Autor Tema: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)

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07 Octubre, 2010, 03:27 pm
Respuesta #360

sanmath

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Ejercicio 17.11. Pruebe que el producto de dos espacios de Hausdorff es de Hausdorff.
Solución:
Sean \( X \) e \( Y \) dos espacios de Hausdorff, tomemos \( (a,b),(c,d)\in{X\times{Y}} \) diferentes, podemos tomar \( a\neq{c} \) y con b y c no interesa, tomémoslos también diferentes, Luego tenemos que \( a,c\in{X} \) y \( b,d\in{Y} \), al ser \( X \) e \( Y \) dos espacios de Hausdorff, existen entornos \( V_a,V_b,V_c,V_d \) tales que
\( V_a\cap{V_c}\neq{\emptyset} \) y \( V_b\cap{V_d}\neq{\emptyset} \), luego
\( (V_a\times V_b)\cap{(V_c\times V_d)}=(V_a\cap V_c)\times (V_b\cap V_d)\neq{\emptyset} \) y se tiene lo pedido.

Para el caso de b y d iguales solo se hacen unas ciertas modificaciones.

Me parece que la prueba está correcta.

Hola , me parece que hay un error  en esta demostraciòn pues las vecindades deben ser disjuntas por ser un espacio de Haursdoff, es correcto lo que digo , es decir \( V_a\cap{V_c=\emptyset} \)
1301215

07 Octubre, 2010, 10:23 pm
Respuesta #361

argentinator

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Ejercicio 16.4. Una aplicación \( f:X\rightarrow{Y} \) se dice que es una aplicación abierta si, para cada conjunto abierto \( U \) de \( X \), el conjunto \( f(U) \) es abierto en \( Y \). Pruebe que \( \pi_1:X\times{Y}\rightarrow{X} \) y \( \pi_2:X\times{Y}\rightarrow{Y} \) son aplicaciones abiertas.

Solución 16.4:
Recordemos que \( \pi_1:X\times{Y}\rightarrow{X} \) es definida por \( \pi_1(x,y)=x \) y \( \pi_2:X\times{Y}\rightarrow{Y} \) es definida por \( \pi_2(x,y)=y \).

Sea \( W \) un elemento básico de \( X\times{Y} \), entonces existe elementos básicos \( V, U \) de \( X \) e \( Y \) respectivamente tales que \( W=V\times{U} \), entonces como \( \pi_1 \) es sobreyectiva, tenemos que \( \pi_1(W)=\pi_1(V\times{U})=V \), luego \( \pi_1(W) \) es un básico, en particular es abierto.

Sea ahora \( A\subseteq{X\times{Y}} \) un abierto, entonces existen \( W_\alpha \) elementos básicos tales que \( A=\bigcup_\alpha W_\alpha \), es decir, existen \( V_\alpha \) y \( U_\alpha \) elementos básicos de  \( X \) e \( Y \) respectivamente tales que \( W_\alpha=V_\alpha\times{U_\alpha} \) y \( A=\bigcup_\alpha \left( V_\alpha\times{U_\alpha} \right) \).

Entonces \( \pi_1(A)=\pi_1\left(\bigcup_\alpha \left( V_\alpha\times{U_\alpha} \right) \right)=\bigcup_\alpha\pi_1\left(  V_\alpha\times{U_\alpha} \right)=\bigcup_\alpha V_\alpha  \), es decir, \( \pi_1(A) \) es la unión de elementos básicos de X. Por tanto es un abierto de X, así, \( \pi_1 \) es abierta.

De la misma manera, se prueba que \( \pi_2 \) es abierta.

hola en lo alto, me podrìas explicar por que dices que la aplicaciòn es sobreyectiva y por que \( \pi_1(W)=\pi_1(V\times{U})=V \),

saludos

La aplicación es sobreyectiva porque es una proyección de una coordenada:

Sea \( \pi_1:X\times Y\to X \) dada por \( \pi (x,y)=x \).
Entonces, para cada \( x\in X \), eligiendo un elemento arbitrario \( y\in Y \), se tiene que:
\( \pi _1(x,y)=x \).

O sea, el elemento x es "imagen" por la proyección, de algún punto del dominio XxY.

Así que la proyección es sobreyectiva.

11 Octubre, 2010, 06:29 am
Respuesta #362

sanmath

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Por cierto en la pregunta anterior a que se refieren con un elemento básico?
1301215

11 Octubre, 2010, 09:26 pm
Respuesta #363

argentinator

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enloalto se refiere a elementos de la "base" de la topología producto, que son conjuntos de la forma ÜxV, siendo U abierto en X, V abierto en Y.

Para esto hay que entender los conceptos de base y de topología producto. ¿Has visto esos temas en la sección de teoría? Esos temas están explicados en la sección de Dictado del Curso.


Saludos

18 Diciembre, 2010, 10:15 pm
Respuesta #364

enloalto

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Holaaa a todos, volviendo con los ejercicios, pero me gustaría hacer los del primer capítulo que considero más interesantes. Empiezo con la sección 2 "Funciones"
Ejercicio 2.4
Sean \( f:A\rightarrow{B} \) y \( g:B\rightarrow{C} \).
(c) Si \( g\circ{f} \) es inyectiva, ¿qué se puede decir sobre la inyectividad de \( f \) y de \( g \)?
Veamos que pasa con \( f \). Sean \( x,y\in{A} \) tales que \( f(x)=f(y) \), entonces \( g(f(x))=g(f(y))\Longrightarrow{(g\circ{f})(x)=(g\circ{f})(y)}\Rightarrow{x=y} \). Por tanto \( f \) es inyectiva.

Pero para \( g \), sean \( x,y\in{B} \) tales que \( g(x)=g(y) \) pero como \( f:A\rightarrow{B} \) solo es inyectiva, nada nos garantiza que \( x=f(a) \) para algún \( a\in{A} \), eso solo pasaría si fuera sobre. Supongamos que \( f \) sea también sobre, y por tanto biyectiva. Entonces existen \( a,b\in{A} \) tales que \( x=f(a) \), \( y=f(b) \), entonces tenemos que \( g(f(a))=g(f(b)) \), luego \( a=b \), de donde \( x=f(a)=f(b)=y \), y así \( g \) sí es inyectiva.

En conclusión se puede decir que \( f \) es inyectiva, pero que \( g \) no necesariamente lo sea, imagino que debe haber algún ejemplo, pero ahora no se me ocurre. Además \( g \) es inyectiva sí \( f \) es sobre. Resumo esto en el siguiente

Si \( g\circ{f} \) es inyectiva entonces \( f \) es inyectiva. Además si \( f \) es sobreyectiva entonces \( g \) es inyectiva.

Algo análogo es para la (e).

¿Correcto?
Llovizna queriendo ser lluvia de verano

18 Diciembre, 2010, 10:44 pm
Respuesta #365

enloalto

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Para la 6 de esa misma sección, a saber
Ejercicio 2.6
\( f:\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}} \), \( f(x)=x^3-x \). Restringiendo adecuadamente el dominio y rango de \( f \) obtenga a partir de \( f \) una función biyectiva \( g \). Dibuje las gráficas de \( g \) y \( g^{-1} \).

La verdad no sé por donde empezar. ¿ Alguna idea Argentinator?
Llovizna queriendo ser lluvia de verano

19 Diciembre, 2010, 12:39 am
Respuesta #366

enloalto

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Ejercicio 4.4
(a) Demuestre por inducción que dado \( n\in{\mathbb{Z}_+} \), todo subconjunto no vacío de \( \left\{{1,2,...,n}\right\} \) tiene un mayor elemento.
Solución
Veamos para \( n=1 \), entonces tenemos \( \{1\} \) y se cumple. Supongamos la válida la afirmación para \( n\in{\mathbb{Z}_+} \), entonces veamos que sucede con \( \left\{{1,2,...,n,n+1}\right\} \). Sea \( N \) el elemento máximo de \( \left\{{1,2,...,n}\right\} \), entonces haciendo \( M=max \left\{{N,n+1}\right\} \) se tiene que M es el elemento máximo de \( \left\{{1,2,...,n+1}\right\} \). Por tanto, la afirmación es válida para todo \( n\in{\mathbb{Z}_+} \).

(b) Explique por qué no se puede deducir de (a) que todo subconjunto no vacío de \( \mathbb{Z}_+ \) tiene un mayor elemento.
Solución
Porque (a) solo se cumple para subconjuntos no vacíos que son finitos.

¿Correcto?
Llovizna queriendo ser lluvia de verano

19 Diciembre, 2010, 01:56 am
Respuesta #367

enloalto

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Ejercicio 4.5
Demuestre las siguientes propiedades de \( \mathbb{Z} \) y \( \mathbb{Z}_+ \):
(a) \( a,b\in{\mathbb{Z}_+}\Rightarrow{a+b\in{\mathbb{Z_+}}} \).
Recordemos que \( \mathbb{Z}_+ \) es la intersección de todos los conjuntos inductivos de \( \mathbb{R} \)
Sea \( a\in{\mathbb{Z}_+} \) arbitrario y definamos \( X_a=\{x\in \mathbb{R};a+x\in{\mathbb{Z_+}}\} \), veamos que \( X_a \) es inductivo.
Como \( a>0 \), entonces \( a+1>1>0\Rightarrow{a+1\in{\mathbb{Z}_+}} \), por lo que \( 1\in{X_a} \).
Supongamos que \( n\in X_a \), entonces \( a+n\in Z_+\Rightarrow{a+n>0} \), luego \( a+(n+1)=1+(n+a)>n+a>0\Rightarrow{a+(n+1)}\in Z_+ \). Por lo que \( n+1\in X_a \).
Luego \( X_a \) es inductivo, \( a\in Z_+ \), como el \( a \) fue arbitrario, se tiene \( X_a \) es inductivo, \( \forall a\in Z_+ \), luego \( X= \displaystyle\bigcap_{a\in \mathbb{Z}_+}^{}{X_a} \) es inductivo por el ejercicio 3(a). De esto se tiene que \( Z_+\subset{X} \). Luego sean \( a,b\in{\mathbb{Z}_+} \), entonces \( a\in{X} \), luego para todo \( z\in \in{\mathbb{Z}}_+ \) se tiene que \( a\in X_z \), en particular para \( z=b \), tenemos que \( a\in{X_b} \), luego \( a+b\in{\mathbb{Z}_+} \)

Corregido
Llovizna queriendo ser lluvia de verano

19 Diciembre, 2010, 02:53 am
Respuesta #368

enloalto

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Ejercicio 4.5
(d) \( c,d\in{\mathbb{Z}} \), entonces \( c+d\in{\mathbb{Z}} \) y \( c-d\in{\mathbb{Z}} \).
Primero para el caso \( d=1 \). Sabemos que \( \mathbb{Z}=\mathbb{Z}_+\cup{\left\{{0}\right\}}\left\{{\mathbb{Z}_-}\right\} \).
Sea \( c\in \mathbb{Z} \), tenemos los siguientes casos:
  • Si \( c\in \mathbb{Z}_+ \) como \( 1\in \mathbb{Z}+ \) por el ejercicio anterior \( c+1\in \mathbb{Z}_+\subseteq{\mathbb{Z}} \).
  • Si \( c=0 \), entonces \( c+1=1\in \mathbb{Z}_+\subset{\mathbb{Z}} \).
  • Si \( c\in \mathbb{Z}_- \), entonces acá también hay dos casos:
    • Si \( c=-1 \), entonces \( c+1=0\in\mathbb Z \).
    • Si \( c<-1 \), entonces \( c+1<0\Rightarrow{c+1\in{\mathbb{Z}_-}\subset{\mathbb{Z}}} \)
En cualquier caso \( c+1\in{\mathbb{Z}} \)

Siento que estoy haciendo trampa.
Llovizna queriendo ser lluvia de verano

19 Diciembre, 2010, 04:06 pm
Respuesta #369

argentinator

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Hola enloalto. ¡Tanto tiempo sin verte por acá!

Las resoluciones tuyas están muy claras y ordenadas y eso facilita hacer cualquier tipo de comentario o corrección.

En cuanto al ejercicio 2.4, me parece que todos los pasos están correctos:

Holaaa a todos, volviendo con los ejercicios, pero me gustaría hacer los del primer capítulo que considero más interesantes. Empiezo con la sección 2 "Funciones"
Ejercicio 2.4
Sean \( f:A\rightarrow{B} \) y \( g:B\rightarrow{C} \).
(c) Si \( g\circ{f} \) es inyectiva, ¿qué se puede decir sobre la inyectividad de \( f \) y de \( g \)?
Veamos que pasa con \( f \). Sean \( x,y\in{A} \) tales que \( f(x)=f(y) \), entonces \( g(f(x))=g(f(y))\Longrightarrow{(g\circ{f})(x)=(g\circ{f})(y)}\Rightarrow{x=y} \). Por tanto \( f \) es inyectiva.

Pero para \( g \), sean \( x,y\in{B} \) tales que \( g(x)=g(y) \) pero como \( f:A\rightarrow{B} \) solo es inyectiva, nada nos garantiza que \( x=f(a) \) para algún \( a\in{A} \), eso solo pasaría si fuera sobre. Supongamos que \( f \) sea también sobre, y por tanto biyectiva. Entonces existen \( a,b\in{A} \) tales que \( x=f(a) \), \( y=f(b) \), entonces tenemos que \( g(f(a))=g(f(b)) \), luego \( a=b \), de donde \( x=f(a)=f(b)=y \), y así \( g \) sí es inyectiva.

En conclusión se puede decir que \( f \) es inyectiva, pero que \( g \) no necesariamente lo sea, imagino que debe haber algún ejemplo, pero ahora no se me ocurre. Además \( g \) es inyectiva sí \( f \) es sobre. Resumo esto en el siguiente

Si \( g\circ{f} \) es inyectiva entonces \( f \) es inyectiva. Además si \( f \) es sobreyectiva entonces \( g \) es inyectiva.

Algo análogo es para la (e).

¿Correcto?

En cuanto a tu última conclusión, se puede establecer sin hacer "la cuenta", usando lo que ya sabemos sobre funciones inyectivas.

* Estableciste que \( f \) es inyectiva.
* Al suponer que \( f \) es sobre, te queda biyectiva.
* La inversa \( f^{-1} \) existe como función, y es inyectiva.
* Definiendo \( h = g\circ f \), se obtiene que \( g = h\circ f^{-1} \).
* Como \( h \) y \( f^{-1} \) son inyectivas, se puede usar el inciso (b) para demostrar que \( g \) es inyectiva.

A la hora de la verdad, me parece que habrá que hacer la misma cuenta que vos hiciste,
pero al escribir las ideas en la forma en que lo hice, se sistematiza el punto de vista sobre la situación,
y el mismo esquema puede tratar de aplicarse en otras situaciones.
(Son los famosos diagramas conmutativos).