[argentinator]

Ejercicio 16.9. Pruebe que la topología del orden del diccionario sobre el conjunto \( \mathbb{R}\times{\mathbb{R}} \) es la misma que la topología producto \( \mathbb{R}_d\times{\mathbb{R}} \), donde \( \mathbb{R}_d \) denota a \( \mathbb{R} \) con la topología discreta. compare esta topología con lla topología usual sobre \( \mathbb{R}^2 \).

Solución.

Creo que en este ejercicio también se debe trabajar con las bases, intuyo que se tiene que probar que las bases sean iguales, y por ende sus topologías, pero también tengo problemas con esto.

Basta probar que todo elemento de la base de una de las topologías es "abierto" en la otra topología.
Creo que ese es el enfoque que hay que darle.

O sea, pretender demostrar que un elemento de la base de una topología es "también" eleemtno de la base de la otra, puede que no resulte.
Lo que yo te sugiero es más sencillo. Una vez de que te convenzas de que ese método es correcto, la prueba es automática, creo yo.

No cuesta nada mirar un poco cuando hago el producto cartesiano de un punto y un intervalo.
Con esos objetos en mente la prueba sale sola.

¿Un esfuercito más? 

[argentinator]

Ejercicio 16.10 Sea \( I=[0,1] \). Compare la topología producto sobre \( I\times{I} \), y la topología que \( I\times{I} \) hereda como subespacio de \( \mathbb{R}\times{\mathbb{R}} \) en la topología del orden del diccionario.

Solución

¿Qué esto no se deduce el ejemplo 3 de la sección 16?
hummmmmmmmmmmmmmmmmm

P.d:Estos últimos ejercicios me dan dolor de cabeza

No se deduce todo del ejemplo 3, porque en ese ejemplo se comparan dos topologias diferentes relacionadas con el orden de diccionario.
Ahora se pide comparar con la topología producto típica, o sea, la usual del plano, que viene por ejemplo del producto de intervalos abiertos.

Además, "comparar" significa establecer claramente cuál topología es más fina que la otra, si es que eso es posible, y si no es posible decir por qué.

El capítulo 16 aún te necesita...


Si me aceptás un consejo, te digo que no dejes a la ligera los ejercicios que involucra propiedades de los números reales. Te dan experiencia topológica en ejemplos y contraejemplos típicos de la topología general. Son importantes.

Venís muy bien, no me dejes los ejercicios que parecen difíciles sin pelea.
Justamente, hay que hacerlos porque cuestan.

No hay que "deshacerse lo antes posible" de un ejercicio, sino tratar de comprender lo que está ocurriendo, la esencia de cada situación problemática.


Por otro lado, te estoy muy agradecido por tu enorme esfuerzo en este curso.

Saludos

[enloalto]

El capítulo 16 aún te necesita...


Si me aceptás un consejo, te digo que no dejes a la ligera los ejercicios que involucra propiedades de los números reales. Te dan experiencia topológica en ejemplos y contraejemplos típicos de la topología general. Son importantes.

Venís muy bien, no me dejes los ejercicios que parecen difíciles sin pelea.
Justamente, hay que hacerlos porque cuestan.

No hay que "deshacerse lo antes posible" de un ejercicio, sino tratar de comprender lo que está ocurriendo, la esencia de cada situación problemática.


Por otro lado, te estoy muy agradecido por tu enorme esfuerzo en este curso.

Saludos

Tienes mucha razón, no me van a ganar unos ejercicios, a darle duro, voy a pensar en ellos. Muchas gracias por tu preocupación y motivación.

[enloalto]

 

Ejercicio 16.7. Sea \( X \) un conjunto ordenado. Si \( Y \) es un subconjunto propio de \( X \) que es convexo en \( X \), ¿se deduce que \( Y \) es un intervalo o un rayo de X?

Me parece que esto tiene que ver con la estructura de X.

Tomemos a X como el sistema de los racionales.
Sea \( \{x_n\} \) la sucesión creciente de aproximaciones racionales decimales del número \( \pi \).
Entonces la unión de los intervalos \( Y=\bigcup_{n=1}^\infty (0,x_n) \) es un conjunto convexo en X, pero no hay forma de expresar eso como un intervalo (0, q) en X, porque q tiene que ser racional, y siempre se le va a "escapar" un elemento de la sucesión.

"Intuitivamente", X está sumergido en R, y el conjunto Y sería pues el intervalo \( (0,\pi)\cap Q \) (Q = racionales).
Pero \( \pi \) no es racional, así que eso impide que Y sea un intervalo.

Tampoco es un rayo.
Se aprecia intuitivamente bien esto, porque entendemos cómo funciona R.
Pero faltaría escribir con detalles más técnicos la prueba, o los puntos más importantes de ella:

* Que el conjunto Y definido arriba es convexo. ¿Cómo se argumenta?

Sea \( Y=\bigcup_{n=1}^\infty (0,x_n) \). Tomemos \( a,b\in{Y} \), con a<b elementos arbitrarios, probemos que \( (a,b)\subseteq{Y} \). Como \( a,b\in{Y} \), entonces  existen n y m tales que \( a\in{(0,x_n)} \) y \( b\in{(0,x_m)} \), de donde
\( 0<a<x_n \) y \( 0<b<x_m \) .

Sea \( c\in (a,b) \), entonces \( a<c<b \), luego \( 0<a<c<b<x_m \), es decir \( c\in{(a,x_m)} \), por tanto c pertence a Y. Luego \( (a,b)\subseteq{Y} \), es decir, Y es convexo.

* Que el conjunto Y no es un intervalo en X.

Tomo un elemento arbitrario de la unión que conforma a Y, sea \( (0,x_n) \), Pero entre 0 y \( x_n \) siempre hay un irracional, por tanto \( (0,x_n) \) no es un intervalo de números racionales(o sea no es un intervalo en Q). En consecuencia Y no es un intervalo en Q.

* Que el conjunto Y no es un rayo en X.
Saludos

Si Y es un rayo, entonces debo ver que Y es de una de las siguientes formas:
1) \( Y=(a,+\infty) \), \( a\in{X} \).
2) \( Y=(-\infty,a) \), \( a\in{X} \).
3) \( Y=[a,+\infty) \), \( a\in{X} \).
4) \( Y=(-\infty,a] \), \( a\in{X} \).

Puesto que Y no tiene negativos, descarto (2) y (4)

****
Pensando esto, se me viene a la cabeza una duda,
Pero si Y ni siquiera es intervalo entonces mucho menos es rayo
****

¿Están bien?

[argentinator]

* Que el conjunto Y no es un intervalo en X.

Tomo un elemento arbitrario de la unión que conforma a Y, sea \( (0,x_n) \), Pero entre 0 y \( x_n \) siempre hay un irracional, por tanto \( (0,x_n) \) no es un intervalo de números racionales(o sea no es un intervalo en Q). En consecuencia Y no es un intervalo en Q.

¿Están bien?

No, no está bien, pero yo también tengo culpa por la notación que usé.

Tengamos en cuenta que ahora nuestro "espacio" consta sólo de números racionales.
Así que un "intervalo" como (a, b), quiere decir que sus extremos son racionales... y también todos sus elementos son racionales.
Esto es correcto, si repasamos las definiciones de intervalos en conjuntos ordenados cualesquiera...

La confusión viene porque cuando hablamos de números, estamos acostumbrados a pensar siempre en intervalos de números reales.
Habría que aclarar en alguna parte que \( (0,x_m) \) no sólo es un intervalo con extremos racionales, sino que sus elementos también son racionales.
Estamos pensando, entonces, en algo como \( (0,x_m)\cap Q \), con Q conjunto de racionales.

Estas cuestiones de notación ambigua... son un problema, claro, pero son parte de las cosas que tenemos que aprender.

¿Cuál es el espacio X y sus elementos? ¿Cuál es el orden en X? ¿Cómo son sus "intervalos" abiertos, o lo que fuere? ¿Cómo difieren de intervalos de sistemas más amplios, o más pequeños?
Quizá convenga decir en la misma demostración del ejercicio, o en el enunciado de lo que te pedí probar, que los intervalos son "racionales" y no contienen puntos "irracionales".

Dicho de ese modo, "no es la existencia de irracionales en el interior del intervalo la fuente del problema". ¿Entonces dónde está el problema? Obviamente, cerca del punto \( \pi \). ¿Pero cómo es?

[argentinator]

****
Pensando esto, se me viene a la cabeza una duda,
Pero si Y ni siquiera es intervalo entonces mucho menos es rayo
****

¿Están bien?

Hay que ajustarse estrictamente a las definiciones que estamos manejando en el curso.
Los intervalos y los rayos son definiciones que corresponden a nociones de "conjuntos totalmente ordenados", y puede que no coincidan con las nociones de cálculo que estamos acostumbrados a usar.

Así que en la recta real por ejemplo, un intervalo no sería un rayo, y un rayo tampoco sería un intervalo.
Los rayos abiertos son "conjuntos abiertos", pero no "intervalos abiertos".

En cada "juego" tenemos que tener claras las reglas con las que estamos jugando.

Ahora bien, si en un X hay máximos o mínimos, un intervalo semiabierto puede ser abierto, e incluso un rayo, y viceversa...

Todo depende de cada espacio considerado.


Así que hay que pensar de otra manera por qué razón Y no es un rayo.

Pero es fácil... basta pensar cuánto fastidia cualquier elemento de X mayor que \( \pi \), o menor que 0.
El número \( \pi \) NO EXISTE en X, pero es válido usarlo, porque X es un subespacio de R.
Por otro lado, abrevia comentarios. Y si no te convence, usar el racional 7/2, que es mayor que \( \pi \).

[enloalto]

Ejercicio 16.9. Pruebe que la topología del orden del diccionario sobre el conjunto \( \mathbb{R}\times{\mathbb{R}} \) es la misma que la topología producto \( \mathbb{R}_d\times{\mathbb{R}} \), donde \( \mathbb{R}_d \) denota a \( \mathbb{R} \) con la topología discreta. compare esta topología con lla topología usual sobre \( \mathbb{R}^2 \).

Solución.

Recordemos que la colección B de intervalos de la forma
\( ({\color{blue}(}a, b{\color{blue})}, {\color{blue}(}a, d{\color{blue})}) = \{{\color{blue}(}a, y{\color{blue})}|{\color{blue}(}a, b{\color{blue})} < {\color{blue}(}a, y{\color{blue})} < {\color{blue}(}a, d{\color{blue})}\} \)
también forma una base de la topología del orden sobre \( \mathbb{R}\times{\mathbb R} \).
Entonces, sea \( U \) un elemento básico de la la base B, luego \( U=({\color{blue}(}a,b{\color{blue})},{\color{blue}(}a,d{\color{blue})}) \), pero
 \( ({\color{blue}(}a,b{\color{blue})},{\color{blue}(}a,d{\color{blue})})=\{(x,y)\in{\mathbb{R}^2};x=a,\quad b<y<d\}=\{a\}\times (b,d) \), y como
\( \{a\}\in{P(\mathbb{R})} \), es un abierto básico de la topología discreta, y \( (b,d) \) es un intervalo abierto, es un abierto básico de la topología usual tenemos que
\( U=\{a\}\times (b,d) \) es un elemento básico de la topología producto sobre \( \mathbb{R}_d\times{\mathbb{R}} \).

Por tanto, la base topología del orden del diccionario sobre \( \mathbb{R}^2 \) está contenida  en la base de la topología producto sobre \( \mathbb{R}_d\times{\mathbb{R}} \).

Ahora, sea \( V=V_0\times (a,b) \) un elemento básico de la topología producto sobre \( \mathbb{R}_d\times{\mathbb{R}} \). Tomemos
\( (x,y)\in V \), entonces \( x\in V_0 \) y \( y\in (a,b) \), luego \( \{x\}\subseteq{V_0} \) y tomando \( U=({\color{blue}(}x,a{\color{blue})},{\color{blue}(}x,b{\color{blue})})=\{x\}\times (a,b)\subseteq{V_0\times (a,b)}=V \) tenemos que
\( (x,y)\in{U}\subseteq{V} \). Por tanto \( V \) es un abierto de la topología del orden del diccionario sobre \( \mathbb{R}^2 \).

Luego ambas bases son iguales, de donde sus topologías generadas también lo son.
¿Es correcto?
Saludos

[argentinator]

Ejercicio 16.9. Pruebe que la topología del orden del diccionario sobre el conjunto \( \mathbb{R}\times{\mathbb{R}} \) es la misma que la topología producto \( \mathbb{R}_d\times{\mathbb{R}} \), donde \( \mathbb{R}_d \) denota a \( \mathbb{R} \) con la topología discreta. compare esta topología con lla topología usual sobre \( \mathbb{R}^2 \).

Solución.

Recordemos que la colección B de intervalos de la forma
\( ({\color{blue}(}a, b{\color{blue})}, {\color{blue}(}a, d{\color{blue})}) = \{{\color{blue}(}a, y{\color{blue})}|{\color{blue}(}a, b{\color{blue})} < {\color{blue}(}a, y{\color{blue})} < {\color{blue}(}a, d{\color{blue})}\} \)
también forma una base de la topología del orden sobre \( \mathbb{R}\times{\mathbb R} \).
Entonces, sea \( U \) un elemento básico de la la base B, luego \( U=({\color{blue}(}a,b{\color{blue})},{\color{blue}(}a,d{\color{blue})}) \), pero
 \( ({\color{blue}(}a,b{\color{blue})},{\color{blue}(}a,d{\color{blue})})=\{(x,y)\in{\mathbb{R}^2};x=a,\quad b<y<d\}=\{a\}\times (b,d) \), y como
\( \{a\}\in{P(\mathbb{R})} \), es un abierto básico de la topología discreta, y \( (b,d) \) es un intervalo abierto, es un abierto básico de la topología usual tenemos que
\( U=\{a\}\times (b,d) \) es un elemento básico de la topología producto sobre \( \mathbb{R}_d\times{\mathbb{R}} \).

Por tanto, la base topología del orden del diccionario sobre \( \mathbb{R}^2 \) está contenida  en la base de la topología producto sobre \( \mathbb{R}_d\times{\mathbb{R}} \).

Ahora, sea \( V=V_0\times (a,b) \) un elemento básico de la topología producto sobre \( \mathbb{R}_d\times{\mathbb{R}} \). Tomemos
\( (x,y)\in V \), entonces \( x\in V_0 \) y \( y\in (a,b) \), luego \( \{x\}\subseteq{V_0} \) y tomando \( U=({\color{blue}(}x,a{\color{blue})},{\color{blue}(}x,b{\color{blue})})=\{x\}\times (a,b)\subseteq{V_0\times (a,b)}=V \) tenemos que
\( (x,y)\in{U}\subseteq{V} \). Por tanto \( V \) es un abierto de la topología del orden del diccionario sobre \( \mathbb{R}^2 \).

Luego ambas bases son iguales, de donde sus topologías generadas también lo son.
¿Es correcto?
Saludos

Yo diría que está bastante bien.
Pero detecto algunas "debilidades".
Por ejemplo, empezaste razonando "si B es elemento de la 1er topología entonces es de la 2da", esa parecía la intención.
En ese caso, faltaría agregar un razonamiento parecido del tipo "si B es un elemento de la 2da, entonces también está en la 1era."

Eso sería lo correcto...
Pero también hay una tendencia natural a saltearse ese ida y vuelta porque en verdad sería mera repetición de palabras con contenido lógico muy similar.
La solución a situaciones como esta podría ser escribir en borrador la prueba de "ida" y verificar si la "vuelta" sigue siendo válida, yendo con los mismos pasos de atrás hacia adelante.
Entonces, en todos los pasos de la prueba se reemplazan los "entonces" por los "si y solo si", y las flechas \( \Rightarrow{} \) por las \( \Leftrightarrow{} \).

Cuando las pruebas son sencillas está bien trabajar así.

Modificado: Veo que has corregio esto, o bien yo no me di cuenta de que lo habías escrito bien. mmmm
En todo caso lo que has puesto está bien estructurado.

Otro detallito por ahí es lo de la "base" de la topología discreta.
La topología discreta no se "define" a través de una base, sino que se la define dando todos sus elementos: "la familia de todos los subconjuntos de X".
Y de hecho, una "topologia" es una "base trivial para sí misma", así que hay que "demostrar" o al menos dejar "indicado" con cierta claridad que "la topologia discreta tiene como base a los conjuntos de un solo punto".

A lo mejor ya lo hemos dicho en la teoría o en algun ejercicio, y la verdad es que no me acuerdo.
Repetir demasiado lo mismo es algo pesado a veces.
Asi que esto de la base de la topologia discreta lo apunto como algo que me llamó la atención.
Si querés lo cambiás, y si no, da igual, porque la prueba está bien.

No detecto errores en la prueba. No es de extrañar que sea sencilla.
Saludos

Modificado: He releído tu prueba, y creo que malinterpreté el tratamiento de la "base" que diste a la topología discreta. Así que así como está iría bien. Pero tengo dudas en la parte final. Ahora te digo bien.

[argentinator]

(...) Por tanto \( V \) es un abierto de la topología del orden del diccionario sobre \( \mathbb{R}^2 \).

Luego ambas bases son iguales, de donde sus topologías generadas también lo son.

Creo que esa frase hacia el final me confundió bastante, porque estás concluyendo algo correcto, pero que no sirve.
Estás concluyendo que V es un abierto en la top. del diccionario.
Eso está bien, pero después estás queriendo decir que las "bases" y no las "topologías" son iguales.
O sea que hubiera sido bueno concluir que V es, más que un abierto, un elemento de la base.

O bien cambiar la intención final donde pretendes llegar a la igualdad de topologías a través de las bases.

Quedémenos conque V es un abierto en top. diccionario.
Eso alcanza ya para concluir que ambas topologías son iguales.
O sea, si un elemento de la base de la 1er topologia es abierto en la 2da, y si un elemento de la base de la 2da es abierto en la 1era, sin necesidad de que vuelvan a ser "básicos", entonces las topologías son iguales.

Si lo que te interesa es demostrar algo más fuerte: "que las bases son inclusive iguales", me parece que vas a tener que elegir una base adecuada para la topología discreta, como por ejemplo, la formada por todos los conjuntos de un solo punto.

Son detalles menores todos esto, porque el ejercicio ya lo tenés "contra las cuerdas". Pero trato de detectar fuentes de errores o dificultades a través de "pequeños síntomas", que ojalá te sirvan.

Saludos

[enloalto]

Hola argentinator, mil disculpas, si lo corregí, lo que pasa es que en mi pc, exáctamente en el programa de internet, utilizo el google chrome, y ahí no sé por qué, pero no se puede visualizar, intenté con el internet explorer, ahí sí se puede visualizar, pero no se puede escribir, creo que algo anda mal con mi pc, jejeje. Así, que me quedé con el google chrome, y por eso cuando mando un mensaje, lo publico y después lo corrijo, mil disculpas.

Sobre los detalles, muchas gracias, me gusta eso.

 

(...) Por tanto \( V \) es un abierto de la topología del orden del diccionario sobre \( \mathbb{R}^2 \).

Luego ambas bases son iguales, de donde sus topologías generadas también lo son.

Creo que esa frase hacia el final me confundió bastante, porque estás concluyendo algo correcto, pero que no sirve.
Estás concluyendo que V es un abierto en la top. del diccionario.
Eso está bien, pero después estás queriendo decir que las "bases" y no las "topologías" son iguales.
O sea que hubiera sido bueno concluir que V es, más que un abierto, un elemento de la base.

O bien cambiar la intención final donde pretendes llegar a la igualdad de topologías a través de las bases.

Yo también tenía mis dudas, pero lo lanzé pues no sabía como expresar mi duda y esperaba que tú la puedas expresar mejor, jijiji  .

Voy a revisarla, ahorita tengo que salir, cuidate mucho, estamos en contacto.