Hola amigos, es mi primer comentario respecto al curso. Hace pocos días que tome conocimiento del foro así que seguramente estoy llegando bastante tarde a los contenidos, pido disculpas y agradezco el hecho de mi admisión, pese a ello tengo un gran interés por los temas aquí tratados así que pondré empeño en avanzar en la medida que el tiempo me lo permita.
Quiero adelantar que soy una de esas personas que tratan de entender más que de aprender, por ello me gusta cerrar los temas con la máxima comprensión posible. En función de lo dicho, me tomo el atrevimiento de plantear una pregunta que tiene que ver con temas ya tratados, espero no generar molestias.
Estoy leyendo: "Resumen de hechos fundamentales de Teoría de conjuntos" y me topé aquí con una duda que ya me había surgido leyendo el libro: "Teoría de Conjuntos y temas afines" de "Seymour Lipschuts". Allí se menciona algo parecido a lo que observo en este curso (transcribo): "El vacío es subconjunto de cualquier
otro conjunto. Esto puede demostrarse mediante cuidadosas implicaciones lógicas, o bien tomarlo como axioma, para evitar demasiadas discusiones filosóficas."
En el libro que cite se plantean además los siguientes detalles:
a) {0} es un conjunto que contiene el elemento cero, no es \( \emptyset \);
b) \( \emptyset \), es un conjunto que no tiene elementos "conjunto vacío";
c) el conjunto {\( \emptyset \)} es un conjunto que tiene un elemento, el conjunto vacío \( \emptyset \).
1) Qué diferencia hay entre los conjuntos?
1-1- Desde mi modesto punto de vista es inevitable relacionar el cero del conjunto de números, (tratando este conjunto en particular pues puede haber conjuntos de otra naturaleza) con el conjunto vacío así que pregunto:
En el marco particular del conjunto de números, que diferencia tiene {0} con \( \emptyset \)? Digo esto porque el cero es neutro, en la antigüedad ciertas culturas lo representaban con un espacio VACIO, hoy con el símbolo cero "0" pero esto no cambia lo que representa.
1-2- Más conflictiva me resulta aún la diferenciación de vacío con {\( \emptyset \)}, cual es la diferencia si al fin y al cabo un conjunto \( \emptyset \) es vacío y por lo tanto un conjunto que contiene el vació también es vacío? Creo que podría pensarse que el conjunto \( \emptyset \) contiene el vacío y este al vacío y al vacío y al vacío... indefinidamente. Vacío es vacío y punto. O es que acaso tengo que entender a los conjuntos como un lugar “disponible para que halla algo”, es decir si yo simplifico {\( \emptyset \)} con \( \emptyset \), estaría perdiendo información pues habría un conjunto disponible para ser ocupado, el que contiene al conjunto \( \emptyset \), mientras que el conjunto vacío propiamente dicho es tomado estrictamente como un conjunto que no puede ser “ocupado” por ningún elemento en ninguna circunstancia. Es así?
1-3- Por otra parte qué debo interpretar (no pido una demostración aunque me sería muy didáctica) sobre el hecho de que todo conjunto contiene al conjunto \( \emptyset \)? Si yo entiendo el conjunto como un lugar “disponible a ser ocupado” entonces que contenga al\( \emptyset \) significa que por más que yo quite todos los elementos del conjunto, este seguirá siendo un conjunto y no perderá su identidad, es decir, seguirá existiendo a pesar de no tener elementos. Desde ese punto de vista si lo podría comprender pues, que contenga al \( \emptyset \) parece ser algo así como un artificio lógico para permitir que un conjunto cuyos elementos hayan sido extinguidos siga siendo conjunto, algo así como darle una razón de existencia (contener al conjunto vacío, y no ser el mísmo un conjunto vacío) para que no desaparezca, pero no se si es acertado mi razonamiento…
1-4- Por último, hace días estuve investigando en la Web y en los textos a los que pude acceder sobre las indefiniciones e indeterminaciones que involucran al elemento neutro de los números, el cero. Mi búsqueda demostró que hay gran cantidad de contenidos erróneos y muchas opiniones encontradas, por lo que traté de aferrarme a aquellos medios más "responsables" a la hora de brindar contenidos, pudiendo llegar a conclusiones aceptables. Dejando de lado el tema de las indeterminaciones quiero exponer continuación un texto de Wikipedia con el que me topé en mi búsqueda, trata particularmente de la indeterminación \( 0^0 \):
"En lógica formal se puede probar que \( 0^0 = 1 \), esto se hace observando que existe una única función de vacío en el vacío, la cual es la función vacía."
Me encantaría entender esto pues parece ser muy didáctico
….
2-1-Cuando se dice que: : Si dos conjuntos no tienen elementos en común se dicen disjuntos, o sea: \( A \) y \( B \) son disjuntos si y sólo si todo elemento \( x \in A \) no está en \( B \), y también todo \( x \in B \) no está en \( A \)."
No bastaría con decir \( A \) y \( B \) son disjuntos si y sólo si todo elemento \( x \in A \) no está en \( B \) pues ya con eso no puede haber en \( B \) ningun elemento que este en \( A \), es decir la segunda condición seda con la primera, no es así?
2-2-En cuanto a las familias de conjuntos "El conjunto de índices \( I \) puede ser un conjunto arbitrario" esto es asi siempre y cuando los elemento sean números naturales no? En principio lo di por obvio pero luego me encontre con el siguiente comentario:
Una pregunta solo argentinator, creo que establecer la definición de unión infinita de conjuntos en la forma que lo hiciste:
\( \bigcup_{\iota \in I} A_\iota := \{x:\exists{\iota \in I}(x\in A_\iota )\} \)
no es equivalente a ninguna de las anteriores que mostraste, si no que es más general, porque admite que el conjunto de subíndices pueda ser cualquiera, no necesariamente un conjunto finito ó numerable (cosa que sería obligada si consideramos que los subíndices fueran un número natural).
Esto nos permite entonces definir la unión de familias de conjuntos de cualquier cardinalidad (cardinalidad de la familia claro), y esa es la razón de que se prefiera hacerlo en esta forma, para evitar esas limitaciones debidas a la cardinalidad de los subíndices. Ya que dicha cardinalidad (la de la família) debe coincidir con la cardinalidad del conjunto de subíndices, pero haciéndolo de esta forma no se exigirá que sea finita ó numerable, sino que puede ser cualquiera:
Así por ejemplo la família \( \{A_r\}_{r\in{R}} \) podría expresarse facilmente usando esa forma de definir una familia, pero ...
A partir de esto me pregunto: el conjunto de índices \( I \) puede ser entonces de naturaleza real \( I\subset{R} \)? De esta forma la función que define la familia de conjuntos sería biyectiva y se definiría como \( F:R\rightarrow{R} \)?
Desde ya gracias y perdón si incomodo a alguien pero cuando no comprendo algo me “enrosco” y me cuesta seguir, más cuando tengo que aplicarlo después…GMARES
