Autor Tema: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)

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15 Julio, 2010, 04:38 am
Respuesta #350

mabelmatema

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ahí va de nuevo por si no lo leíste
y para no ser menos, me tiene mal el tema de las sucesiones, no por sí mismas sino porque me cuesta mucho relacionarlas, como por ejemplo en la siguiente propiedad, que me cuesta mucho encaminar o relacionar:
"En un espacio métrico (E,d) son equivalentes:
i. (E,d) es un espacio metrico completo
ii. Todo encaje de bolas cerradas en E cuyos diámetros tienden a o, tienen interección no vacía.

Demos hacer las demostraciones \(  i \Rightarrow{}ii \)
  y también \(  ii \Rightarrow{}i  \)

En la primera  \(  i \Rightarrow{}ii \)


(E,d) es un espacio metrico completo, \(  \Rightarrow{}\exists{}c\in{}E \)
 tal que la sucesión \(  \left\{{a_n}\right} \)
 converge a c y se cumple que \(  \forall{}\epsilon>0  \)
  se cumple \(  d(a_n, a_m)<\epsilon \forall{}m>n \)


pero de ahí no puedo relacionarlo con el encaje de bolas cerradas, podes darme una guía? plis gracias. mabel. ahh no estuve por aca por una gripe que me tiró

15 Julio, 2010, 04:45 am
Respuesta #351

mabelmatema

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y sigo con la vuelta
\(  ii\Rightarrow{}i \)

El encaje de bolas cerradas sería algo así?
\(  \forall{}n\in{}N \); K(x,delta/n) \( \subset{}_\infty \) K(x,delta/n) y
K(x,delta/n)\( \cap{} \)  K(x, delta) \( \neq{}\emptyset \)

Con la letra K indico que son bolas cerradas a diferencia de bolas abiertas
y ahí no alcanzo a relacionar con las sucesiones
¿armo una sucesión con los diámetros? delta/n y delta, y demustro que converge a algún punto, entonces que hago con la intersección, estoy enredada.
alguna orientación? o estoy totalmente fuera de foco?
gracias. mabel

16 Julio, 2010, 01:19 am
Respuesta #352

mabelmatema

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hola argentinator, nuevamente yo con estas demostraciones....
La siguiente, la hice un poco desordenada, pero me pareció que la idea estaba, espero tus observaciones
"Sea (E,d) un espacio métrico y A un sub-conjunto denso en E tal que toda sucesión de Cauchy en A converge a un punto de E. Entonces E es completo"

la idea es " como A es denso en E, la sucesión en A es sucesión en E y como es convergente a un punto de E, tenemos una sucesión convergente en E, entonces E es completo"
Y la simbología de todo esto sería
A es sub-conjunto denso en E, entonces cl(A) = E
Si cl(A)= E se cumple \(  \forall{}x\in{}cl(A)\Rightarrow{}x\in{}E \) (1)
Como \(  A\subseteq{}cl((A) \) se cumple que \(  \forall{}x\in{}cl(A) x\in{}A \) (2)
De (1) y (2) \(  \forall{}x\in{}A, x\in{}E \), luego si \(  \left\{{x_n}\right\} \) es sucesión en A, también lo es en E
Como \( \left\{{x_n}\right\} \) converge a \(  a \in{}E \), se tiene una sucesión convergente en E, lo que indica que E es completo
espero haber sido mínimamente clara.mabel

16 Julio, 2010, 01:50 am
Respuesta #353

argentinator

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Hola.

Estos días he estado muy ocupado y no pude responderte.
Pero pronto contestaré todos tus últimos mensajes.
Se trata de cuentas muy interesantes, y no quiero dejarlas pasar!!!

Pero ando medio complicado. Disculpame. Igual no te voy a hacer esperar mucho, a lo sumo uno o dos días más.

Saludos

16 Julio, 2010, 03:57 am
Respuesta #354

mabelmatema

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gracias argentinator, te tomo la palabra como siempre me has ayudado. mabel

22 Julio, 2010, 04:55 am
Respuesta #355

argentinator

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ahí va de nuevo por si no lo leíste
y para no ser menos, me tiene mal el tema de las sucesiones, no por sí mismas sino porque me cuesta mucho relacionarlas, como por ejemplo en la siguiente propiedad, que me cuesta mucho encaminar o relacionar:
"En un espacio métrico (E,d) son equivalentes:
i. (E,d) es un espacio metrico completo
ii. Todo encaje de bolas cerradas en E cuyos diámetros tienden a o, tienen interección no vacía.

Demos hacer las demostraciones \(  i \Rightarrow{}ii \)
  y también \(  ii \Rightarrow{}i  \)

En la primera  \(  i \Rightarrow{}ii \)


(E,d) es un espacio metrico completo, \(  \Rightarrow{}\exists{}c\in{}E \)
 tal que la sucesión \(  \left\{{a_n}\right} \)
 converge a c y se cumple que \(  \forall{}\epsilon>0  \)
  se cumple \(  d(a_n, a_m)<\epsilon \forall{}m>n \)


pero de ahí no puedo relacionarlo con el encaje de bolas cerradas, podes darme una guía? plis gracias. mabel. ahh no estuve por aca por una gripe que me tiró

Supongamos (i) y tratemos de probar (ii).

Sea \( \{A_m\}_{m=1}^\infty \) un encaje de bolas en E.
Eso quiere decir que \( A_m\supset A_{m+1} \) para todo m, y que cada \( A_m \) es una bola cerrada.
O sea, \( A_m=\bar B(x_m,r_m) \), donde \( x_m \) es un punto de E, y \( r_m>0 \).

El diámetro \( \delta_m \) de cada bola \( A_m \) es menor o igual que \( 2r_m \).

Eso no nos dice nada de los radios \( r_m \)...

Sin embargo, podemos olvidarnos de eso, y quedarnos con los diámetros.
Ya que los diámetros tienden a 0, resulta que, dado \( \epsilon>0 \), existe N tal que \( \delta_N<\epsilon/2 \).

Tomando m, n > N, obtenemos que \( d(x_m,x_n) \leq d(x_m,x_N)+d(x_N,x_n) <\epsilon/2+\epsilon/2=\epsilon. \)

Por lo tanto, la sucesión de "centros" de las bolas, \( \{x_m\}_{m=1}^\infty \) es una sucesión de Cauchy.
Como E es completo, dicha sucesión converge a un punto x de E.

Supongamos que los diámetros son todos números positivos (si no, todo esto se vuelve trivial...).

Supongamos que x no está en alguna de las bolas \( \bar B(x_N, r_N) \).
Esto quiere decir que existe \( s > r_N \) tal que \( d(y,x) > s \), para todo y en dicha bola, ya que la bola en cuestión es cerrada.
Existe N tal que n > N implica \( d(x_n, x)< s-r_N \), pues la sucesión de centros converge a x.
Tenemos que \( d(x_n, x_N) \leq r_N \).
Pero entonces \( d(x_N,x)\leq d(x_n, x_N)+d(x_N,x)\leq r_N+s-r_N=s \).
Pero esto no es posible para puntos en la bola N-ésima.

La constradicción viene de suponer que x no está en alguna de las bolas.
Luego x está en todas las bolas \( A_N \), y así, x es un punto de la intersección de todas ellas.
Asi, la intersección de todas las bolas cerradas \( A_N \) es no vacía.


22 Julio, 2010, 05:57 am
Respuesta #356

argentinator

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Supongamos (ii) y tratemos de demostrar (i).

Sea \( \{x_n\}_{n=1}^\infty \) una sucesión de Cauchy en E.

Consideremos el número \( s_n= \sup_{m>n} d(x_m,x_n). \)

A partir de algún valor grande de n, cada \( r_n \) es finito. (Probarlo usando que la sucesión \( x_n \) es de Cauchy).
Sin pérdida de generalidad, vamos a suponer que todos los \( r_n \) son finitos.

Además, es claro que la sucesión de números \( s_n \) es "decreciente" (en realidad es "no creciente", pero no quiero confundir la intuición del asunto).

Usando que la sucesión de puntos es de Cauchy, se puede probar también que \( s_n \) tiende a 0.


Mediante recurrencia, se puede extraer una subsucesión \( r_k=s_{n_k} \) que satisfaga \( r_1=s_1 \) y \( r_{k+1}=s_{n_{k+1}}<r_k/2 \).

Consideremos bolas cerradas \( A_k=\bar B(x_{n_k},2r_k) \).

Si z es un punto de \( A_{k+1} \), entonces
\( d(z,x_{n_{k}})\leq d(z,x_{n_{k+1}})+d(x_{n_{k+1}},x_{n_k})\leq 2r_{k+1}+s_{n_k}<r_k+r_k=2r_k \).

Esto muestra que \( A_{k+1}\subset A_k \), para todo índice k.

Como los radios de esas bolas tienden a 0, los diámetros tienden a 0, y por hipótesis (ii), la intersección de dichas bolas es un conjunto C no vacío.
Sea x un punto de C.

Tenemos que \( d(x_{n_k}, x)<2r_k \), todo k, o sea, que la subsucesión \( x_{n_k} \) tiende a x en E.

De paso, notemos que \( n_k\geq k \) (pues se trata de los índices \( n_k \) de una subsucesión).

Sea ahora \( \epsilon > 0 \).
Existe N tal que k > N implica \( d(x_{n_k},x)< \epsilon.  \)
Por otro lado, existe M tal que m, n > M satisface \( d(x_n, x_m) < \epsilon \), por ser la sucesión de Cauchy.

Elijamos ahora K = max(M, N). Claramente \( n_K\geq K \), y en tal caso, para n > K:
\( d(x_n,x)\leq d(x_n, x_{n_K})+d(x_{n_K},x)<2\epsilon \).

Esto implica que \( x_n \) converge a x.

23 Julio, 2010, 05:28 am
Respuesta #357

argentinator

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Bueno Mabel, ahí te pude responde lo del tema de Cauchy.

Disculpá que no respondí antes, tuve una semana complicada.

Aún así, puse las cuentas de un modo algo "sistemático".
Al menos quería dejar las cuentas "asentadas" para que las tengas a mano, y después podemos analizar la idea de la demostración con más tranquilidad, o ver qué pasa con algunos detalles.

Así no más como está a lo mejor no se entiende nada, jeje, escupí una chorrera de cálculos.
Pero hay una idea atrás de todos esos pasos, así que preguntá lo que haga falta.

26 Julio, 2010, 07:21 am
Respuesta #358

argentinator

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07 Octubre, 2010, 02:43 pm
Respuesta #359

sanmath

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Ejercicio 16.4. Una aplicación \( f:X\rightarrow{Y} \) se dice que es una aplicación abierta si, para cada conjunto abierto \( U \) de \( X \), el conjunto \( f(U) \) es abierto en \( Y \). Pruebe que \( \pi_1:X\times{Y}\rightarrow{X} \) y \( \pi_2:X\times{Y}\rightarrow{Y} \) son aplicaciones abiertas.

Solución 16.4:
Recordemos que \( \pi_1:X\times{Y}\rightarrow{X} \) es definida por \( \pi_1(x,y)=x \) y \( \pi_2:X\times{Y}\rightarrow{Y} \) es definida por \( \pi_2(x,y)=y \).

Sea \( W \) un elemento básico de \( X\times{Y} \), entonces existe elementos básicos \( V, U \) de \( X \) e \( Y \) respectivamente tales que \( W=V\times{U} \), entonces como \( \pi_1 \) es sobreyectiva, tenemos que \( \pi_1(W)=\pi_1(V\times{U})=V \), luego \( \pi_1(W) \) es un básico, en particular es abierto.

Sea ahora \( A\subseteq{X\times{Y}} \) un abierto, entonces existen \( W_\alpha \) elementos básicos tales que \( A=\bigcup_\alpha W_\alpha \), es decir, existen \( V_\alpha \) y \( U_\alpha \) elementos básicos de  \( X \) e \( Y \) respectivamente tales que \( W_\alpha=V_\alpha\times{U_\alpha} \) y \( A=\bigcup_\alpha \left( V_\alpha\times{U_\alpha} \right) \).

Entonces \( \pi_1(A)=\pi_1\left(\bigcup_\alpha \left( V_\alpha\times{U_\alpha} \right) \right)=\bigcup_\alpha\pi_1\left(  V_\alpha\times{U_\alpha} \right)=\bigcup_\alpha V_\alpha  \), es decir, \( \pi_1(A) \) es la unión de elementos básicos de X. Por tanto es un abierto de X, así, \( \pi_1 \) es abierta.

De la misma manera, se prueba que \( \pi_2 \) es abierta.

hola en lo alto, me podrìas explicar por que dices que la aplicaciòn es sobreyectiva y por que \( \pi_1(W)=\pi_1(V\times{U})=V \),

saludos
1301215