Autor Tema: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)

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21 Diciembre, 2010, 04:04 am
Respuesta #410

argentinator

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    Ejercicio 4.10
    (c) Dado \( a>0 \) sea \( B=\{x\in \mathbb{R}:x^2<a\} \). Demuestre que \( B \) está acotado superiormente y que contiene, al menos un número positivo. Sea \( b=\sup B \); demuestre que \( b^2=a \).
    Demostración:
    Sabemos que \( (1+a)^2>a \), entonces \( (1+a) \) es cota superior de B, entonces B está acotado superiormente, además como \( (1+a)^2>a\Rightarrow{a(1+a^2)>a^2}\Rightarrow{a>\left({\cfrac{a}{1+a}}\right)^2} \), luego \( \cfrac{a}{1+a}\in B \), por lo que \( B\neq{\emptyset} \) y también \( \cfrac{a}{1+a}>0 \). Por el axioma del supremo, \( B \) posee supremo, sea este \( b \), luego como \( b\geq\cfrac{a}{1+a}\Rightarrow{b>0} \). Falta probar que \( b^2=a \). Supongamos que no, tenemos los siguientes casos:
    • \( b^2>a \), luego por (b) existe \( h>0 \) tal que \( (b-h)^2>a \), luego \( (b-h)^2>x^2 \), para todo \( x\in B \)
    , entonces \( (b-h)>x \), para todo \( x\in B \)[/li][/list]. Por lo que \( b-h \) es una cota superior de B menor que \( b=\sup B \). Contradicción.
    • \( b^2<a \), luego existe \( h>0 \) tal que \( (b+h)^2<a \), entonces \( (b+h)\in{B}\Rightarrow{b+h\leq{b}} \) lo que es una contradicción.
    Por tanto, \( b^2=a \).
    ¿Qué tal?

    No veo errores.
    En todo caso, el razonamiento es justo ese mismo.

    21 Diciembre, 2010, 04:07 am
    Respuesta #411

    argentinator

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    Ejercicio 4.11
    Dado \( m\in\mathbb{Z} \), decimos que \( m \) es par si \( m/2\in\mathbb{Z} \), y que \( m \) es impar en caso contrario.
    (a) Demuestre que si \( m \) es impar, \( m=2n+1 \) para algún \( n\in{\mathbb{Z}} \)
    Como \( m \) es impar, entonces por definición \( m/2\not\in{\mathbb{Z}} \), y por el ejercicio 4.9 (b) existe un \( n\in{\mathbb{Z}} \) tal que

    \( n<m/2<n+1\Rightarrow{2n<m<2n+2} \) y como \( m\in{\mathbb{Z}} \) no queda otra que \( m=2n+1 \). Esto a pesar de estar bien, no me convence. Ayuda argentinator

    No sé por qué no te convence. Está muy bien.
    Aún si el n fuese negativo, no habría problema.

    21 Diciembre, 2010, 04:07 am
    Respuesta #412

    argentinator

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    Ejercicio 4.11
    (b) Demuestre que si \( p \) y \( q \) son impares, también lo son \( p\cdot{q} \) y \( p^n \), para cualquier \( n\in{\mathbb{Z}_+} \)
    Tenemos que \( p=2n+1 \) y \( q=2m+1 \), con \( n,m\in{\mathbb{Z}} \), luego
    \( p\cdot{q}=2(nm+n+m)+1=2k+1 \), luego se tiene lo pedido.
    Por inducción sobre \( n \)
    Para \( n=1 \) se cumple, supongamos el resultado válido para \( n \).
    \( p^{n+1}=p^n\cdot{p} \). Como por hipótesis, \( p^n \) es impar y \( p \) también es impar, por lo mostrado anteriormente se tiene que \( p^{n+1} \) también es impar. Luego el resultado es válido para cualquier \( n\in{\mathbb{Z}_+} \).

    Un lujo  :aplauso:

    21 Diciembre, 2010, 04:09 am
    Respuesta #413

    enloalto

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    Ejercicio 4.11
    Dado \( m\in\mathbb{Z} \), decimos que \( m \) es par si \( m/2\in\mathbb{Z} \), y que \( m \) es impar en caso contrario.
    (a) Demuestre que si \( m \) es impar, \( m=2n+1 \) para algún \( n\in{\mathbb{Z}} \)
    Como \( m \) es impar, entonces por definición \( m/2\not\in{\mathbb{Z}} \), y por el ejercicio 4.9 (b) existe un \( n\in{\mathbb{Z}} \) tal que

    \( n<m/2<n+1\Rightarrow{2n<m<2n+2} \) y como \( m\in{\mathbb{Z}} \) no queda otra que \( m=2n+1 \). Esto a pesar de estar bien, no me convence. Ayuda argentinator

    No sé por qué no te convence. Está muy bien.
    Aún si el n fuese negativo, no habría problema.
    No me gusta esto:"no queda otra que \( m=2n+1 \)", osea ¿es aceptable?
    Llovizna queriendo ser lluvia de verano

    21 Diciembre, 2010, 04:13 am
    Respuesta #414

    enloalto

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    Ejercicio 4.9
    (c) Si \( x-y>1 \), demuestre que existe al menos un \( n\in{\mathbb{Z}} \) tal que \( y<n<x \).
    Humm por contradicción, supongamos que para todo \( n\in{\mathbb{Z}} \) se cumple \( y\geq n \) o \( n\geq x \), como no puede suceder que \( y\geq n \), para todo \( n\in{\mathbb{Z}} \), entonces \( n\geq x \) para todo \( n\in{\mathbb{Z}} \), pero esto tampoco es posible. Por tanto, se cumple lo pedido

    Esta demostración no me gusta mucho, hummmm


    No entiendo mucho la lógica, no parece estar bien.

    Si \( x-y > 1 \), entonces \( x > 1 + y \).
    Se sabe que existe un entero \( n \) tal que \( n-1 \leq y < n \).
    Sumando 1 da \( y< n \leq 1 + y < x \).
    El entero \( n \) es el buscado.

    Entendido!!!! ;D
    Llovizna queriendo ser lluvia de verano

    21 Diciembre, 2010, 04:14 am
    Respuesta #415

    argentinator

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    Ejercicio 4.11
    (c) Demuestre que si \( a>0 \) es un número racional, entonces \( a=m/n \) para ciertos \( m,n\in{\mathbb{Z}_+} \), donde \( m \) y \( n \) no pueden ser a la vez pares. Indicación: sea \( n \) el menor elemento del conjunto \( \{x\in\mathbb{Z}_+/x\cdot{a}\in{\mathbb{Z}_+\} \)

    ¿ Cómo demuestro que \( \{x\in\mathbb{Z}_+/x\cdot{a}\in{\mathbb{Z}_+\} \) es no vacío ?

    El número a es cociente de dos enteros p, q, con q no nulo.
    Si q es negativo, se puede escribir a = (-p)/(-q).

    Así que, sin pérdida de generalidad, se puede considerar que q > 0.
    Luego aq = p es entero.
    Como q > 0, a > 0, resulta p > 0.
    Esto quiere decir que q es elemento del dichoso conjunto que estás estudiando.

    21 Diciembre, 2010, 04:16 am
    Respuesta #416

    argentinator

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    Ejercicio 4.11
    Dado \( m\in\mathbb{Z} \), decimos que \( m \) es par si \( m/2\in\mathbb{Z} \), y que \( m \) es impar en caso contrario.
    (a) Demuestre que si \( m \) es impar, \( m=2n+1 \) para algún \( n\in{\mathbb{Z}} \)
    Como \( m \) es impar, entonces por definición \( m/2\not\in{\mathbb{Z}} \), y por el ejercicio 4.9 (b) existe un \( n\in{\mathbb{Z}} \) tal que

    \( n<m/2<n+1\Rightarrow{2n<m<2n+2} \) y como \( m\in{\mathbb{Z}} \) no queda otra que \( m=2n+1 \). Esto a pesar de estar bien, no me convence. Ayuda argentinator

    No sé por qué no te convence. Está muy bien.
    Aún si el n fuese negativo, no habría problema.
    No me gusta esto:"no queda otra que \( m=2n+1 \)", osea ¿es aceptable?

    Entre 2n y 2n+1 no existen otros enteros posibles,
    y lo mismo entre 2n+1 y 2n +2.
    Si m es entero, y 2n < m < 2n+2, entonces necesariamente m = 2n+1.

    La frase "no queda otra" es muy informal, es cierto.
    Mi exposición también fue informal, pero quizá más "elegante".

    21 Diciembre, 2010, 04:19 am
    Respuesta #417

    enloalto

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    El número a es cociente de dos enteros p, q, con q no nulo.
    Si q es negativo, se puede escribir a = (-p)/(-q).
    Eso del \( q \) no nulo, creo que le faltó mencionar al profesor Munkres, lo otro, osea: "Si q es negativo, se puede escribir a = (-p)/(-q)" tendría que probarlo, ¿verdad?
    Llovizna queriendo ser lluvia de verano

    21 Diciembre, 2010, 04:20 am
    Respuesta #418

    enloalto

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    Ejercicio 4.11
    Dado \( m\in\mathbb{Z} \), decimos que \( m \) es par si \( m/2\in\mathbb{Z} \), y que \( m \) es impar en caso contrario.
    (a) Demuestre que si \( m \) es impar, \( m=2n+1 \) para algún \( n\in{\mathbb{Z}} \)
    Como \( m \) es impar, entonces por definición \( m/2\not\in{\mathbb{Z}} \), y por el ejercicio 4.9 (b) existe un \( n\in{\mathbb{Z}} \) tal que

    \( n<m/2<n+1\Rightarrow{2n<m<2n+2} \) y como \( m\in{\mathbb{Z}} \) no queda otra que \( m=2n+1 \). Esto a pesar de estar bien, no me convence. Ayuda argentinator

    No sé por qué no te convence. Está muy bien.
    Aún si el n fuese negativo, no habría problema.
    No me gusta esto:"no queda otra que \( m=2n+1 \)", osea ¿es aceptable?

    Entre 2n y 2n+1 no existen otros enteros posibles,
    y lo mismo entre 2n+1 y 2n +2.
    Si m es entero, y 2n < m < 2n+2, entonces necesariamente m = 2n+1.

    La frase "no queda otra" es muy informal, es cierto.
    Mi exposición también fue informal, pero quizá más "elegante".

    Sí, así está mucho mejor.  ;)
    Llovizna queriendo ser lluvia de verano

    21 Diciembre, 2010, 04:21 am
    Respuesta #419

    argentinator

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    Ejercicio 6.1
    (a) Haga una lista de todas las aplicaciones inyectivas
    \( f:\{\1,2,3}\rightarrow{\{1,2,3,4\}} \)
    Demuestre que ninguna es biyectiva.

    Humm esta la veo como tanteando, una puede ser la inclusión
    \( f_1(k)=k \), \( K=1,2,3. \)
    \( f_2(1)=1, f_2(2)=2, f_2(3)=4 \)
    \( f_3(1)=1, f_3(2)=3, f_3(3)=4 \)
    \( f_4(1)=1, f_4(2)=4, f_3(3)=3 \)
    hmm me da pereza, acaso ¿hay otra manera de hacerla?

    Como el conjunto del dominio es 1, 2, 3, se puede denotar cada función como una mera terna ordenada, listando las "imágenes":

    \( f_1 = (1, 2, 3) \)
    \( f_2 = (1, 3, 4) \)

    etc.

    El total son todos los subconjuntos de 1, 2, 3, 4 que tienen 3 elementos,
    multiplicado esto por el número de permutaciones de 3 elementos.
    O sea: \( \dbinom43 3!=24 \)