Ejercicio 16.8. Si \( L \) es una recta en el plano, describa la topología que \( L \) hereda como subespacio de \( \mathbb{R}_l\times{\mathbb{R}} \) y como subespacio de \( \mathbb{R}_l\times{\mathbb{R}_l} \). En ambos casos se trata de una topología conocida.
Solución.
No la he resuelto, pero pongo mi intento. Tengo problemas en definir a L, la que se me ocurre es
\( L=\{(x,y)\in{\mathbb{R}^2}|y=mx+n\mbox{, m y n números reales}\} \).
Para estudiar la topología, voy a ver que sucede con la base.
Sea \( U \) un elemento básico de la base del subespacio que L hereda de \( \mathbb{R}_l\times{\mathbb{R}} \), entonces existen \( [a,b)\in{B_{\mathbb{R}_l}} \) y \( (c,d)\in{B_{\mathbb{R}}} \) tal que
\( U=L\cap{([a,b)\times{(c,d)})} \)
Entonces, si \( (w,z)\in{U} \), se tiene que
\( z=mw+n \) y \( a\leq{w}<b \) y \( c<z<d \), de aquí
Aca tendría que estudiar dos casos:
1) \( m>0 \)
entonces \( ma+n\leq{mw+n}<mb+n\Rightarrow{ma+n\leq{z}<mb+n} \) y \( c<z<d \).
Es decir \( z\in{[ma+n,mb+n)\cap{(c,d)}} \).
Ahi me quedo 
En los ejercicios donde hay "planos", "rectas" y cosas por el estilo, incluso tambien "intervalos" y "rayos", es siempre buena idea hacer el dibujo y tratar de comprender la situación geométrica.
¿Qué aspecto tiene un elemento típico de la base en la topología de \( L \)?
Claro que hay que separar en casos...
Sin embargo, toda recta \( L \) en el plano tiene un orden estándar.
Esto es típico de la geometría plana.
Estableciendo el orden "natural" de la recta \( L \), se puede definir allí la topología de los intervalos semiabiertos por la izquierda, y denotamos con \( L_\ell \) a la recta cuando la miramos con esa topología.
Ahora te pregunto si al considerar \( L \) como subespacio de \( \mathbb{R}_\ell\times \mathbb R \) tiene la topología de \( L_\ell \).
Para trabajar con comodidad, hay que probar que la intersección de dos intervalos da otro intervalo, y conviene tener claro qué tipo de intervalo da en cada caso (abierto, semiabierto, etc.).Una vez probado eso, la traducción de la geometría a la forma analítica es casi directa.
Aunque se dan varios casos distintos, según como se efectúen las "intersecciones" con distintos elementos de la base de \( \mathbb{R}_\ell\times\mathbb{R} \)
Consideremos primero una recta con pendiente positiva.La base de la topología de subespacio de \( \mathbb{R}_\ell\times\mathbb{R} \) contiene a todos los elementos de la topología de \( L_\ell \).
También contiene a los "intervalos abiertos" de \( L \) con su "orden natural". Pero estos conjuntos ya son "abiertos" en \( L_\ell \), así que no estamos agregando nada a la topología, aunque sí que la "base" subespacio obtenido es mayor...
¿Hay otros elementos posibles en la base de subespacio para L?
Hay 4 casos tipicos posibles, y la respuesta sería, según veo, que no.
(Se puede disentir, claro está!!! ...)
Así que la topología sería la de \( L_\ell \), aunque la base obtenida sea mayor.
El conjunto vacío pertenece también a la base en este caso.
Supongamos ahora que \( L \) tiene pendiente nula, o sea, \( L \) es horizontal.
La situación que se obtiene es similar al caso anterior, salvo que la base es la misma que la \( L_\ell \), aunque con el agregado del conjunto vacío.
Así que obtenemos otra vez \( L_\ell \).
Si la recta \( L \) es vertical, se obtiene la base de segmentos "abiertos", o sea, "sin extremos". Esto nos daría la "topología del orden" de la recta L, que difiere claro está de \( L_\ell \).
El último caso a analizar es el de las rectas de pendiente negativa.
La situación es la misma que para las pendientes positivas, aunque con algunas salvedades en el camino.
Por ejemplo, con el orden natural respecto a la orientación del eje x, la recta \( L \) puede considerarse como ordenada "al revés".
Además, la prueba no es exactamente igual, porque los "bordes" de \( R_\ell \) quedan del lado izquierdo siempre, mientras que la inclinación de las rectas ha quedado ahora para el lado opuesto.
Así que podríamos decir que la topología es la de \( L_\ell \), pero teniendo cuidado de decir en qué sentido se toma el orden en \( L \).
Ahora pasemos a las rectas \( L \) como subespacios de \( \mathbb{R}_\ell\times\mathbb{R}_\ell \).
Para las rectas \( L \) de pendiente vertical se obtiene de nuevo \( L_\ell \).
Cuando la recta \( L \) es horizontal, se obtiene de nuevo \( L_\ell \).
Cuando la recta \( L \) es vertical, ahora la cosa cambia, y se obtiene \( L_\ell \).
Finalmente, cuando la recta \( L \) tiene pendiente negativa, se obtiene la topología discreta de \( L \).¿Por qué? Bastaría probar que cada punto en L es abierto.
¿Y por qué en el resto del ejercicio no se obtuvo la topología discreta?
Lo que no entiendo del ejercicio es por qué dice que lo que se obtiene es una "topología familiar". No sé a qué se refiere.
La cuestión es que si uno le da a la recta \( L \) un sistema de coordenadas, olvidándose de su descripción inicial con coordenadas \( (x,y) \), lo que se obtiene es que \( L \) es ahora "lo mismo" que el sistema de números reales \( \mathbb{R} \), y las topologías obtenidas han sido: \( \mathbb{R}_\ell,\mathbb{R},\mathbb{R}_d \), según los casos.
O sea, 3 de las topologías más familiares.
Esto está bien justificado, si consideramos un isomorfismo algebraico entre el sistema \( \mathbb{R} \) de números reales y los puntos de la recta \( L \), dados en la forma analítica siguiente (que además sirve de isomorfismo): \( t\to (t,mt+b) \), por ejemplo.
Hasta ahora no hemos visto isomorfismos topológicos,
pero lo que estamos describiendo es tan sólo un isomorfismo algebraico,
y sólo cuenta la interacción entre \( \mathbb{R}\times\mathbb{R} \) y \( L \) con su sistema de coordenadas.
Y además, cuando hablamos de \( \mathbb{R} \), nos estamos refiriendo a
"cualquier conjunto que satisfaga los axiomas de los números reales".
Fijate que en la sección 4 se dan a los reales sólo como axiomas, y todas las propiedades de los reales son aplicables a cualquier sistema algebraico que verifique esos axiomas.
Parametrizando las rectas en un espacio vectorial, mediante la manera usual del álgebra lineal básica, se obtiene un sistema coordenado sobre dicha recta que satisface los axiomas de números reales, y es isomorfo a cualquier cosa que consideremos como \( \mathbb{R} \).Ese es el sentido del álgebra lineal, que en cualquier espacio vectorial hay
líneas rectas y nociones de
paralelismo (suma vectorial).
Hagamos la salvedad de que, si bien una recta en un espacio vectorial cualquiera tiene una topología idéntica a los reales, si así se desea, esto no quiere decir que el espacio completo esté dotado de alguna topología adecuada.
No vislumbro otro sentido de la palabra "familiar" en el enunciado del ejercicio.
Salvo que me esté saltando algún detalle importante.
¿Qué pensás de todo esto?
Antes de pensar cualquier cosa, hay que dibujar, jeje...
¡Con ejercicios de productos cartesianos siempre hay que dibujar!Saludos
