Autor Tema: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)

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16 Enero, 2010, 02:07 am
Respuesta #30

argentinator

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¿Una cortadura en R?

Supongamos que hay una cortadura, con las propiedades que has especificado.
Ahora deseamos describir el semiplano \( \{x<y\} \) como el producto \( A\times B \).

Como has dicho que \( A, B \), son no vacíos, podemos tomar ciertos elementos, digamos \( a\in A,b\in B \).
Ahora te pregunto si el par ordenado \( \mathbb{(}b,b+1\mathbb{)} \), que obviamente es un punto de \( \{x<y\} \), acaso pertenece a \( A\times B \).
Si perteneciera, entonces tendría que cumplirse, por def. de prod. cartesiano, que \( b\in A,b+1\in B \). (arreglé una B que estaba mal  :o )
Luego, \( b\in B\cup A \).

Pero esto se contradice con el hecho de que \( A,B \), son disjuntos por ser \( A|B \) una cortadura.

La idea es fácil. El punto \( b \) es una cota superior de \( A \). O sea que desde \( b \) hacia la derecha, ningún punto puede ser de \( A \).
Pero aún a la derecha de \( b \) se pueden hallar puntos \( x \) que están "debajo" de la diagonal con ecuación \( x=y \).

El semiplano \( \{x<y\} \) está limitado por una recta en diagonal con ecuación \( y=x \).

Así que hay que seguir la idea de Morito en todo esto.



La demostración iría más o menos así.

Supongase que en verdad existen \( A,B \), subconjuntos \( \mathbb{R} \) tales que \( A\times B=\{(x,y)|x<y\} \).

Para que eso tenga sentido, \( A, B \), han de ser no vacíos.
Sea \( b\in B \).
Como \( b<b+1 \), resulta que \( (b,b+1)\in\{x<y\} \).
Como esto coincide con \( A\times B \) por hipótesis, escribimos \( (b,b+1)\in A\times B \).
Esto implica que \( b\in A,b+1\in B \).
Solo nos interesa lo que pasa con \( b \).

Hemos probado que, si \( b\in B \) entonces \( b\in A \).
Esto implica que \( B\subset A \).

Razonando de modo similar con \( a\in A \) y \( a-1<a \), obtendríamos la conclusión recíproca: \( A\subset B \).

Por lo tanto \( A=B \).
Sea ahora \( c\in A \), tenemos que \( c\in B \), y así \( (c,c)\in A\times B \).
Pero también tiene que cumplirse que \( c<c \), absurdo.

Esto muestra que no es posible expresar \( \{x<y\} \) como un producto \( A\times B \).

 

16 Enero, 2010, 02:20 am
Respuesta #31

argentinator

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Respecto al ejercicio 1.10
e)

Valdrian los subconjuntos A=\{-1,0,1\} B=\{0,1\} (pregunta)

Saludos

[/tex]

Creo que no estás entendiendo bien el enunciado.
El conjunto que describe la ecuación \( x^2+y^2<1 \) es un disco abierto con centro en el origen y radio 1.
Esto es por el teorema de pitagoras y la fórmula de la distancia en el plano.

Fijate en unos de los posts que puse en "Dictado del curso...", en el que explico con todo detalle la geometría del plano, y el tema de los discos abiertos a partir de la noción de distancia.



La idea general en este tipo de problemas es que el producto cartesiano de conjuntos cualesquiera de la recta real, da como resultado en el plano cosas de forma "cuadriculada", o sea, o bien da rectangulos, o bien ciertas uniones de rectángulos, dejando "vacias" las partes no consideradas.

Más concretamente, digamos esto: tomar un conjunto E del plano, proyectarlo en los ejes horizontal y vertical. Esas proyecciones son conjuntos A, B.
Si uno pregunta si E puede escribirse como producto cartesiano de un par de conjuntos, entonces los elementos de A y B tienen que estar en esos conjuntos.
Ahora bien, cuando hacemos el producto \( A\times B \) nos va a dar, en muchos casos, un conjunto del plano mayor que el E original.
Y entonces hay que fijarse cuáles son los elementos que sobran, y quedarse con al menos uno de ellos, para exhibirlo como contrajemplo.

En el caso del disco, sus proyecciones A, B, son los intervalos abiertos \( (-1,1) \) y \( (-1,1) \).
El producto \( A\times B=(-1,1)\times(-1,1) \) es un cuadrado sin sus bordes, pero no es un círculo.
Hay que ahora tomar un punto de ese cuadrado que no esté en el círculo.
Por ejemplo, el punto \( {\color{blue}(}0.9,0.9{\color{blue})} \) cumple con esa propiedad (verificarlo).

Ese punto sirve de contraejemplo.


17 Enero, 2010, 12:59 am
Respuesta #32

Alejo

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OK. Gracias por tu detallado razonamiento, que me viene muy bien para ir aclarando conceptos y ordenando ideas.


Saludos

17 Enero, 2010, 01:08 am
Respuesta #33

argentinator

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 :)

Bueno.

De todas maneras, siempre hay algo más detrás de las cosas que se discuten.
Por ahora parece un simple problema de productos cartesianos en el plano.

Pero inconvenientes más profundos y preguntas más interesantes provienen luego en el estudio de la continuidad o en las topologias producto, a partir de estas mismas vicisitudes de las "proyecciones".
Por eso también me tomé el tiempo de explicar lo más posible la idea geométrica.

Saludos.

17 Enero, 2010, 04:30 am
Respuesta #34

morito14

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Bueno, ahora tratando de hacer los ejercicios de la parte 2.2. La verdad que son ejercicios relativamente sencillos, pero me gustaría hacerlos bien con el fin de mejorar mi manera de escribir la mate (quiero ser más formal)  :banghead: .
 
a) Supongamos que \( x\in B_{0}\Rightarrow x\in B_{1} \). Dado que \( f^{-1} \) es suryectiva \( f^{-1}\left(x\right) \) existe y es elemento del codominio, dado que \( f^{-1} \) es inyectiva \( f^{-1}\left(x\right) \) es único. Por lo que \( f^{-1}\left(B_{0}\right)\subset f^{-1}\left(B_{1}\right) \).

Es esto suficiente?? Debo confesar que no quedé muy contento. Aunque la siguiente es peor.

b)Supongamos que \( x\in\left(B_{0}\cup B_{1}\right)\Rightarrow x\in B_{0}\: or\: x\in B_{1} \). Luego, si x es elemento sólo de uno de los conjuntos o pertenece a ambos la igualdad se cumple.

Entiendo que debería ser más formal en la última parte, pero no se me ocurre cómo. Sé que si x pertenece a B0, se cumple; si x pertenece a B1, se cumple; o si pertenece a la intersección de B0 con B1 también se cumple. ¿Hay alguna manera de formalizar esto?


17 Enero, 2010, 05:19 am
Respuesta #35

morito14

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Intentando hacer el 2.d se me ocurrió una idea que me sirve para el 2.b y 2.c. Ahora sí que quedaron muy lindos. Vean que hermosura

b)
Supongamos \( x\in f^{-1}\left(B_{0}\cup B_{1}\right)\Rightarrow f^{-1}\left(x\right)\in\left(B_{0}\cup B_{1}\right)\Rightarrow f^{-1}\left(x\right)\in\left(B_{0}\right)\: o\: f^{-1}\left(x\right)\in\left(B_{1}\right)\Rightarrow x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\: o\: x\in f^{-1}\left(B_{1}\right) \)

c)
Supongamos \( x\in f^{-1}\left(B_{0}\cap B_{1}\right)\Rightarrow f^{-1}\left(x\right)\in\left(B_{0}\cap B_{1}\right)\Rightarrow f^{-1}\left(x\right)\in\left(B_{0}\right)\: y\: f^{-1}\left(x\right)\in\left(B_{1}\right)\Rightarrow x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\: y\: x\in f^{-1}\left(B_{1}\right) \)

d)
Supongamos \( x\in f^{-1}\left(B_{0}-B_{1}\right)\Rightarrow f^{-1}\left(x\right)\in\left(B_{0}-B_{1}\right)\Rightarrow f^{-1}\left(x\right)\in\left(B_{0}\right),f^{-1}\left(x\right)\notin\left(B_{1}\right)\Rightarrow x\in f^{-1}\left(B_{0}\right),x\notin f^{-1}\left(B_{1}\right) \)

Espero que compartan que son unas lindas demostraciones (aunque reconozco que los ejercicios son bastante sencillos).

17 Enero, 2010, 05:28 am
Respuesta #36

argentinator

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(quiero ser más formal) 
 
a) Supongamos que \( x\in B_{0}\Rightarrow x\in B_{1} \). Dado que \( f^{-1} \) es suryectiva \( f^{-1}\left(x\right) \) existe y es elemento del codominio, dado que \( f^{-1} \) es inyectiva \( f^{-1}\left(x\right) \) es único. Por lo que \( f^{-1}\left(B_{0}\right)\subset f^{-1}\left(B_{1}\right) \).

Es esto suficiente?? Debo confesar que no quedé muy contento. Aunque la siguiente es peor.


Yo lo que veo es que suplantas cosas por su definición.
No es que eso esté mal... hay algunas cuestiones que son del gusto de cada uno.
Por ejemplo eso de que "Supongamos que \( x\in B_{0}\Rightarrow x\in B_{1} \)".
Es claramente equivalente a \( B_0\subset B_1 \).

¿Cuál conviene usar?

En la teoría ultraarchirobótica-inhumana-exacta-dificil de los lenguajes de primer orden, quizá no se usaría una notación como \( B_0\subset B_1 \), sino algo más preciso como \( x\in B_{0}\Rightarrow x\in B_{1} \).

Pero en el trabajo matemático cotidiano, uno define símbolos y abreviaturas, y también terminología, para hacer el trabajo más entendible.

Las abrevituras, definiciones, terminología, son traducibles en última instancia a simbilos frios de la lógica formal pura e intrincada... pero por ahora no conviene hacer eso, porque nadie va a entendernos.

Así que hagamos las cosas como se suelen hacer en el trabajo matemático cotidiano.
Uno "sabe" que puede ser más exacto, pero se "permite" el uso de definiciones y otras cosillas.

Ahora bien. Cuando uno define el simbolo de inclusión, "es para usarlo".
Así que, estéticamente, es más lindo empezar diciendo "supongamos \( B_0\subset B_1 \)...".

No sólo es más estético, sino que es más rápido y fácil de leer y entender.

Y la razón más importante para comenzar así es que... el ejercicio está enunciado así!!!

Uno debe partir desde el enunciado del ejercicio, y llegar a la conclusión que se pide.

Lo que sigue no le veo sentido.

Me parece que estás mezclando el ejercicio 1 con el ejercicio 2.
En el ejercicio 2 no se supone nada de que f sea suryectiva o inyectiva.

Se trata simplemente de propiedades de los conjuntos de preimágenes.
No requieren hipótesis alguna, salvo que f es una función...

17 Enero, 2010, 05:42 am
Respuesta #37

argentinator

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b)
Supongamos \( x\in f^{-1}\left(B_{0}\cup B_{1}\right)\Rightarrow f^{-1}\left(x\right)\in\left(B_{0}\cup B_{1}\right)\Rightarrow f^{-1}\left(x\right)\in\left(B_{0}\right)\: o\: f^{-1}\left(x\right)\in\left(B_{1}\right)\Rightarrow x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\: o\: x\in f^{-1}\left(B_{1}\right) \)

Está mal demostrado.

Estás suponiendo que x es un elemento de la preimagen de f, lo cual es correcto.
Pero eso implica que x es un elemento de A.
Inmediantamente en la implicación estás poniendo que la preimagen de x es un elemento de los "B"s.
No hay ninguna justificación para eso.

En primer lugar, ¿tiene sentido \( f^{-1}(x) \)? Ahí estás presuponiendo que x está en la "imagen" de \( f \), si no, no podrías tomarle la preimagen \( f^{-1} \)...
En segundo lugar, toda preimagen de \( f \) cae en A, no en los "B"s esos.

Primero tenés que tener bien claro lo que estás tratando de demostrar.
Armar bien la idea.
La exactitud formal es el último paso de todo el proceso.

La gracia no está solo en "meter implicaciones" sino embarrarse realmente en las ideas de las demostraciones.

Las pruebas no son difíciles, pero no son tan fáciles tampoco.
Tienen una vuelta de tuerca, que vas a tener que dar.

Lo que se hace es reemplazar una premisa por su definición, y después hacer inferencias lógicas concretas a partir de ahí.
Así que te vas a tener que topar con la \( f \) en alguna parte, aunque el enunciado sólo hable de \( f^{-1} \). Esa es la vuelta de tuerca necesaria.



No es importante que quede "hermoso", ni que quede "formal".

Lo más importante de todo es que lo que estás diciendo "sea verdad"!!!

Cada paso que escribas tiene que ser VERDADERO.
Cada expresión que escribas tiene que TENER SENTIDO (o sea, todos los objetos utilizados tienen que estar bien definidos, los términos puestos tienen que haberse ganado el derecho a estar donde los pongas).

Y después sí, vas a poder rellenar los huecos que faltan, formalizando mejor.




17 Enero, 2010, 06:08 am
Respuesta #38

morito14

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Tienes razón, hice un completo desmadre.

Creo que así va el b

Supongamos
\( x\in f^{-1}\left(B_{0}\cup B_{1}\right)\Rightarrow x\in A\: tal\: que\: f\left(x\right)\in\left(B_{0}\cup B_{1}\right)\Rightarrow f\left(x\right)\in\left(B_{0}\right)\: o\: f\left(x\right)\in\left(B_{1}\right), \)
por la definición de preimagen \( x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\: o\: x\in f^{-1}\left(B_{1}\right) \)

Cómo la ves ahora?

17 Enero, 2010, 08:21 am
Respuesta #39

morito14

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y ésta sería mi respuesta para el a)
a

Supongamos \( f\left(x\right)\in B_{0} \), por la definición de preimagen, \( \Rightarrow x\in f^{-1}\left(B_{0}\right) \). Dado que \( B_{0}\subset B_{1}\Rightarrow f\left(x\right)\in B_{1}\Rightarrow x\in f^{-1}\left(B_{1}\right) \)