Autor Tema: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)

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03 Julio, 2010, 08:57 am
Respuesta #310

mabelmatema

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03 Julio, 2010, 09:08 am
Respuesta #311

argentinator

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Creo que sí, que la frontera coincide con la clausura del palito.

¿Hace dudar no? Después me fijo mejor, pero creo que eso es lo correcto.
Ahora ya es muy tarde para reflexiones filosóficas...  ;D

En cuanto al cilindro, está precioso el dibujo, me encantó!!  :-*

La frontera tendría que ser la "cáscara" del cilindro, o sea, la superficie que limita el conjunto A en cuestión.
¿Te parece?

Mañana nos ponemos con las cuentas. Ahora estoy cansado.

Con las cuentas vamos a corroborar lo que la intuición nos ha venido diciendo.

Saludos, y hasta mañana

03 Julio, 2010, 08:42 pm
Respuesta #312

mabelmatema

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Hola , bueno después de la derrota hay que ponerle más ganas al estudio
Con respecto al cilindro pienso que:
interior= al mismo conjunto
cl(a) = \(  \left\{{(x_1,x_2,x_3)/x_1^2+x_2^2\leq{}1}\right\} \)
y frontera (A) = \(  \left\{{(x_1,x_2,x_3)/x_1^2+x_2^2=1}\right\} \)

La verdad verdad es que la frontera vino a desacomodarme las cosas porque tiene tanto puntos del conjunto como de su complemento, tiene puntos aislados, que pueden no ser del conjunto como de acumulación, contiene puntos de la clausura, pero no está incluida en ella.
Podría decirse que es como una "zona de aproximación tanto por dentro como por fuera"?. veo si puedo hacer un dibujito o si lo podés hacer vos que manejás mejor los gráficos, te lo agradezco.
desde ya gracias. mabel

03 Julio, 2010, 08:57 pm
Respuesta #313

mabelmatema

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a ver si está mas o menos bien lo que pienso
en el dibujo que adjunto lo celeste sería el interior del conjunto, y lo que tiene puntos la frontera
puede ser o hice de las mías?
gracias.

03 Julio, 2010, 09:27 pm
Respuesta #314

argentinator

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Los dibujos los hago en su mayoría con el famoso Paint de Windows, y mucha paciencia.
Todo es cuestión de práctica.
Es difícil ser preciso con el Paint, pero es más simple para expresar ideas topológicas generales en forma rápida.

Tu dibujo está bien, salvo que la frontera la hiciste demasiado "gruesa", jeje. Pero bueno, supongo que no es fácil dibujar en la compu.

Cuando se trata de regiones limitadas por una curva cerrada y visiblemente suave, la frontera tiene que ser esa curva, o sea, el "borde" del dibujo.

En las figuras geométricas sencillas, la idea intuitiva de frontera tiene que coincidir con la noción topológica de frontera, sin duda.
Así que la frontera de un círculo es la circunferencia que lo limita, y la frontera de un rectángulo relleno es el borde rectangular que lo limita, y así por el estilo.

La frontera no es que tenga "puntos del conjunto y su complemento", sino "puntos de acumulación del conjunto y de acumulación de su complemento".

Así que si x es un punto de la frontera de A, toda bola centrada en x contiene puntos tanto de A como de X - A.

Si una de las bolas queda en el "interior" de A, o de X - A, ese punto ya no está en la frontera de A.

Para el cilindro, dado un punto \( P=(x,y,z) \) en el interior de A, tiene que haber una bola B(P, r) totalmente contenida en A.
Eso obliga a que \( r<1-(x^2+y^2+z^2)^{1/2} \).
Con un tal radio, dado un punto \( Q = (a, b, c) \) en la bola B(P, r), se obtiene, por desigualdad triangular:

\( d(Q,0)\leq d(Q,P)+d(P,0) = r+(x^2+y^2+z^2)^{1/2}< 1. \)

Esto muestra que \( a^2+b^2+c^2< 1 \), y por lo tanto \( Q \) está en el cilindro, porque aquello implica que \( a^2+b^2<1 \).
Como esto es válido para todo punto Q de la bola B(P, r), resulta que B(P, r) es subconjunto de A.

Así que todo punto de A es interior de A.

Ahora habría que analizar los puntos P = (x, y, z) que satisfacen \( x^2+y^2>1 \).
Mediante consideraciones geométricas, se puede probar que estos puntos son "interiores" al "complemento de A", o sea, cada uno de esos puntos P tiene una bolita abierta centrada en P, disjunta con A.
Para hallarla, basta darse cuenta que P está una cierta distancia alejado del "borde" del cilindro, y entonces uno elige un radio bastante pequeño en torno a P, para obtener una bolita centrada en P que no toque el cilindro.

Ahora bien. Resta analizar los puntos \( P=(x,y,z) \) de la forma \( x^2+y^2=1 \), o sea, el borde del cilindro.

Intuitivamente, todos esos puntos son de acumulación tanto de A como del complementario de A.
Para comprobarlo, para cada \( r > 0 \) hay que encontrar en la bola B(P, r) puntos que estén tanto en A como en el complemento, o sea, puntos \( Q = (a, b, c) \) que cumplan \( a^2+b^2< 1 \), y puntos \( S = (u, v, w) \) que cumplan \( u^2+v^2\geq 1 \).
Para cada r > 0 basta encontrar un solo punto Q, y un solo punto S.

Hay que ingeniárselas un poco, uno tiene mucha libertad, aunque hay que elegir inteligentemente algo para cada r dado.
Eso nos daría la frontera de A.

La clausura es unión de A con su frontera, así que sería como vos pusiste, sin muchas más vueltas, una vez que uno ya haya determinado que la frontera es la cáscara del cilindro, que se ve tan claramente con los ojos.

04 Julio, 2010, 03:39 am
Respuesta #315

mabelmatema

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hola de nuevo
esta frase
"La frontera no es que tenga "puntos del conjunto y su complemento", sino "puntos de acumulación del conjunto y de acumulación de su complemento"."

El tema de mi dibujo, es que yo creía que la frontera era una  zona que contenía tanto los exteriores cercanos al borde y los interiores cercanos al borde, por eso la banda.

Ahora si, me quedó clarísimo.
saludos. mabel


04 Julio, 2010, 07:03 am
Respuesta #316

argentinator

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En los ejemplos de dibujos "sencillos" (figuras geométricas clásicas como elipses, círculos, rectángulos, etc.) la frontera es sólo el borde de la figura, o sea, un trazo lineal. No tiene "grosor" en esos casos.

Sólo cuando las situaciones son más especiales o extrañas, la frontera tiene grosor.

Un ejemplo de esto sería la frontera del conjunto A formado por todos los puntos del plano cuyas coordenadas son números racionales. Su frontera es todo el plano, que es bastante "gordito" por cierto.


05 Julio, 2010, 04:38 pm
Respuesta #317

mabelmatema

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hola profe:
Seguimos, no creas que te librarás de mí fácilmente
La preguntita: Hay conjuntos que no son ni abiertos ni cerrados, por ejemplo

\(  \left\{{(x_1,x_2,x_3)/x_1^2+x_2^2\leq{}1}, a< x_3\leq{}b\right\} \)

que correspondería al cilindro anterior, pero con una tapa

gracias. saludos, buen inicio de semana

05 Julio, 2010, 05:25 pm
Respuesta #318

argentinator

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Como diría el Chavo del ocho: "Eso, eso, eso..."

En efecto, hay muchos conjuntos que no son abiertos ni cerrados.

¡Con una alumna así de aplicada, el día entero se me alegra!

Saludos

05 Julio, 2010, 05:36 pm
Respuesta #319

mabelmatema

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gracias por el aliento, pero vuelvo más tarde ehhh