Autor Tema: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)

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11 Julio, 2010, 08:44 am
Respuesta #340

argentinator

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Por la manera en que has definido la recurrencia, se cumple para todo n, k,  que:

\( |x_{n+k+1}-x_{n+1}|=|g(x_{n+k})-g(x_n)|\leq q|x_{n+k}-x_n|| \)

Ahora, si aplicamos inducción a esta desigualdad, obtendremos que:

\( |x_{n+k+1}-x_{n+1}|\leq q^{n-1}|x_k-x_1| \)

Aplicando desigualdad triangular varias veces (unas k veces), y aprovechando la primer desigualdad obtenida, resulta ahora que:

\( |x_{n+k+1}-x_{n+1}|\leq q^{n-1}(q^{k-1}+q^{k-2}+\cdots+q^1)|x_1-x_0|| \)

Reconozco que la última expresión puede ser algo oscura... pero al menos quería responder tu consulta.
Después podemos ir más en detalle en las cuentas que no se entiendan.

Ahora bien, como \( x_1,x_0\in I \), su diferencia es menor o igual que la longitud del intervalo I, que voy a denotar |I|.
Usando el último caso de factoreo, podemos escribir:

\( q^{k-1}+q^{k-2}+\cdots+q^1\leq (1-q^k)/(1-q) \)

Juntado todo, usando que \( 1-q^k < 1 \), podemos concluir que:

\( |x^{n+k}-x^n|\leq q^n/(1-q) \).

Como se aprecia, esta cota obtenida no depende de k, así que si m, n, son mayores que un N dado, se obtiene que

\( |x^{n+k}-x^n|\leq q^n/(1-q)\leq q^N/(1-q) \).

Hemos usado ahí que q < 1.

Bien. La sucesión nos quedó de Cauchy, por lo tanto converge a algún número c.
Pero como la sucesión está en el rango de la función g, y dicho rango está incluido en el intervalo I, parece claro que c es un elemento de I, ya que I es un intervalo cerrado.

La unicidad creo que sale usando la hipótesis contractiva.
En efecto, si c, c' fueran dos puntos fijos de g, entonces
 
\( |g(c)-g(d)|< q|c-d|=q|g(c)-g(d)|<q^2|c-d|<... \)

Continuando de ese modo hasta cualquier exponente k, se obtiene que \( |g(c)-g(d)| < q^k|c-d| \).
Haciendo que k tienda a 0, nos da que g(c) - g(d) = 0.

Luego c = g(c) = g(d) = d, y listo la unicidad.

No está de más que revises todas las cuentas, porque en el apuro la puedo haber pifiado en algo.

11 Julio, 2010, 06:34 pm
Respuesta #341

mabelmatema

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está todo casi bien, agrego algunas cositas en color que me quedaron medio colgadas

Por la manera en que has definido la recurrencia, se cumple para todo n, k,  que:

\( |x_{n+k+1}-x_{n+1}|=|g(x_{n+k})-g(x_n)|\leq q|x_{n+k}-x_n|| \)

Ahora, si aplicamos inducción a esta desigualdad, obtendremos que:

\( |x_{n+k+1}-x_{n+1}|\leq q^{n-1}|x_k-x_1| \)

Aplicando desigualdad triangular varias veces (unas k veces), y aprovechando la primer desigualdad obtenida, resulta ahora que:
aquí la apliqué unas 5 veces para darme cuenta bien segura de lo que era\( |x_{n+k+1}-x_{n+1}|\leq q^{n-1}(q^{k-1}+q^{k-2}+\cdots+q^1)|x_1-x_0|| \)

Reconozco que la última expresión puede ser algo oscura... pero al menos quería responder tu consulta.
Después podemos ir más en detalle en las cuentas que no se entiendan.

Ahora bien, como \( x_1,x_0\in I \), su diferencia es menor o igual que la longitud del intervalo I, que voy a denotar |I|.
Usando el último caso de factoreo, podemos escribir:

\( q^{k-1}+q^{k-2}+\cdots+q^1\leq (1-q^k)/(1-q) \)

Juntado todo, usando que \( 1-q^k < 1 \), podemos concluir que:

\( |x^{n+k}-x^n|\leq q^n/(1-q) \).

auí se me perdió \(  \left |{x_1-x_0}\right | \)
Como se aprecia, esta cota obtenida no depende de k, así que si m, n, son mayores que un N dado, se obtiene que

\( |x^{n+k}-x^n|\leq q^n/(1-q)\leq q^N/(1-q) \).

Hemos usado ahí que q < 1.

Bien. La sucesión nos quedó de Cauchy, por lo tanto converge a algún número c.
(esasa es la expresión generasl de unas suces de Cauchy?
Pero como la sucesión está en el rango de la función g, y dicho rango está incluido en el intervalo I, parece claro que c es un elemento de I, ya que I es un intervalo cerrado.

La unicidad creo que sale usando la hipótesis contractiva.
En efecto, si c, c' fueran dos puntos fijos de g, entonces
 
\( |g(c)-g(d)|< q|c-d|=q|g(c)-g(d)|<q^2|c-d|<... \)

Continuando de ese modo hasta cualquier exponente k, se obtiene que \( |g(c)-g(d)| < q^k|c-d| \).
Haciendo que k tienda a 0, nos da que g(c) - g(d) = 0.

Luego c = g(c) = g(d) = d, y listo la unicidad.

No está de más que revises todas las cuentas, porque en el apuro la puedo haber pifiado en algo.

14 Julio, 2010, 01:59 am
Respuesta #342

argentinator

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Hola.

No he sabido nada de vos en estos días.
A lo mejor esperabas que te responda algo, en ese caso disculpame, pero a lo mejor no entendí lo que me planteabas.

Por lo que has puesto en azul, parece que al final te salió, por eso no dije más nada.

Pero no sé si todo esto está claro.

Saludos

14 Julio, 2010, 04:14 am
Respuesta #343

mabelmatema

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hola gracias profe:
 en cuanto a la demostración anterior, estas serían mis consultas, a ver si puedo hacerlas de a una por vez

Ahora bien, como , su diferencia es menor o igual que la longitud del intervalo I, que voy a denotar |I|.
Usando el último caso de factoreo, podemos escribir:

\( q^{k-1}+q^{k-2}+\cdots+q^1\leq (1-q^k)/(1-q) \)


Juntado todo, usando que \( 1-q^k < 1 \)
, podemos concluir que:
\( |x^{n+k}-x^n|\leq q^n/(1-q) \)

.

aquí se me perdió
\(  \left |{x_1-x_0}\right | \)

14 Julio, 2010, 04:17 am
Respuesta #344

mabelmatema

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otra que no se notó en la copia
Como se aprecia, esta cota obtenida no depende de k, así que si m, n, son mayores que un N dado, se obtiene que

.\( |x^{n+k}-x^n|\leq q^n/(1-q)\leq q^N/(1-q) \)


Hemos usado ahí que q < 1.

Bien. La sucesión nos quedó de Cauchy, por lo tanto converge a algún número c.
(esa es la expresión generasl de unas suces de Cauchy?
¿Cómo sabes que es de Cauchy?

14 Julio, 2010, 04:27 am
Respuesta #345

mabelmatema

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y para no ser menos, me tiene mal el tema de las sucesiones, no por sí mismas sino porque me cuesta mucho relacionarlas, como por ejemplo en la siguiente propiedad, que me cuesta mucho encaminar o relacionar:
"En un espacio métrico (E,d) son equivalentes:
i. (E,d) es un espacio metrico completo
ii. Todo encaje de bolas cerradas en E cuyos diámetros tienden a o, tienen interección no vacía.

Demos hacer las demostraciones \(  i \Rightarrow{}ii \)  y también \(  ii \Rightarrow{}i  \)
En la primera \(  i \Rightarrow{}ii \)

(E,d) es un espacio metrico completo, \(  \Rightarrow{}
\exists{}c\in{}E \) tal que la sucesión \(  \left\{{a_n}\right} \) converge a c y se cumple que \(  \forall{}\epsilon>0  \) se cumple \(  d(a_n, a_m)<\epsilon \forall{}m>n \)

pero de ahí no puedo relacionarlo con el encaje de bolas cerradas, podes darme una guía? plis gracias. mabel. ahh no estuve por aca por una gripe que me tiró

14 Julio, 2010, 04:33 am
Respuesta #346

argentinator

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Bien, para ser de Cauchy se requiere que para cada \( \epsilon>0 \) existe un N tal que para todo par de índices n, m, que sean mayores que M, se obtiene \( |x_n-x_m|<\epsilon \).

Ahora bien, prestá atención a la condición que encontré con los "q"s.

Agarrate un \( \epsilon>0 \), ahora definir \( N = \log_q [(1-q)\epsilon] \).

Si m, n, son mayores que N, suponiendo que m > n > N, definimos k = m - n, y quedamos en la situación de la desigualdad anterior:

\( |x_m-x_n|=|x^{n+k}-x^n|\leq q^n/(1-q)\leq q^N/(1-q)=\epsilon \) (por la manera en que elegimos N).

Así que hemos logrado que se cumpla la condición de Cauchy, tal como corresponde al formato "original".

La pista para conseguirlo fue que estuve buscando una "cota" que no depende de k, y que para n, k "grandes" (mayor que algún N, quién sabe cuál...) la resta de los elementos de la sucesión quede acotada por algo que depende de N... pero ese algo tiene que tender a 0 con N.
Esa es la intención.

Al obtener una cota "uniforme" en n, k, para N grande, y esa cota tender a 0 cuando N tiende a infinito, es fácil buscarle la vuelta para que se cumpla la condición de Cauchy.

O sea, es un "truquillo".

Y estas cosas se aprenden con la práctica.

Además, fijate que en vez de trabajar con n, m grandes, trabajé con n y n+k.
El lugar de m lo ocupó el n+k.

Eso depende de la situación planteada. En este caso usé n+k porque me quedó más cómodo, ya que así podía expresar con más claridad las relaciones de recurrencia.

Son trucos o técnicas que uno puede intentar aplicar casi siempre al tratar de demostrar que una sucesión es de Cauchy.
Hay que buscar que las diferencias de términos con índice grande... tienda uniformemente a 0.
Con la intención basta, después hay que ir viendo qué se puede tocar para lograrlo... si es que sale, jeje.

En este caso salió porque se trata de un caso típico. Yo no recordaba la prueba exacta, pero "sentía" que me iba a salir.
En cierto modo lo ví fácil.
Y espero que con la costumbre y la práctica lo veas así también.  ;)

Saludos

14 Julio, 2010, 04:35 am
Respuesta #347

mabelmatema

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 y sigo con la vuelta
\(  ii\Rightarrow{}i \)
El encaje de bolas cerradas sería algo así?
\(  \forall{}n\in{}N \); K(x,delta/n) \( \subset{}_\infty \) K(x,delta/n) y
K(x,delta/n) \( \cap{} \) K(x, delta) \( \neq{}\emptyset \)
Con la letra K indico que son bolas cerradas a diferencia de bolas abiertas
y ahí no alcanzo a relacionar con las sucesiones
¿armo una sucesión con los diámetros? delta/n y delta, y demustro que converge a algún punto, entonces que hago con la intersección, estoy enredada.
alguna orientación? o estoy totalmente fuera de foco?
gracias. mabel

14 Julio, 2010, 05:10 am
Respuesta #348

mabelmatema

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mañana miro tus respuestas, hoy ya no me da para pensar más
la aclaración de la demostración anterior me pareció excelente y la forma en que se puede llegar a la sucesión de Cauchy también, mañana sigo
gracias. mabel

15 Julio, 2010, 04:21 am
Respuesta #349

mabelmatema

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hola profe:
pudiste ver el teorema del espacio completo y el encaje de bolas cerradas?
espero tus respuestas, gracias. mabel.