Autor Tema: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)

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20 Marzo, 2010, 02:32 am
Respuesta #180

cuberomeli23

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Me inscribo al curso de topología. Qué buena idea. Gracias

21 Marzo, 2010, 03:54 am
Respuesta #181

enloalto

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Ejercicio 17.8. Denotemos por \( A \), \( B \) y \( A_\alpha \) a subconjuntos del espacio \( X \). Determine si las siguientes ecuaciones se cumplen; si una igualdad es falsa, determine si una de las inclusiones \( \supset{} \) o \( \subset{} \) se cumple.

(1) \( \overline{A\cap B}=\overline{A}\cap \overline{B} \).

(2) \( \overline{\displaystyle\bigcap A_\alpha}=\displaystyle\bigcap \overline{A_\alpha} \).

(3) \( \overline{A-B}=\overline{A}-\overline{B} \).
Solución:

(1) Falso. Tomemos dos contraejemplos.
  • Sea \( A=(0,1/2) \), \( B=(1/2,1) \), luego
    \( \overline{A\cap B}=\emptyset \), pero \( \overline{A}\cap \overline{B}=\{1/2\} \)
  • Sea \( A=\mathbb{Q} \) y \( B=\mathbb{Q}^c=\mathbb{I} \), luego \( A\cap{B}=\emptyset\Rightarrow{\overline{A\cap{B}}}=\emptyset \) y \( \overline{A}=\mathbb{R} \) y \( \overline{B}=\overline{\mathbb{I}}=\mathbb{R} \). Luego,
    \( \overline{A}\cap{\overline{B}}=\mathbb{R}\neq{\emptyset} \).

Lo que sí se cumple es
\( \overline{A\cap{B}}\subseteq{\overline{A}\cap{\overline{B}}} \). En efecto, puesto que \( A\cap{B}\subseteq{A}\Rightarrow{\overline{A\cap{B}}\subseteq{\overline{A}}} \), de igual manera \( \overline{A\cap B}\subseteq{\overline{B}} \). Por tanto, \( \overline{A\cap{B}}\subseteq{\overline{A}\cap{\overline{B}}} \)

(2) Falso De (1) vemos que sólo se cumple \( \overline{\displaystyle\bigcap {A_\alpha}}\subseteq{\displaystyle\bigcap{\overline{A_\alpha}}} \).

(3) (1) Falso. Tomando como en (1) \( A=(0,1/2) \), \( B=(1/2,1) \), luego
\( \overline{A- B}=[0,1/2] \), pero \( \overline{A} - \overline{B}=[0,1/2) \).
y lo que se cumple es
\( \overline{A} - \overline{B}\subseteq\overline{A- B} \).
La demostración la encontré en este post:


http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,5004.0.html
Llovizna queriendo ser lluvia de verano

21 Marzo, 2010, 04:39 am
Respuesta #182

enloalto

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Ejercicio 17.9. Sean \( A\subset{X} \) y \( B\subset{Y} \). Pruebe que en el espacio \( X\times{Y} \),
\( \overline{A\times B}=\overline{A}\times \overline{B} \).
Solución:
\( \boxed{\overline{A\times B}\subseteq \overline{A}\times \overline{B}} \)
Sea \( p=(p_A,p_B)\in{\overline{A\times B}} \), luego, todo entorno de p, intersecta a  \( A\times B \), es decir, si \( V_p \) es entorno de \( p \), se tiene \( V_p\cap{(A\times{B})}\neq{\emptyset} \). Pero  \( V_p=U_{p_A}\times U_{p_B} \), donde \( U_{p_A},U_{p_B} \) son entornos de \( p_A \) y \( p_B \) respectivamente. Entonces
\( V_p\cap{(A\times{B})}\neq{\emptyset}\Rightarrow{(U_{p_A}\times U_{p_B})\cap{(A\times{B})}}=(U_{p_A}\cap A)\times (U_{p_B}\cap B)\neq{\emptyset} \)
Y esto a su vez significa
\( U_{p_A}\cap A\neq{\emptyset} \) y \( U_{p_B}\cap B\neq{\emptyset} \), de donde se tiene \( p_A\in{\overline{A}} \) y \( p_B\in{\overline{B}} \) y por tanto \( p\in{\overline{A}\times{\overline{B}}} \).

\( \boxed{\overline{A}\times{\overline{B}}}\subseteq{\overline{A\times B}} \)
Es repetir lo anterior pero en orden inverso.
Llovizna queriendo ser lluvia de verano

21 Marzo, 2010, 05:09 am
Respuesta #183

enloalto

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Ejercicio 17.10. Pruebe que cada topología del orden es Hausdorff.
Solución:
¿A qué topologías se refiere?
Llovizna queriendo ser lluvia de verano

21 Marzo, 2010, 05:19 am
Respuesta #184

enloalto

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Ejercicio 17.11. Pruebe que el producto de dos espacios de Hausdorff es de Hausdorff.
Solución:
Sean \( X \) e \( Y \) dos espacios de Hausdorff, tomemos \( (a,b),(c,d)\in{X\times{Y}} \) diferentes, podemos tomar \( a\neq{c} \) y con b y c no interesa, tomémoslos también diferentes, Luego tenemos que \( a,c\in{X} \) y \( b,d\in{Y} \), al ser \( X \) e \( Y \) dos espacios de Hausdorff, existen entornos \( V_a,V_b,V_c,V_d \) tales que
\( V_a\cap{V_c}\neq{\emptyset} \) y \( V_b\cap{V_d}\neq{\emptyset} \), luego
\( (V_a\times V_b)\cap{(V_c\times V_d)}=(V_a\cap V_c)\times (V_b\cap V_d)\neq{\emptyset} \) y se tiene lo pedido.

Para el caso de b y d iguales solo se hacen unas ciertas modificaciones.
Llovizna queriendo ser lluvia de verano

21 Marzo, 2010, 05:27 am
Respuesta #185

enloalto

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Ejercicio 17.12. Pruebe que un subespacio de un espacio de Hausdorff es de Hausdorff.
Solución:
Sea \( X \) un espacio de Hausdorff, y \( Y\subseteq{X} \) un subespacio, tomemos \( a,b\in{Y\subseteq{X}} \), como \( X \) es Hasudorff, existen entornos disjuntos \( U_a,U_b \) de \( a \) y \( b \) respectivamente, luego los entornos de \( a \) y \( b \) respecto al subespacio \( Y \), \( V_a=U_A\cap Y \) y \( V_b=U_b\cap Y \) también son disjuntos y por tanto \( Y \) es Hausdorff.
Llovizna queriendo ser lluvia de verano

21 Marzo, 2010, 05:47 am
Respuesta #186

enloalto

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Ejercicio 17.13. Pruebe que si \( X \) es de Hausdorff si, y sólo si, la diagonal \( \triangle=\{(x,x)|x\in{X}\} \) es cerrada en \( X\times X \).
Solución:
\( \boxed{\Rightarrow{}} \)
Para probar que la diagonal \( \triangle=\{(x,x)|x\in{X}\} \) es cerrada en \( X\times X \), probaremos que su complemento es abierto. Sean entonces \( w=(p,q)\not\in{\triangle} \), entonces \( p\neq{q} \) y como \( X \) es Hausdorff, existen entornos \( V_p \) y \( V_q \) de p y q respectivamente tales que \( V_p\cap V_q=\emptyset \). Sea \( U_w=V_p\times V_q \), se tiene que \( U_w \) es entorno de \( w \) y \( U_w\cap{\triangle}=\emptyset\Rightarrow{U_w\subseteq{\triangle}^c} \). Por tanto \( \triangle ^c \) es abierto, de donde \( \triangle  \) es cerrado.

\( \boxed{\Leftarrow{}} \)
 Si la diagonal \( \triangle=\{(x,x)|x\in{X}\} \) es cerrada en \( X\times X \), entonces su complemento es abierto, luego tomando \( (p,q)\in{\triangle ^c} \), se tiene que \( p\neq{q} \) y al ser abierto, existe un entorno de \( (p,q) \), sea este \( U_{(p,q)} \), tal que \( U_{(p,q)}\subseteq{\triangle}^c \), pero al ser este un entorno del espacio producto \( X\times X \), es producto de dos entornos, es decir, existen \( V_p,V_q \) entornos de \( p \) y \( q \) respectivamente tales que \( U_{(p,q)}=V_p\times V_q \), luego
\( V_p\times V_q=U_{(p,q)}\subseteq{\triangle}^c\Rightarrow{(V_p\times V_q)}\cap{\triangle}=\emptyset\Rightarrow{V_p\cap V_q}=\emptyset \) y por tanto \( X \) es Hausdorff.
Llovizna queriendo ser lluvia de verano

09 Abril, 2010, 06:47 pm
Respuesta #187

argentinator

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Hola enloalto.

Ante todo me disculpo enormemente por la larga ausencia.
Ya te contaré los motivos.


El ejercicio 17.1 está muy bien.
Sólo tengo dudas en la forma más correcta de escribir la prueba, por ejemplo en la parte (2):

Ejercicio 17.1. Sea \( \mathcal{C} \) una colección de subconjuntos de \( X \). Supongamos que \( \emptyset \) y \( X \) están en \( \mathcal{C} \), y que las uniones finitas y las intersecciones arbitrarias de elementos de \( \mathcal{C} \) están en \( \mathcal{C} \). Pruebe que la colección

\( \tau=\{X-C|C\in{\mathcal{C}}\} \)

es una topología sobre \( X \).
Solución.

(...)



2) Sean \( \{U_i\} \), tal que \( U_i\in{\tau} \) para todo \( i \), entonces \( \color{red}U_i=X-C_i,\quad C_i\in{\mathcal{C}} \), para todo \( i \). Luego
\( \displaystyle\bigcup_{i} {U_i}=\displaystyle\bigcup_{i} {X-C_i}=X-\displaystyle\bigcap_{i} {C_i} \)

Por hipótesis (...)
[size]

Fijate lo que marqué en rojo.
Aunque se entiende perfectamente, creo que la forma exacta de decirlo sería así:
"entonces, para todo \( i \) existe \( C_i\in\mathcal C \) tal que \( U_i=X-C_i \)".

Todo depende de que tan exactos queramos ser, o bien del estilo a emplear.
Tal vez lo que he puesto se pueda incluso escribir de una forma más parecida a la tuya.

Saludos

09 Abril, 2010, 07:26 pm
Respuesta #188

argentinator

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Ejercicio 17.2. Pruebe que si \( A \) es cerrado en \( Y \) e \( Y \) es cerrado en \( X \), entonces \( A \) es cerrado en \( X \).
Solución.
\( A \) es cerrado en \( Y \), entonces \( A=Y\cap F \), donde \( F \) cerrado en \( X \) y como \( Y \) también es cerrado en \( X \), entonces A es intersección de dos cerrados en X, luego es cerrado en X

Claro...

09 Abril, 2010, 07:35 pm
Respuesta #189

argentinator

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Ejercicio 17.3. Pruebe que si \( A \) es cerrado en \( X \) y \( B \) es cerrado en \( Y \), entonces \( A\times{B} \) es cerrado en \( X\times{Y} \).
Solución.
Como \( A \) es cerrado en \( X \), entonces \( X-A \) es abierto.
Como \( B \) es cerrado en \( Y \), entonces \( Y-B \), es abierto

Luego, \( (X-A)\times{(Y-B)} \) es abierto, pero
\( (X-A)\times{(Y-B)}=(X\times{Y})-(A\times{B}) \), luego
\( (X\times{Y})-(A\times{B}) \) es abierto, de donde \( A\times{B} \) es cerrado.


Este ejercicio es sencillo, pero no hay que dejarse confundir por la sencillez.

Creo que es incorrecta la igualdad de conjuntos:
\( \color{red}(X-A)\times{(Y-B)}=(X\times{Y})-(A\times{B}) \)

Habría que hacer un dibujo, por ejemplo con intervalos de la recta real, y ver qué está sucediendo.
La igualdad correcta a emplear sería:
\( (X\times{Y})-(A\times{B})=[(X-A)\times Y]\cup [X\times(Y-B)] \)

Luego, basta verificar que cada corchete es un conjunto abierto en \( X\times Y \).

Saludos