Autor Tema: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)

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01 Marzo, 2010, 12:15 am
Respuesta #170

argentinator

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03 Marzo, 2010, 05:56 am
Respuesta #171

enloalto

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Hola argentinator, bueno siguiendo con el ejercicio 16.9

Me quedé en que si \( V \) es un elemento básico de la topología producto sobre \( \mathbb{R}_d\times{\mathbb{R}} \) entonces, es un abierto de la topología del orden del diccionario sobre \( \mathbb{R}^2 \)

Sea ahora, V un abierto cualquiera de la topología producto sobre \( \mathbb{R}_d\times{\mathbb{R}} \), entonces es la unión de elementos básicos de la topología producto sobre \( \mathbb{R}_d\times{\mathbb{R}} \), es decir, existe \( V_\alpha \) básicos tales que
\( V=\bigcup_ \alpha \), pero ya sé que cada básico es un abierto de la topología del orden del diccionario sobre \( \mathbb{R}^2 \), luego V es unión de abiertos de la topología del orden del diccionario sobre \( \mathbb{R}^2 \), entonces es un abierto en esta topología, luego

La topología producto sobre \( \mathbb{R}_d\times{\mathbb{R}} \) está incluida en la topología del orden del diccionario sobre \( \mathbb{R}^2 \).

También en el primer post de este ejercicio, a saber la respuesta 166 se probó que, la base topología del orden del diccionario sobre \( \mathbb{R}^2 \) está contenida  en la base de la topología producto sobre \( \mathbb{R}_d\times{\mathbb{R}} \). Luego
La topología del orden del diccionario sobre \( \mathbb{R}^2 \) está incluida en la topología producto sobre \( \mathbb{R}_d\times{\mathbb{R}} \).

De donde tengo que las topologías son iguales.

Llovizna queriendo ser lluvia de verano

03 Marzo, 2010, 06:01 am
Respuesta #172

enloalto

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Pasando a limpio.

Ejercicio 16.9. Pruebe que la topología del orden del diccionario sobre el conjunto \( \mathbb{R}\times{\mathbb{R}} \) es la misma que la topología producto \( \mathbb{R}_d\times{\mathbb{R}} \), donde \( \mathbb{R}_d \) denota a \( \mathbb{R} \) con la topología discreta. Compare esta topología con la topología usual sobre \( \mathbb{R}^2 \).

Solución.
Recordemos que la colección B de intervalos de la forma
\( ({\color{blue}(}a, b{\color{blue})}, {\color{blue}(}a, d{\color{blue})}) = \{{\color{blue}(}a, y{\color{blue})}|{\color{blue}(}a, b{\color{blue})} < {\color{blue}(}a, y{\color{blue})} < {\color{blue}(}a, d{\color{blue})}\} \)
también forma una base de la topología del orden sobre \( \mathbb{R}\times{\mathbb R} \).
Entonces, sea \( U \) un elemento básico de la la base B, luego \( U=({\color{blue}(}a,b{\color{blue})},{\color{blue}(}a,d{\color{blue})}) \), pero
 \( ({\color{blue}(}a,b{\color{blue})},{\color{blue}(}a,d{\color{blue})})=\{(x,y)\in{\mathbb{R}^2};x=a,\quad b<y<d\}=\{a\}\times (b,d) \), y como
\( \{a\}\in{P(\mathbb{R})} \), es un abierto básico de la topología discreta, y \( (b,d) \) es un intervalo abierto, es un abierto básico de la topología usual tenemos que
\( U=\{a\}\times (b,d) \) es un elemento básico de la topología producto sobre \( \mathbb{R}_d\times{\mathbb{R}} \).

Por tanto, la base topología del orden del diccionario sobre \( \mathbb{R}^2 \) está contenida  en la base de la topología producto sobre \( \mathbb{R}_d\times{\mathbb{R}} \). De donde concluimos que la topología del orden del diccionario sobre \( \mathbb{R}^2 \) está incluida en la topología producto sobre \( \mathbb{R}_d\times{\mathbb{R}} \)....(1)

Ahora, sea \( V=V_0\times (a,b) \) un elemento básico de la topología producto sobre \( \mathbb{R}_d\times{\mathbb{R}} \). Tomemos
\( (x,y)\in V \), entonces \( x\in V_0 \) y \( y\in (a,b) \), luego \( \{x\}\subseteq{V_0} \) y tomando \( U=({\color{blue}(}x,a{\color{blue})},{\color{blue}(}x,b{\color{blue})})=\{x\}\times (a,b)\subseteq{V_0\times (a,b)}=V \) tenemos que
\( (x,y)\in{U}\subseteq{V} \). Por tanto \( V \) es un abierto de la topología del orden del diccionario sobre \( \mathbb{R}^2 \).

Sea ahora, V un abierto cualquiera de la topología producto sobre \( \mathbb{R}_d\times{\mathbb{R}} \), entonces es la unión de elementos básicos de la topología producto sobre \( \mathbb{R}_d\times{\mathbb{R}} \), es decir, existe \( V_\alpha \) básicos tales que
\( V=\bigcup_ \alpha \), pero ya sé que cada básico es un abierto de la topología del orden del diccionario sobre \( \mathbb{R}^2 \), luego V es unión de abiertos de la topología del orden del diccionario sobre \( \mathbb{R}^2 \), entonces es un abierto en esta topología, luego

La topología producto sobre \( \mathbb{R}_d\times{\mathbb{R}} \) está incluida en la topología del orden del diccionario sobre \( \mathbb{R}^2 \)....(2)

De (1) y (2) tengo que las topologías son iguales.

Para terminar el ejercicio, me piden que compare esta topología con la topología usual sobre \( \mathbb{R}^2 \). Para eso tengo que ver si una es más fina que otra, y en caso de no serlo , tendría que encontrar un abierto que esté solo en una, pero no se me ocurre.  :banghead: :banghead:
Llovizna queriendo ser lluvia de verano

03 Marzo, 2010, 06:10 am
Respuesta #173

enloalto

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Los ejercicios 16.7 y 16.8 sí creo que las puedo hacer, pero el 16.10 me está derrotando, es como el policía que se derrite en Terminator II y se ha disfrazado de ejercicio fácil al que me acerqué y ahora me quiere destruir............necesito la ayuda de argentinator!!!!!!!!!!!!!
Llovizna queriendo ser lluvia de verano

03 Marzo, 2010, 02:00 pm
Respuesta #174

argentinator

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La clave está en prestar atención a lo que ocurre con los puntos que están en los bordes del cuadrado \( I\times I \). O sea, cuando termina un "palito" o cuando comienza un nuevo "palito".
Hay que analizar qué ocurre allí con los elementos de una cierta base que contenga a esos puntos.
Los demás puntos son más fáciles de analizar.

Por ahora no tengo más tiempo, si no, te podría explicar mejor.

Fijate si con esa guía el ejercicio sale. Hacer un dibujito también ayuda.
Hay que hacer razonamientos geométricos, y apenas después traducirlos a lenguaje formal.

Saludos

14 Marzo, 2010, 05:09 am
Respuesta #175

enloalto

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Hola argentinator, disculpa por la ausencia, estuve estudiando otras cosas y haciendo un trabajito.

Para serte sincero no he intentado los últimos ejercicios de la sección 16, pero no me quiero atrazar y deseo seguir con el resto, te prometo que los haré y los publicaré aca. Espero no decepcionarte.
Llovizna queriendo ser lluvia de verano

14 Marzo, 2010, 06:42 am
Respuesta #176

enloalto

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Ejercicio 17.5. Sea \( X \) un conjunto ordenado con la topología del orden. Muestre que \( \overline{(a,b)}\subseteq{[a,b]} \). ¿Bajo qué condiciones se cumple la igualdad?
Solución.
¿Es necesario saber si X tiene elemento máximo o mínimo? hummmm, profe deme una pista como empezar.

\( X \) con la topología del orden tiene tres tipos de elementos básicos, a saber,
\( (a,b) \), \( [a_0,b) \) donde \( a_0 \) es el mínimo de X y \( (a,b_0] \), donde  \( b_0 \) es el máximo de X, en caso los haya.

Por definición, \( \overline{(a,b)}=\bigcap\limits_{\substack{F\mbox{cerrado}\\(a,b)\subseteq{F}}} F \).

Como \( X-[a,b]=[a_0,a)\cup (b,b_0] \), entonces \( [a,b] \) es un cerrado, y claramente contiene a \( (a,b) \), entonces \( \overline{(a,b)}\subseteq{[a,b]} \).

Por otra parte, también sabemos que
\( \overline{(a,b)}=(a,b)\cup (a,b)' \), para tener la igualdad se tiene que cumplir que
\( (a,b)'=\{a,b\} \).

¿Es correcto?
Llovizna queriendo ser lluvia de verano

14 Marzo, 2010, 07:05 am
Respuesta #177

enloalto

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17.6 Denotemos por \( A,B \) y\( A_\alpha \) a subconjuntos del espacio \( X \). Pruebe lo siguiente:
(a) Si \( A\subseteq{B} \), entonces \( \overline{A}\subseteq{\overline{B}} \).
(b) \( \overline{A\cup B}=\overline{A}\cup \overline{B} \).
(c) \( \bigcup \overline{A}_\alpha\subset{\overline{\bigcup A_\alpha}} \); dé un ejemplo donde no se cumpla la igualdad.

Solución:
(a) Por definición \( \overline{A}=\bigcap\limits_{\substack{F\mbox{ cerrado}\\A\subset{F}}} F \) y \( \overline{B}=\bigcap\limits_{\substack{G\mbox{ cerrado}\\B\subset{G}}} G \)

Como \( A\subseteq{B}\subseteq{\overline{B}} \) y \( \overline{B} \) es cerrado, entonces, \( \overline{B} \) es un cerrado que contiene a \( A \), y por definición se tiene \( \overline{A}\subseteq{\overline{B}} \)..

Otra forma:

(*)Si tomemos \( x\in{\overline{A}} \), entonces \( x\in{F} \), para todo \( F \) cerrado con \( A\subseteq{F} \).

Tomemos un \( G \) cerrado arbitrario con \( B\subseteq{G} \). Como \( A\subseteq{B} \), entonces \( A\subseteq{G} \), con G cerrado, luego por (*) \( x\in{G} \). Por tanto, \( x\in{G} \), para todo \( G \) cerrado con \( B\subseteq{G} \), es decir \( x\in{\overline{B}} \). En consecuencia \( \overline{A}\subseteq{\overline{B}} \).

(b)


\( \overline{A}\cup \overline{B}=\bigcap\limits_{\substack{F\mbox{ cerrado}\\A\subset{F}}} F\cup{\bigcap\limits_{\substack{G\mbox{ cerrado}\\B\subset{G}}} G}=\bigcap\limits_{\substack{G\mbox{ cerrado, }F\mbox{ cerrado}\\A\subset{G},B\subset{H}}} F\cup {G} \) ........(*)
Como \( F, G \) son cerrados, entonces \( H=F\cup G \) también es cerrado, y también \( A\cup{B}\subseteq{F\cup{G}}=H \), por tanto en (*)

\( \overline{A}\cup \overline{B}=\bigcap\limits_{\substack{H\mbox{ cerrado}\\A\cup {B}\subset{H}}} H=\overline{A\cup B} \)

(c)

Como \( \overline{A_\alpha} \) es cerrado, y sabemos que la unión arbitraria de cerrados no necesariamente es cerrado, se tiene que
\( \bigcup \overline{A}_\alpha\subset{\overline{\bigcup A_\alpha}} \)

Respecto al ejemplo, sea \( A_n=\left({a+\cfrac{1}{n},b-\cfrac{1}{n}}\right) \), luego \( \overline{A_n}=\left[{a+\cfrac{1}{n},b-\cfrac{1}{n}}\right] \).

Por otra parte, se tiene que \( (a,b)=\displaystyle\bigcup_{n\in{\mathbb{N}}}{\left[{a+\cfrac{1}{n},b-\cfrac{1}{n}}\right]}=\displaystyle\bigcup_{n\in{\mathbb{N}}}{\overline{A_n}} \), es decir \( \displaystyle\bigcup_{n\in{\mathbb{N}}}{\overline{A_n}} \) es un conjunto abierto, y no se cumple la igualdad pues \( \overline{\displaystyle\bigcup_{n\in{\mathbb{N}}}A_n} \) es cerrado.
Llovizna queriendo ser lluvia de verano

14 Marzo, 2010, 09:54 pm
Respuesta #178

enloalto

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17.7 Discuta la siguiente "prueba" de que \( \overline{\bigcup A_\alpha}\subset{\bigcup \overline{A_\alpha}} \): si \( \{A_\alpha\} \) es una colección de conjuntos de \( X \) y si \( x\in{\overline{\bigcup A_\alpha}} \), entonces cada entorno \( U \) de \( x \) interseca a \( \bigcup A_\alpha \). Así, \( U \) debe intersecar a algún \( A_\alpha \), por lo que \( x \) debe pertenecer a la clausura de algún \( A_\alpha \). Por consiguiente, \( x\in{\bigcup A_\alpha} \).
Solución

Estoy utilizando la famila de conjuntos del ejercicio 17.6.c para ver si hay una falla, pero todavía no la encuentro
Llovizna queriendo ser lluvia de verano

15 Marzo, 2010, 06:02 am
Respuesta #179

enloalto

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Hola Debor, una consulta, ¿ese ejercicio pertenece al libro de Munkres o a alguno de los ejercicios anexos dejados por argentinator?, si es así, ¿puedes poner en que sección está?, y sino te aconsejaría ponerlo en el Post de Teoría de conjuntos.

Saludos
Llovizna queriendo ser lluvia de verano