[enloalto]

Antes de continuar con el Teorema que nos interesa, veamos algunos ejercicios.
Supongamos que \( X \) es un conjunto ordenado (lineal y estrictamente),
que \( Y\subset X \) es un conjunto convexo en \( X \),
y que \( a\in X \).

\(  \bullet  \) Ejercicio. Demostrar que si \( a\in Y \), entonces

\( (a,+\infty )\cap Y=\{x\in Y|x>  a\}. \)

¿que no es trivial?, ¿ para qué me sirve la conexidad de Y? ¿ para qué me sirve \( a\in Y \).

Intentando probar.

\( z\in{(a,+\infty)\capY)} \) si, y solo si \( z\in{(a,+\infty)} \) y \( z\in{Y} \), si, y solo si \( a<z \) y \( z\in{Y} \), si y solo si \( z\in{\{x\in Y|x>a\}} \).

Mi intuición me dice que me he equivocado en malo, pero no sé en que 

[argentinator]

Entendido perfectamente, entonces existe un subconjunto de \( {1,2}\times{Z_+} \) tal que no es abierto, entonces la topología del orden es distinta de la discreta.

Pero según tu orden, primero debo probar este resultado y luego ver lo de \( \{b_1\} \)
¿Como lo haría ?

He intentado con los básicos que mencionas, pero el único que encuentro es precisamente \( \{b_1\} \).

La cuestión es que elegí el inciso (d) antes que los otros porque me pareció más interesante.
No me fijé si los incisos anteriores ayudaban a dicho inciso.

Creería que en efecto \( \{b_1\} \) es el único conjunto "unitario" que no es abierto.

[argentinator]

Sección 16. La Topología del Subespacio.
...
Pregunta: ¿Por qué es suficiente razonar de este modo sobre la base para asegurar que el conjunto analizado no es abierto?

Creo porque para que {2} sea abierto, debe ser unión de elementos de la base, o en su defecto un elemento de la base y como no lo es, por eso no es abierto.

¿Está bien?

Creo que sí. Es una pregunta de refuerzo, y por eso no lo puse como ejercicio.
Mi intención era frenar un poco la lectura de la teoría para reflexionar sobre cómo razonamos respecto a las bases y las topologías.

Sobretodo, hay que tener especial cuidado en este contexto donde hay varias topologías relacionadas entre sí.

[argentinator]

Ante todo: de nuevo pido disculpas por las demoras en las respuestas. Sigo con problemas informáticos.
El otro día vi tu consulta, y me dispuse a responderte, y a mitad del mensaje colapsó la conexión a internet que tenía en ese momento. (Tengo problemas de internet en casa, el trabajo, en los bares con Wi Fi, estoy harto!!!    )
En algún momento se normalizará mi vida virtual supongo.

\(  \bullet  \) Ejemplo 3. Sea \( I=[0,1] \). Consideremos sobre \( I\times  I \) la topología del orden de diccionario.
El orden en \( I\times I \) es la restricción del orden de diccionario de \( \mathbb R\times \mathbb R \) a \( I\times I \).
Sin embargo, la topología del orden de diccionario de \( I\times I \) no es la topología de subespacio de \( I\times I \) respecto la topología de orden de diccionario de \( \mathbb R\times \mathbb R \). Veamos por qué:
El conjunto \( \{1/2\}\times (1/2,1] \) es abierto en \( I\times I \) en la topología de subespacio (¿por qué?),
pero no es abierto en la topología del orden de diccionario. ¿Por qué? (Pista: observar qué le ocurre al punto \( {\color{blue}(}1/2,1{\color{blue})} \)).

Hola argentinator
¿Puedes explicar en detalle este ejemplo por favor ?
Gracias

Consideremos el conjunto \( A=\{1/2\}\times (1/2,1]=\{{\color{blue}(}1/2,y{\color{blue})}|1/2<y\leq 1\} \).

En la topología del orden de diccionario de \( R\times R \), el conjunto A es un intervalo semiabierto.
En dicha topología, el conjunto \( B=\{1/2\}\times (1/2,3/2)=\{{\color{blue}(}1/2,y{\color{blue})}|1/2<y<3/2\} \), por ejemplo, es un elemento de la base, en particular abierto.

Por definición, \( B\cap (I\times I) \) es abierto en la topología del subespacio \( I\times I \).
Estamos considerando en \( I\times I \) el "subespacio topologico" que viene heredado de la topologia de diccionario de \( R\times R \).

Bueno, pero \( B\cap (I\times I)=A \), o sea que A es abierto en la topología del subespacio.

Vamos a la topología del orden de \( I\times I \), olvidandonos de lo que ocurria en \( R\times R \).

Los elementos de la base tipicamente tienen la forma \( ({\color{blue}(}a,b{\color{blue})},{\color{blue}(}c,d{\color{blue})}) \), con excepciones en los "extremos" de todo el espacio, que son \( {\color{blue}(}0,0{\color{blue})},{\color{blue}(}1,1{\color{blue})} \).

Nos preguntamos si A es abierto en esta topología.
Si lo fuera, en torno a cada punto de A tendría que haber un elemento C de la base que contenga al punto, y esté incluido en A.

Consideremos el caso específico del punto "problemático" \( \mathbf p={\color{blue}(}1/2,1{\color{blue})} \).
Sea C un elemento de la base tal que \( x\in C\subset A \).
Además \( A=({\color{blue}(}1/2,1/2{\color{blue})},{\color{blue}(}1/2,1{\color{blue})}] \).

En tal caso \( C=({\color{blue}(}a,b{\color{blue})},{\color{blue}(}c,d{\color{blue})}) \),
y además tiene que cumplirse que \( {\color{blue}(}1/2,1/2{\color{blue})}\leq{\color{blue}(}a,b{\color{blue})}<\mathbf p={\color{blue}(}1/2,1{\color{blue})}<{\color{blue}(}c,d{\color{blue})}<{\color{blue}(}1/2,1{\color{blue})} \).

Esta cadena de desigualdades es imposible, como es fácil apreciar, ya que no hay valores admisibles para \( c \) y \( d \).

De este modo, el conjunto A no es abierto con el orden lexicográfico en \( I\times I \).

[argentinator]

Antes de continuar con el Teorema que nos interesa, veamos algunos ejercicios.
Supongamos que \( X \) es un conjunto ordenado (lineal y estrictamente),
que \( Y\subset X \) es un conjunto convexo en \( X \),
y que \( a\in X \).

\(  \bullet  \) Ejercicio. Demostrar que si \( a\in Y \), entonces

\( (a,+\infty )\cap Y=\{x\in Y|x>  a\}. \)

¿que no es trivial?, ¿ para qué me sirve la conexidad de Y? ¿ para qué me sirve \( a\in Y \).

Intentando probar.

\( z\in{(a,+\infty)\capY)} \) si, y solo si \( z\in{(a,+\infty)} \) y \( z\in{Y} \), si, y solo si \( a<z \) y \( z\in{Y} \), si y solo si \( z\in{\{x\in Y|x>a\}} \).

Mi intuición me dice que me he equivocado en malo, pero no sé en que 

La verdad me puse a releer esto y no sé qué habré querido decir, porque es trivial.
Es claro que la convexidad no se usa en nada.

Creo que no me supe expresar correctamente, porque hay una "vuelta de tuerca" en el asunto.

La cuestión es que el conjunto \( \{x\in Y|x>  a\} \) es el rayo \( (a,+\infty) \) en Y...
pero no en X !!!.

Si hubiera usado la notación \( (a,+\infty) \), hubiera resultado, pues, ambiguo.
Creo que no supe cómo escribir eso de manera que no haya ambigüedad.

Me parece que lo que quise poner ahí es que: \( (a,+\infty)\cap Y \) es igual al rayo \( (a,+\infty) \), pero ahora entendiendo esta última notación en el sentido de "Y".

Usando subíndices, se podría escribir algo así:

\( (a,+\infty)_X \cap Y= (a,+\infty)_Y \).

Pero el hecho es que "no me animé" a hacer cambios de notación, o mayores enredos en relación a esto.
Hubiera sido innecesariamente confuso para quien lo lea.
La conclusión final queda expositivamente clara: la intersección de un rayo en X con un Y es un rayo en Y.

Tal vez tendría que haber hecho más hincapié en la propiedad recíproca, que es la que se usa en el teorema: todo rayo en Y puede escribirse como la intersección de Y con un rayo en X.
Pero esto también es trivial, ¿no?

Me parece que he puesto esas observaciones triviales porque me inquieta todo lo no trivial que hay de fondo.
Un rayo en Y es un subconjunto de X, y como tal bien puede no ser un rayo en X.
Aún si Y es convexo, puede que un rayo en Y no sea un rayo en X.
Basta imaginar intervalos en la recta real para entender lo que está pasando.

Otra sutileza es el uso de \( +\infty \).
Puede que en X el intervalo \( (a,+\infty) \) no tenga último elemento,
mientras que en Y sí, si tomamos \( Y=(a,b] \), para algún b.
Y así \( (a,+\infty) \) en Y (pensandolo como intervalo en Y) sería lo mismo que \( (a,b] \).

Sospecho que no he sabido transmitir estas sutilezas e inquietudes debidamente, y las he dejado a la suerte de los interesados.
No sé si conviene que extienda estas cuestiones en la teoría.
Pero todo es "editable", por suerte, aprovechando que estamos en un foro.



Saludos

[enloalto]

Ante todo: de nuevo pido disculpas por las demoras en las respuestas. Sigo con problemas informáticos.
El otro día vi tu consulta, y me dispuse a responderte, y a mitad del mensaje colapsó la conexión a internet que tenía en ese momento. (Tengo problemas de internet en casa, el trabajo, en los bares con Wi Fi, estoy harto!!!    )
En algún momento se normalizará mi vida virtual supongo.

\(  \bullet  \) Ejemplo 3. Sea \( I=[0,1] \). Consideremos sobre \( I\times  I \) la topología del orden de diccionario.
El orden en \( I\times I \) es la restricción del orden de diccionario de \( \mathbb R\times \mathbb R \) a \( I\times I \).
Sin embargo, la topología del orden de diccionario de \( I\times I \) no es la topología de subespacio de \( I\times I \) respecto la topología de orden de diccionario de \( \mathbb R\times \mathbb R \). Veamos por qué:
El conjunto \( \{1/2\}\times (1/2,1] \) es abierto en \( I\times I \) en la topología de subespacio (¿por qué?),
pero no es abierto en la topología del orden de diccionario. ¿Por qué? (Pista: observar qué le ocurre al punto \( {\color{blue}(}1/2,1{\color{blue})} \)).

Hola argentinator
¿Puedes explicar en detalle este ejemplo por favor ?
Gracias

Consideremos el conjunto \( A=\{1/2\}\times (1/2,1]=\{{\color{blue}(}1/2,y{\color{blue})}|1/2<y\leq 1\} \).

En la topología del orden de diccionario de \( R\times R \), el conjunto A es un intervalo semiabierto.
En dicha topología, el conjunto \( B=\{1/2\}\times (1/2,3/2)=\{{\color{blue}(}1/2,y{\color{blue})}|1/2<y<3/2\} \), por ejemplo, es un elemento de la base, en particular abierto.

Por definición, \( B\cap (I\times I) \) es abierto en la topología del subespacio \( I\times I \).
Estamos considerando en \( I\times I \) el "subespacio topologico" que viene heredado de la topologia de diccionario de \( R\times R \).

Bueno, pero \( B\cap (I\times I)=A \), o sea que A es abierto en la topología del subespacio.

Vamos a la topología del orden de \( I\times I \), olvidandonos de lo que ocurria en \( R\times R \).

Los elementos de la base tipicamente tienen la forma \( ({\color{blue}(}a,b{\color{blue})},{\color{blue}(}c,d{\color{blue})}) \), con excepciones en los "extremos" de todo el espacio, que son \( {\color{blue}(}0,0{\color{blue})},{\color{blue}(}1,1{\color{blue})} \).

Nos preguntamos si A es abierto en esta topología.
Si lo fuera, en torno a cada punto de A tendría que haber un elemento C de la base que contenga al punto, y esté incluido en A.

Consideremos el caso específico del punto "problemático" \( \mathbf p={\color{blue}(}1/2,1{\color{blue})} \).
Sea C un elemento de la base tal que \( x\in C\subset A \).
Además \( A=({\color{blue}(}1/2,1/2{\color{blue})},{\color{blue}(}1/2,1{\color{blue})}] \).

En tal caso \( C=({\color{blue}(}a,b{\color{blue})},{\color{blue}(}c,d{\color{blue})}) \),
y además tiene que cumplirse que \( {\color{blue}(}1/2,1/2{\color{blue})}\leq{\color{blue}(}a,b{\color{blue})}<\mathbf p={\color{blue}(}1/2,1{\color{blue})}<{\color{blue}(}c,d{\color{blue})}<{\color{blue}(}1/2,1{\color{blue})} \).

Esta cadena de desigualdades es imposible, como es fácil apreciar, ya que no hay valores admisibles para \( c \) y \( d \).
De este modo, el conjunto A no es abierto con el orden lexicográfico en \( I\times I \).

Gracias, comprendido

[enloalto]

Lo de los rayos, lo comprendí mejor con tu explicación, aunque sea un poco pesadito, personalmente prefiero utilizar subíndices. Bueno a terminar la lista de ejercicios para pasar a la siguiente sección

[enloalto]

Ejercicio 16.6. Pruebe que la colección numerable

\( B=\{(a,b)\times (c,d)\;|\;a< b,\;c< d,\quad a,b,c,d \textsf{\ racionales}\} \)

es una base para \( \mathbb{R}^2 \).

Solución.
Por definición de base, debemos probar que:

1) Para cada \( (x,y)\in{\mathbb{R}^2} \), existe un \( (a,b)\times{(c,d)}\in B \) tal que \( (x,y)\in (a,b)\times{(c,d)} \).

2) Si \( x\in{((a_1,b_2)\times{(c_1,d_1)})\cap{((a_2,b_2)\times{(c_2,d_2)}})} \), entonces existe un \( (a,b)\times{(c,d)}\in B \) tal que \( x\in{(a,b)\times{(c,d)}}\subset {(a_1,b_2)\times{(c_1,d_1)}\cap{(a_2,b_2)\times{(c_2,d_2)}}} \)

En efecto,
1) Sea \( (x,y)\in{\mathbb{R}^2} \) entonces existen \( a,b,c,d\in{\mathbb{Q}} \) tal que \( a<x<b \), \( c<y<d \) y se tiene lo pedido.

2) Utilizando la densidad de los racionales se tiene el resultado.

[enloalto]

Ejercicio 16.7. Sea \( X \) un conjunto ordenado. Si \( Y \) es un subconjunto propio de \( X \) que es convexo en \( X \), ¿se deduce que \( Y \) es un intervalo o un rayo de X?

Solución.
No sé como empezar.

[enloalto]

Ejercicio 16.8. Si \( L \) es una recta en el plano, describa la topología que \( L \) hereda como subespacio de \( \mathbb{R}_l\times{\mathbb{R}} \) y como subespacio de \( \mathbb{R}_l\times{\mathbb{R}_l} \). En ambos casos se trata de una topología conocida.

Solución.

No la he resuelto, pero pongo mi intento. Tengo problemas en definir a L, la que se me ocurre es
\( L=\{(x,y)\in{\mathbb{R}^2}|y=mx+n\mbox{, m y n números reales}\} \).
Para estudiar la topología, voy a ver que sucede con la base.

Sea \( U \) un elemento básico de la base del subespacio que L hereda de \( \mathbb{R}_l\times{\mathbb{R}} \), entonces existen \( [a,b)\in{B_{\mathbb{R}_l}} \) y \( (c,d)\in{B_{\mathbb{R}}} \) tal que
\( U=L\cap{([a,b)\times{(c,d)})} \)
Entonces, si \( (w,z)\in{U} \), se tiene que
\( z=mw+n \) y \( a\leq{w}<b \) y \( c<z<d \), de aquí

Aca tendría que estudiar dos casos:
1) \( m>0 \)
entonces \( ma+n\leq{mw+n}<mb+n\Rightarrow{ma+n\leq{z}<mb+n} \) y \( c<z<d \).
Es decir \( z\in{[ma+n,mb+n)\cap{(c,d)}} \).
Ahi me quedo