Autor Tema: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)

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26 Junio, 2010, 07:31 am
Respuesta #260

argentinator

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28 Junio, 2010, 04:26 pm
Respuesta #261

mabelmatema

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hola de nuevo por aquí:
Te pido opinión sobre las siguientes demostraciones, (no son siguiendo el formato de tu texto)
"la unión de familias de abiertos es abierto"
Sea \( \displaystyle A=\bigcup_{\iota\in I}A_\iota. \)  donde \( A_\iota \) es abierto

Sea x un punto de A, entonces existe \(  i \in{}I \) , tal que \( A_\iota \)  es abierto.

Por lo tanto existe  \( \displaystyle r>0 \) que verifica B(x,r) \( \subset{}A_\iota\subset{}A  \), entonces A es abeirto.


28 Junio, 2010, 04:36 pm
Respuesta #262

mabelmatema

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sigo porque me es difícil escribir un texto largo,
ahora
Ahora:
"la intersección de una familia de abiertos es abierta"

Sean G1 y G2 abiertos

Sea G= \(  G1 \cap{}G2 \)

si G no es el vacío y

tomemos un punto x, tal que \(  x\in{}G1 \) y \(  x\in{}G2 \) , que son abiertos

Luego existen r1 y r2, mayores que 0, tales que

\(  x \in{}B)x,r1) \subset{}G1 \) y \(  x\in{}B(x,r2)\subset{}G2 \)

si llamamos r al menor de r1 y r2, resulta

\(  x\in{}B(x,r)\subset{}G1\cap{}G2 =G \)

luego G es abierto


espero tus correciones. saludos, mabel.

28 Junio, 2010, 05:27 pm
Respuesta #263

argentinator

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Te pido opinión sobre las siguientes demostraciones, (no son siguiendo el formato de tu texto)
"la unión de familias de abiertos es abierto"
Sea \( \displaystyle A=\bigcup_{\iota\in I}A_\iota. \)  donde \( A_\iota \) es abierto

Sea x un punto de A, entonces existe \(  i \in{}I \) , tal que \( A_\iota \)  es abierto.

Por lo tanto existe  \( \displaystyle r>0 \) que verifica B(x,r) \( \subset{}A_\iota\subset{}A  \), entonces A es abeirto.



Me  parece perfecto.

Esta demostración es válida en todo espacio topológico que tenga una métrica d, o más aún, que tenga alguna noción de bolas B(x, r) en el espacio.

Saludos

28 Junio, 2010, 06:32 pm
Respuesta #264

argentinator

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sigo porque me es difícil escribir un texto largo,
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"la intersección de una familia de abiertos es abierta"

Sean G1 y G2 abiertos

Sea G= \(  G1 \cap{}G2 \)

si G no es el vacío y

tomemos un punto x, tal que \(  x\in{}G1 \) y \(  x\in{}G2 \) , que son abiertos

Luego existen r1 y r2, mayores que 0, tales que

\(  x \in{}B)x,r1) \subset{}G1 \) y \(  x\in{}B(x,r2)\subset{}G2 \)

si llamamos r al menor de r1 y r2, resulta

\(  x\in{}B(x,r)\subset{}G1\cap{}G2 =G \)

luego G es abierto


espero tus correciones. saludos, mabel.

Con respecto a la intersección, creo que también tenés razón.

No recuerdo lo que hice yo, creo que habrá sido más complicado...
Me puse a buscar cuál era el radio máximo que cabía en el punto x, para cada uno de los abiertos (que en mi caso eran bolas), y de esos dos radios tomé el mínimo.

No sé por qué busqué el máximo. Es una cuestión de precisión, a lo mejor con la intención de que se viera geométricamente bien lo que estaba ocurriendo.

Pero pensando en lo que vos hiciste, creo que tenés razón, ya que si uno toma la bola de radio más chico, parece muy lógico que esté contenida en los dos abiertos.

Pero es cierta una cosa: "al menos tuviste que tomar el mínimo de dos números", o sea, tuviste que hacer una "cuentita". Mi propio desarrollo tal vez apunte a eso, a mostrar que la intersección requiere hacer alguna cuentecilla más, que no son meras inclusiones de conjuntos.
Sin embargo, parece que mi enfoque es muy complicado de más.

Pero ahora que lo pienso, hay otra sutileza en todo este asunto, que ahora me vengo a dar cuenta.
Me parece que el lado "positivo" de mi construcción pasa por una cuestión técnica más profunda.
Al definir explícitamente cuáles son los "radios" de las circunferencias en torno de los puntos x de la intersección, me he evitado el uso del Axioma de Elección...

Recordemos que el objetivo era escribir la intersección de abiertos como un elemento de la topología, y entonces esto quiere decir, escribir dicha intersección como unión de bolas abiertas en torno a cada punto x.
Pero entonces, para cada x en esa intersección hay que "elegir" un radio \( r_x \) adecuado, que depende de x.
Si sólo digo que en cada x "existe" un radio \( r_x \), y no digo cuál es ese radio, no tengo un criterio para "elegir" un radio para cada x.
Sin embargo, usando el Axioma de Elección, esto es perfectamente factible, porque ese tal Axioma nos permite "elegir" de entre familias de conjuntos que sabemos son no vacías (en este caso, conjuntos de "radios").

Pero yo evité usar ese polémico Axioma de Elección.

Bueno, no sé si te aclaré o te confundí peor.
En conclusión, creo que lo tuyo es correcto, porque probaste que cada punto tiene una bola contenida en la intersección, y eso es consecuente con "tu" definición de abierto.
"Mi" definición requiere una vueltita de tuerca más porque estoy pidiendo que un abierto sea "unión de bolas".
En el fondo, es lo mismo, pero el modo de probar las cosas puede variar un poquito.

No sé qué definición es la mejor.
Las dos son igual de convenientes, incluso en espacios topológicos más generales.


28 Junio, 2010, 07:09 pm
Respuesta #265

mabelmatema

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hola de nuevo, ¡qué bueno esto de tener el profe al toque en la consulta! Un lujito!!
La verdad es que no pensé en axioma de elección ni mucho menos, pero si usé la lógica (mía) de pensar que el menor si o sí debía esta incluido
Ahora salté a la sección 17 de tipos de conjuntos y puntos, perdón por lo desordenado, pero en la ejercitación que poseo habla de interior, clausura y borde con esos tipos de puntos, así que me metí de lleno
Surge el problema, no menor, del \( \emptyset \), qué disyuntiva,
¿es cerrado? ¿es abierto? ¿es abierto y cerrado?
Mi pregunta apunta a que cuando hablamos de demostrar que es una topología ( como unión o selección de abiertos) se lo considera abierto, pero mientras en la sección 17, dice en el Teorema de las propiedades de los conjuntos cerrados \( \emptyset \) y X son cerrados
entonces??
de nuevo muchísimas gracias por tus respuestas tan orientadoras.

28 Junio, 2010, 07:20 pm
Respuesta #266

argentinator

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El vacío y el total siempre tienen que ser abiertos, porque si alguno no está, la familia dada no es topología.

Por eso aconsejo: SIEMPRE VERIFICAR PRIMERO QUE EL VACIO Y EL X ESTÁN EN LA FAMILIA DADA.

Bien, los cerrados son complementos respecto X de abiertos, así que X y el vacío son cerrados.

Así que el vacío y el X son abiertos y cerrados a la vez siempre.

Pero claro, cuando te dan una familia, y te piden probar que es topología, hay que verificar que el vacío y el X están.

Saludos

28 Junio, 2010, 07:30 pm
Respuesta #267

mabelmatema

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Ahh bien, uno es complemento del otro, claro!!!
una más y te tedo tranki por un rato, me voy a trabajar, pero sin antes, consultar respecto del Int y clausura
Por lo visto en el apunte, uno es complemento del otro?
O tal vez yo lo pensaba como la clausura la cáscara del conjunto, el borde de los discos o de las bolas, se me confundió ahí la cosa. de nuevo gracias, nos vemos luego. mabel

28 Junio, 2010, 07:35 pm
Respuesta #268

argentinator

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La clausura sería el conjunto dado unido a su frontera.
El interior son todos los puntos del conjunto que están "holgaditos", o sea, tienen un entorno (una bolita) alrededor que todavía yace en el conjunto dado.

Pero se pueden definir de otra manera más formal, que para hacer demostraciones puede ser más sencillo:

Interior (A) = unión de todos los abiertos incluidos en A.
Clausura (A) = Intersección de todos los cerrados que incluyen al A.

Los puntos límite de A son aquellos x a los que uno puede "acercarse" mediante puntos de A distintos de x.

La frontera puede definirse de varias maneras. Fijate en los ejercicios las igualdades que hay con la frontera, y las vamos estudiando.

Saludos

28 Junio, 2010, 07:51 pm
Respuesta #269

mabelmatema

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ajá si, no me quería meter mucho en los ejercicios antes de tener claro esto, entonces claor clausura no es limite!!. bien. sigo más tarde. hasta luego. saludos