[argentinator]

Ejercicio 17.10. Pruebe que cada topología del orden es Hausdorff.
Solución:
¿A qué topologías se refiere?

Se refiere a un conjunto X cualquiera, en el que se ha definido un orden total (lineal), tal como hemos venido trabajando hasta ahora.
En cualquiera de esas topologías, vale la propiedad de Hausdorff.

Podrías intentar hacer la demostración para R, aunque usando sólo propiedades de orden, y después quizá sea muy fácil adaptarla para un orden general.

También conviene trabajar con la base de la topología, que son intervalos abiertos, y no con todos los elementos abiertos de la misma, que es un lío.

[argentinator]

Ejercicio 17.11. Pruebe que el producto de dos espacios de Hausdorff es de Hausdorff.
Solución:
Sean \( X \) e \( Y \) dos espacios de Hausdorff, tomemos \( (a,b),(c,d)\in{X\times{Y}} \) diferentes, podemos tomar \( a\neq{c} \) y con b y c no interesa, tomémoslos también diferentes, Luego tenemos que \( a,c\in{X} \) y \( b,d\in{Y} \), al ser \( X \) e \( Y \) dos espacios de Hausdorff, existen entornos \( V_a,V_b,V_c,V_d \) tales que
\( V_a\cap{V_c}\neq{\emptyset} \) y \( V_b\cap{V_d}\neq{\emptyset} \), luego
\( (V_a\times V_b)\cap{(V_c\times V_d)}=(V_a\cap V_c)\times (V_b\cap V_d)\neq{\emptyset} \) y se tiene lo pedido.

Para el caso de b y d iguales solo se hacen unas ciertas modificaciones.

Me parece que la prueba está correcta.

[argentinator]

Ejercicio 17.12. Pruebe que un subespacio de un espacio de Hausdorff es de Hausdorff.
Solución:
Sea \( X \) un espacio de Hausdorff, y \( Y\subseteq{X} \) un subespacio, tomemos \( a,b\in{Y\subseteq{X}} \), como \( X \) es Hasudorff, existen entornos disjuntos \( U_a,U_b \) de \( a \) y \( b \) respectivamente, luego los entornos de \( a \) y \( b \) respecto al subespacio \( Y \), \( V_a=U_A\cap Y \) y \( V_b=U_b\cap Y \) también son disjuntos y por tanto \( Y \) es Hausdorff.

Me parece que esto está bien.

 

[argentinator]

Ejercicio 17.13. Pruebe que si \( X \) es de Hausdorff si, y sólo si, la diagonal \( \triangle=\{(x,x)|x\in{X}\} \) es cerrada en \( X\times X \).
Solución:
\( \boxed{\Rightarrow{}} \)
Para probar que la diagonal \( \triangle=\{(x,x)|x\in{X}\} \) es cerrada en \( X\times X \), probaremos que su complemento es abierto. Sean entonces \( w=(p,q)\not\in{\triangle} \), entonces \( p\neq{q} \) y como \( X \) es Hausdorff, existen entornos \( V_p \) y \( V_q \) de p y q respectivamente tales que \( V_p\cap V_q=\emptyset \). Sea \( U_w=V_p\times V_q \), se tiene que \( U_w \) es entorno de \( w \) y \( U_w\cap{\triangle}=\emptyset\Rightarrow{U_w\subseteq{\triangle}^c} \). Por tanto \( \triangle ^c \) es abierto, de donde \( \triangle  \) es cerrado.

Esta parte está perfecta.

\( \boxed{\Leftarrow{}} \)
 Si la diagonal \( \triangle=\{(x,x)|x\in{X}\} \) es cerrada en \( X\times X \), entonces su complemento es abierto, luego tomando \( (p,q)\in{\triangle ^c} \), se tiene que \( p\neq{q} \) y al ser abierto, existe un entorno de \( (p,q) \), sea este \( U_{(p,q)} \), tal que \( U_{(p,q)}\subseteq{\triangle}^c \), pero al ser este un entorno del espacio producto \( X\times X \), es producto de dos entornos, es decir, existen \( V_p,V_q \) entornos de \( p \) y \( q \) respectivamente tales que \( U_{(p,q)}=V_p\times V_q \), luego
\( V_p\times V_q=U_{(p,q)}\subseteq{\triangle}^c\Rightarrow{(V_p\times V_q)}\cap{\triangle}=\emptyset\Rightarrow{V_p\cap V_q}=\emptyset \) y por tanto \( X \) es Hausdorff.

Acá estás cometiendo otra vez el error de pensar que todo entorno del producto es producto de entornos abiertos...
Eso no es así, sin embargo la idea es válida, porque todo entorno básico del producto es producto de entornos abiertos.
Corrigiendo eso, las cosas marchan mejor.
Creo que con ese cambio tu prueba estaría perfecta.

[enloalto]

Bueno, pero ese ejercicio dice: "Determine cuál de las igualdades siguiente es cierta".
Esa pareciera que no es cierta.

Y bastaría visualizarlo dibujando intervalos en la recta real, y tomar su producto cartesiano.
Fijate con ese ejemplito, y te vas a convencer.

PLOP, tienes razón, ahora con tus comentarios voy a revisar los ejercicios, a seguir estudiando.........

[robinharra]

Hola argentinator
Estoy repasando conjuntos, logica y funciones, creo que tienes un error de tecleo en la defición de Imágenes y preimágenes de conjuntos por una función, te falta el \( _0 \).

Además en la última propiedad es \( A_0 \) ó \( B_0 \)

También falta algo en Funciones inyectivas, suryectivas y biyectivas.
Tienes algo así \( f^{-1}(f(a))=a, f(f^{-1}(b)) \)

[argentinator]

Hola robinbarra.

Gracias por las observaciones tan minuciosas.

Esos errores tontos pueden ser todo un problema para muchos lectores, que pueden pensar que todo lo que estan leyendo no tiene error alguno.

Ya hice las correcciones.
En cuanto a la frase incompleta, lo que deseaba escribir era lo siguiente.

Se cumple que \( f^{-1}(f(a))=a, \qquad f(f^{-1}(b))=b \).

Saludos

[robinharra]

Hola
Tengo una duda con respecto al lema 3.1,
Cuando hablas de dos clases de equivalencia \( E,E' \) te refieres a que para algún \( x \) y algún \( y \) en \(  A \) se cumple que \( E=E_x \) y \( E'=E_y \).

Spoiler

La demostración serìa como suponer que no son disjuntas, luego existe un elemento \( w\in{E'\cap{E}} \)
por tanto \( w\sim{x} \) y \( w\sim{y} \). Luego por ser una relacion de equivalencia se cumple que (falta aplicar la propiedad dos a una de las relaciones) \( x\sim{y} \) y \( y\sim{x} \). De lo anterior \( x\in{E'} \) y \( y\in{E} \)

¿Es correcta mi apreciación?

[cerrar]

Hasta pronto y gracias.

[argentinator]

Hola
Tengo una duda con respecto al lema 3.1,
Cuando hablas de dos clases de equivalencia \( E,E' \) te refieres a que para algún \( x \) y algún \( y \) en \(  A \) se cumple que \( E=E_x \) y \( E'=E_y \).

Claro, eso es lo que quiero decir.

La demostración serìa como suponer que no son disjuntas, luego existe un elemento \( w\in{E'\cap{E}} \)
por tanto \( w\sim{x} \) y \( w\sim{y} \). Luego por ser una relacion de equivalencia se cumple que (falta aplicar la propiedad dos a una de las relaciones) \( x\sim{y} \) y \( y\sim{x} \). De lo anterior \( x\in{E'} \) y \( y\in{E} \)

¿Es correcta mi apreciación?

Lo que has dicho es correcto, pero hay que mantener el foco de lo que se desea demostrar.
Se desea probar que E = E'.

Para ello, se prueba que E es subconjunto de E', y luego se prueba la recíproca, pero como la mecánica es la misma se puede obviar esto último.
Así que probemos que \( E\subset E' \).
Con tu notación esto es probar \( E_x\subset E_y \).
Sea pues \( z\in E_x \).
Se tiene \( z\sim{x}\sim{w}\sim{y} \).
Por transitividad aplicada 2 veces resulta que \( z\in E_y \).

Saludos

[cambio]

Hola.

Amigo argentinator me puedes explicar mejor esta respuesta que enunciaste:

¿Está definida la intersección de los elementos de ?
Respuesta: no.

Este tipo de cosas tienen que ver con las sutilezas de la teoría de conjuntos.
Digamos, sin entrar en detalles, que la intersección de la familia vacía da como resultado la clase universal, que no es un conjunto. En ciertas teorías de conjuntos, como la de Zermelo-Fraenkel, no hay clases que no sean conjuntos, y así la intersección quedaría indefinida.

Gracias.