntos, de dicha bola que están más cercanos al centro que el radio (xn)

Sea K(x,r) una bola cerrada

Sea \(  x_n\in{}K(x,r)\Rightarrow{}\exists{}B(x_n,r/n) \forall{}n \in{}N/ B(x_n,r/n)\subset{}K(x,r) \), de modo que
\(  K(x,r)\cap{}B(x_n,r/n)\neq{}\emptyset \) , luego \(  x_n \) es punto adherente de K(x,r)


b) con los puntos que estan a una distancia =r ( yn)

Sea  \(  y_n\in{} K(x,r) / d(x,y_n) = r\Rightarrow{} \exists{}B(yn,r)/ K(x,r) \cap{}B(y_n,r)\neq{} \empty \), luego \(  y_n  \) es adherente

Luego, los puntos que se encuentran a menor distancia que el radio y los que están a igual distancia que el radio son adherentes, entonces K(x,r) es cerrada

espero haber mejorado un poco en las demostraciones. saludos. mabel

Se me pasó entre todas las cosas que hemos hablado.
Me parece que no se entiende nada  :'(

Más tarde con más tiempo la miro mejor, pero me parece que así no anda.

Para ver que un conjunto cerrado, hay que tomar un punto x cualquier (genérico) que sea de acumulación del conjunto A, y demostrar que x es efectivamente un elemento de A.
Esto sería una forma sencilla de hacerlo, aprovechando que un conjunto es cerrado si y sólo si contiene a todos sus puntos de acumulación (o puntos límite).

Otra manera de hacerlo es demostrar que su complemento es abierto.
Para ello, se toma un punto x (genérico) del complemento de A, y se procura demostrar que hay una bola abierta centrada en x, tal que toda ella sigue aún fuera de A, o sea, todos los puntos z de esa bola están fuera de A.