[enloalto]

• Ejemplo 4. Consideremos el conjunto \( \{1,2\} \) ordenado de la manera obvia: \( 1<2 \), y sea \( X=\{1,2\}\times\mathbb{Z}_+ \), con el orden lexicográfico, y la correspondiente topología del orden.
  El autor Munkres elige denotar a los elementos de la forma \( {\color{blue}(}1, n{\color{blue})} \) como \( a_n \) y a los de la forma \( {\color{blue}(}2, n{\color{blue})} \) como \( b_n \). En ese caso, uno puede "visualizar" el orden escribiendo una especie de lista, de izquierda a derecha, así:
  
  
  \( a_1,a_2,a_3,\cdots;\quad b_1,b_2,b_3,\cdots \)
  
  

• Ejercicio: Comprobar que hay un primer elemento con el orden lexicográfico, y anotar correctamente cómo son los elementos de la base en este caso.

Afirmo que tal elemento mínimo es el \( (1,1) \). Lo dejo para que los demás compañeros lo prueben o me corrijan si estoy equivocado.
Con este mínimo los elementos básicos no son difíciles de encontrar.

• Ejercicio: Comprobar que ahora la topología del orden no es la topología discreta.

• Ejercicio: La mayoría de los conjuntos de un solo punto son también conjuntos abiertos.

• Ejercicio: El conjunto que consta sólo del punto \( b_1 \) no es un conjunto abierto. ¿Hay otros ejemplos de esto en \( X \)?

[argentinator]

Sin embargo, esta topología es diferente de la topología del orden. ¿Por qué? ¿Cuál es más fina que la otra?

Aca tengo problemas, no sé como hacerlo.

Bueno, no es un problema tuyo.

En realidad yo me equivoqué feo en la teoría  , porque ambas bases deben generar la misma topología.   

No sé en qué estaba pensando.
Creo que me dejé confundir por alguna propiedad de "conexión" mal empleada. 

Creo que un ejercicio interesante sería preguntarse si toda topología del orden lexicografico en \( XxX \) para un X ordenado cualquiera, puede generarse así, con una coordeanda fija en la base (aunque hay que agregar algunos detalles o consideraciones en los puntos o regiones "disconexas").

Ya he corregido la teoría.

[argentinator]

• Usar el hecho precedente para demostrar que la topología discreta coincide en este caso con la topología del orden.

Es claro que la topología del orden está contenida en la discreta, por ser ésta la topología más grande, probemos la otra inclusión.
 
Sea \( X\in{P(\mathbb{Z})_+} \), entonces \( X\subseteq{\mathbb{Z}_+} \), luego X es finito o numerable, en ambos casos
\( X=\{x_1,x_2,....x_n,...\}=\bigcup_{n\in{\mathbb{Z}_+}}{\{x_n\}} \), es decir, X es la unión numerable de conjuntos unitarios de \( \mathbb{Z}_+ \), es decir, es unión numerable de elementos básicos de la topología del orden. Por tanto, X es un abierto en la topología del orden, de donde se sigue el resultado.

Esto está bien, pero eso que te marqué en rojo no sé dónde lo usás para probar el resultado posterior.
Creo que no se usa en ningunar parte.
Basta con usar que la base se forma con conjuntos unitarios, ya que la definición de abierto no pide uniones finitas o numerables, sino tan sólo uniones "arbitrarias".

Para conjuntos cerrados sí habrá que tener en cuenta finitud.

[argentinator]

• Ejercicio: El conjunto que consta sólo del punto \( b_1 \) no es un conjunto abierto. ¿Hay otros ejemplos de esto en \( X \)?

¿Cómo vas con este?

HAbría que especificar cómo son los "intervalos abiertos" en este espacio.
Tenemos intervalos de las formas siguientes:

* \( [a_1, a_n) = \{a_1, a_2, a_3, ..., a_{n-1}\} \)
* \( (a_m,a_n)=\{a_{m+1},...,a_{n-1}\} \)
* \( (b_m,b_n)=\{b_{m+1},...,b_{n-1}\} \)
* \( (a_m,b_1)=\{a_{m+1},a_{m+2},...,a_{m+k},...\} \)
* \( (a_m,b_k)=\{a_{m+1},a_{m+2},...,a_{m+k},...\}\cup\{b_1,b_2,...\} \)

Ahora bien, si \( b_1 \) tiene que pertenecer a uno de estos intervalos abiertos, viniendo desde la derecho, lo más ajustadamente posible, tendríamos que tomar \( b_2 \) como extremo del intervalo, para que no hayan más elementos en el intervalo "siguiendo" a \( b_1 \).
Pero con el extremo izquierdo del intervalo hay problemas, porque cualquier elemento menor que \( b_1 \) es de la forma \( a_m \), algún m, y así, nos quedaría algo como \( (a_m,b_2) \), lo cual contiene a los infinitos elementos \( a_k \) con \( k>m \).

Así, \( \{b_1\} \) no puede ser jamás por sí sólo un intervalo abierto.

Ni tampoco puede ser abierto.

Saludos

[memo20]

Hola esta muy bueno eso del curso de topología, felicitaciones, ¿donde me puedo inscribir?

[memo20]

Ya vi, jejejejeje, saludos

[enloalto]

Hola argentinator, espero que estes bien, ya corregí lo de rojo, ahora voy a pensar en el ejemplo 4. Para ser sincero ahora me voy a una reunión para celebrar el cumpleaños de un amigo, mañana continuo.
Salud..os

[enloalto]

¿Cómo vas con este?

HAbría que especificar cómo son los "intervalos abiertos" en este espacio.
Tenemos intervalos de las formas siguientes:

 \( [a_1, a_n) = \{a_1, a_2, a_3, ..., a_{n-1}\} \)
 \( (a_m,a_n)=\{a_{m+1},...,a_{n-1}\} \)
 \( (b_m,b_n)=\{b_{m+1},...,b_{n-1}\} \)
 \( (a_m,b_1)=\{a_{m+1},a_{m+2},...,a_{m+k},...\} \)
 \( (a_m,b_k)=\{a_{m+1},a_{m+2},...,a_{m+k},...\}\cup\{b_1,b_2,...\} \)

Ahora bien, si \( b_1 \) tiene que pertenecer a uno de estos intervalos abiertos, viniendo desde la derecho, lo más ajustadamente posible, tendríamos que tomar \( b_2 \) como extremo del intervalo, para que no hayan más elementos en el intervalo "siguiendo" a \( b_1 \).
Pero con el extremo izquierdo del intervalo hay problemas, porque cualquier elemento menor que \( b_1 \) es de la forma \( a_m \), algún m, y así, nos quedaría algo como \( (a_m,b_2) \), lo cual contiene a los infinitos elementos \( a_k \) con \( k>m \).

Así, \( \{b_1\} \) no puede ser jamás por sí sólo un intervalo abierto.

Ni tampoco puede ser abierto.
Saludos

Entendido perfectamente, entonces existe un subconjunto de \( {1,2}\times{Z_+} \) tal que no es abierto, entonces la topología del orden es distinta de la discreta.

Pero según tu orden, primero debo probar este resultado y luego ver lo de \( \{b_1\} \)
¿Como lo haría ?

He intentado con los básicos que mencionas, pero el único que encuentro es precisamente \( \{b_1\} \).
Saludos

[enloalto]

Sección 16. La Topología del Subespacio.

\(  \bullet  \) Ejemplo 2. Sea \( Y \) el subconjunto \( Y=[0,1)\cup \{2\} \) de \( \mathbb{R} \).
En la topología de subespacio sobre \( Y \), el conjunto de un solo punto \( \{2\} \) es abierto porque se puede escribir como la intersección, por ejemplo, \( (3/2,5/2)\cap Y \).
Pero en la topología del orden el conjunto \( \{2\} \) no es abierto. Veamos por qué.
Todo elemento de la base de la topología del orden que contiene a \( b=2 \), tiene la forma \( \{x\in Y|a< x \leq 2\} \), con \( a\in Y, a< 2 \).
Todo conjunto de esta forma contiene siempre puntos de \( Y \) que son distintos de \( \{2\} \). Comprobarlo.
Pregunta: ¿Por qué es suficiente razonar de este modo sobre la base para asegurar que el conjunto analizado no es abierto?

Creo porque para que {2} sea abierto, debe ser unión de elementos de la base, o en su defecto un elemento de la base y como no lo es, por eso no es abierto.

¿Está bien?

[enloalto]

\(  \bullet  \) Ejemplo 3. Sea \( I=[0,1] \). Consideremos sobre \( I\times  I \) la topología del orden de diccionario.
El orden en \( I\times I \) es la restricción del orden de diccionario de \( \mathbb R\times \mathbb R \) a \( I\times I \).
Sin embargo, la topología del orden de diccionario de \( I\times I \) no es la topología de subespacio de \( I\times I \) respecto la topología de orden de diccionario de \( \mathbb R\times \mathbb R \). Veamos por qué:
El conjunto \( \{1/2\}\times (1/2,1] \) es abierto en \( I\times I \) en la topología de subespacio (¿por qué?),
pero no es abierto en la topología del orden de diccionario. ¿Por qué? (Pista: observar qué le ocurre al punto \( {\color{blue}(}1/2,1{\color{blue})} \)).

Hola argentinator
¿Puedes explicar en detalle este ejemplo por favor ?
Gracias