Autor Tema: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)

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14 Enero, 2010, 08:05 am
Respuesta #10

morito14

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Argentinador, he hecho los ejercicios del Munkres capítulo 1. Nada más me quedan un par de dudas, el ejercicio 1.1 recomiendas probarlo con elementos?

Me atoré un poco en el ejercicio 1.7, sé que parecer muy sencillo, pero pues qué puedo decir:
mi respuesta es (traté de usar LaTex pero no pude):

D=Ainter(BunionC)
E=(AinterB)unionC


Pero estoy un poco trabado con el F para establecer que si x es elemento de B implica que es elemento de C.

Alguna sugerencia?

14 Enero, 2010, 08:18 am
Respuesta #11

argentinator

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el ejercicio 1.1 recomiendas probarlo con elementos?

Sí. Se supone que en la sección 1 no sabemos nada de las operaciones de conjuntos salvo su definición. Si ya tuviéramos antes probada alguna propiedad "algebraica", podríamos usarla, pero si no tenemos nada, entonces... "Sea \( x \in A \), entonces..."

Citar
traté de usar LaTex pero no pude

Hay que poner las fórmulas entre etiquetas [tex][/tex] (primer botón a la izquierda).
Por ejemplo: [tex]A\cap{B}[/tex] genera \( A\cap B \).

Citar
Pero estoy un poco trabado con el F para establecer que si x es elemento de B implica que es elemento de C

No sé bien cuál es tu duda. Hay que expresar F usando sólo operaciones \( \cap,\cup,- \), sin "propiedades" enunciadas entre llaves.

Te puede ayudar recordar que para premisas lógicas \( p,q \), la implicación

\( p\Rightarrow{ q} \)   es equivalente a   \( \textsf{no-}p\textsf{\ ó }q \).



14 Enero, 2010, 08:24 am
Respuesta #12

morito14

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el ejercicio 1.1 recomiendas probarlo con elementos?

Sí. Se supone que en la sección 1 no sabemos nada de las operaciones de conjuntos salvo su definición. Si ya tuviéramos antes probada alguna propiedad "algebraica", podríamos usarla, pero si no tenemos nada, entonces... "Sea \( x \in A \), entonces..."

Sí, así lo intenté y funciona bien para las leyes distributivas, aunque para las de Morgan me quedó un poquitín larga, preferiría usar propiedades algebraicas. Pero bueno, mantegámonos con elementos por el momento. Veré que tanto tardo en pasar las respuestas a LaTex para irlas subiendo, creo que voy a tardar pues nunca lo he usado!

14 Enero, 2010, 08:33 am
Respuesta #13

argentinator

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En el mensaje anterior agregué otras respuestas a lo que me habías preguntado.

Con las propiedades de De Morgan creo que no se pueden usar propiedades algebraicas a esta altura tan básica...

Sin embargo, podrías aprovechar que las operaciones de conjuntos son "paralelas" a las operaciones lógicas.

Si tenemos 3 proposiciones \( \alpha,\beta,\gamma \), la fórmula:

\( \alpha\textsf{\ y \ } \textsf{no-}(\beta\textsf{\ o \ }\gamma) \)

es lógicamente equivalente a

\( (\alpha\textsf{\ y \ }\textsf{no-}\beta)\textsf{\ o \ }(\alpha\textsf{\ y \ }\textsf{no-}\gamma) \)

Luego basta poner \( \alpha :\equiv{}x\in A \), \( \beta :\equiv{}x\in B \), \( \gamma :\equiv{}x\in C \).

Con eso la demostración queda bastante clara. No sé si breve en el papel, pero sí rápida de escribir...

Saludos

14 Enero, 2010, 08:40 am
Respuesta #14

morito14

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OK, ya veo, bueno, éste es ahora mi intento. Me quedó muy larga la F, me da la impresión que está correcta, pero habría que refinarla:
\( D=A\cap{(B\cup{C)}} \)
\( E=(A\cap{B)}\cup{C} \)
\( F=(A\cap{B)}-(A\cap{(B-C)) \)


Abusando un poco de ti, ¿cuál es el editor de LaTex que usas en tu PC?

14 Enero, 2010, 08:54 am
Respuesta #15

argentinator

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Me parece que el conjunto F es incorrecto.

Yo razono así:

\( \alpha\equiv{x\in A} \)
\( \beta\equiv{x\in B} \)
\( \gamma\equiv{x\in C} \)
\( \phi\equiv{x\in F} \)

Estoy usando el signo \( \equiv{} \) para indicar "equivalencia lógica".
Es  un "si, y sólo si". O como un \( \Longleftrightarrow{} \)...

Así que
\( \phi\equiv{}x\in A\textsf{\ y\ }(x\in B\Longrightarrow{x\in C})\equiv{}\alpha\textsf{\ y\ }(\beta\Longrightarrow{\gamma}) \)

Usando que \( (\beta\Longrightarrow{\gamma})\equiv \textsf{no-}\beta\textsf{\ ó\ }\gamma \), puedo escribir ahora:

\( \phi\equiv{}\alpha\textsf{\ y\ }(\textsf{no-}\beta\textsf{\ ó\ }\gamma) \)

Aplicando ley distributiva de la conjunción "y":

\( \phi\equiv{}(\alpha\textsf{\ y\ }\textsf{no-}\beta)\textsf{\ ó\ }(\alpha\textsf{\ y\ }\gamma) \)



Si reescribimos el significado de estas proposiciones en función de "x", se ve que esta última condición que es equivalente a la condición \( \phi \) que determina a los elementos de F, nos dice que:

\( F=(A-B)\cup(A\cap C) \)

Hace un rato me habías preguntado si podrías usar "operaciones algebraicas de conjuntos".

En rigor no, pero fijate que "casi" las he usado, porque las mismas propiedades algebraicas de los conjuntos valen para las operaciones lógicas.

Esto es así por la propia definición de las operaciones conjuntísticas, que se hacen en paralelo a dichas operaciones.

Se "traduce" negación por "diferencia", "disyunción" por "unión", y "conjunción" por "intersección".

Y con las operaciones lógicas se puede aplicar "leyes distributivas" y "leyes de De Morgan", aunque en su propio contexto, claro está.

Creo que esto aclara muchos pasos en las demostraciones.

Saludos





14 Enero, 2010, 09:03 am
Respuesta #16

morito14

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Ya veo, muy clara la demostración y la aclaración de las propiedades.

14 Enero, 2010, 10:44 am
Respuesta #17

morito14

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14 Enero, 2010, 10:44 pm
Respuesta #18

Alejo

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\( \Longrightarrow{A\subset{(B\cup{C})} \)
Supongo que estas en 1.7, yo lo veo asi:

\( (A\cap{B})\subset{C} \)

A ver que dice el profe


14 Enero, 2010, 11:39 pm
Respuesta #19

Alejo

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Me refiero al ejercicio 1.3 a)

\(

Directa:\\
Si\;\;\; $x < 0 \Longrightarrow{x^2-x}> 0$\\
Reciproca:\\
Si\;\;\; $x^2-x > 0 \Longrightarrow{x} < 0$\\
Contrapositiva:\\
Si\;\;\; $\neg (x^2-x) > 0 \Longrightarrow{\neg } x < 0$
 \)

Creo que en los tres casos las conclusiones son falsas, por lo que creo que algo no debe funcionar en mis apreciaciones "logicas" y quisiera vuestra opinión

EDITO: OK. resuelto! un lapsus!! ... :)

Saludos