Autor Tema: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)

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02 Julio, 2010, 02:06 am
Respuesta #290

argentinator

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Sí, todo es posible.
Es que los distintos libros usan términos algo diferentes, y parece que me he confundido.

Lo importante a tener en cuenta es lo siguiente:

* Consideremos la intersección del conjunto A con un entorno U del punto x.
* Si dicha intersección sólo contiene puntos distintos del punto x, entonces x es de acumulación de A, y pertenece a la clausura de A.
* Si x es un punto de A, puede ser aislado o de acumulación. En cualquier caso, pertenece a la clausura de A.

Con la definición que has puesto, está correcto que la clausura de A contiene a todos los puntos adherentes de A.

Lo que hay que recordar es justamente que hay dos clases de puntos: los que son de acumulación de A, y los que no.

Geométricamente, se ve claro que un punto aislado x no puede alcanzarse con una sucesión de puntos de A (distintos de x) que se aproxime al x.
Por eso se le llama "aislado".

Los otros puntos, llamados límite o de acumulación, sí pueden "aproximarse" por punos de A.

Esto de ser aproximable o no por puntos de A tiene que ver con la posición que el punto x ocupa en relación al conjunto A, y por supuesto que en esto influye el conjunto A mismo que se ha tomado.

Vale la pena ver varios ejemplos de conjuntos en los que algunos puntos son aislados, otros no, mezcla de ambos.

Si un conjunto A contiene a todos sus puntos de acumulación, quiere decir que todo punto que no está en A tiene "algún" entorno que no interseca al conjunto A. Pero entonces todo punto que no está en A es un "punto interior" del complemento de A.
Esto quiere decir que el complemento de A es abierto.
Luego el mismo A es cerrado.

Esta es la conexión importante entre la noción sencilla de conjunto cerrado, visto como complemento de abierto, y la noción de puntos de acumulación, que involucra sucesiones que convergen a los puntos de acumulación...




02 Julio, 2010, 02:17 am
Respuesta #291

mabelmatema

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si ya veo, realmente la bibliografía habla poco de los adherentes, más bien tiene muy en cuenta los de acumulación. gracias, entonces. mabel

02 Julio, 2010, 02:36 am
Respuesta #292

argentinator

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Fijate que en la prueba anterior no usé los puntos aislados.

Solamente probé que: si un conjunto contiene a sus puntos de acumulación, es cerrado.
También se puede probar lo recíproco: todo conjunto cerrado A contiene a sus puntos de acumulación.
Esto es fácil, porque si un punto x es de acumulación de A, no es interior del complemento de A,
pero como el complemento de A es abierto, el punto x no pertence al complemento de A, así que está en A.

Ahora veamos lo que ocurre con la clausura de un conjunto A.

Si un punto x es de acumulación de, digamos, cl(A), entonces existe una sucesión \( x_n \) de puntos de cl(A) que tiende a x.
Sea \(  r_n = d(x,x_n).  \)
La sucesión \( r_n \) tiende a 0.

Por ser \( x_n \) un punto de cl(A), es de adherencia de A, así que para cada n existe un punto \( z_n \) de A tal que \( d(x_n,z_n)
<r_n \).

Ahora calculamos \( d(x,z_n)\leq d(x,x_n)+d(x_n,z_n)<2r_n \), que tiende a 0.
Por lo tanto, hemos probado que x es, también, un punto de acumulación de A mismo.
Así que x pertenece a cl(A).

En resumen: todo punto de acumulación de cl(A) es punto de cl(A).

Por lo dicho arriba de todo, resulta que cl(A) es un conjunto cerrado.



Tengo la sensación de que la prueba debiera ser menos trabajosa.
No recuerdo haber sufrido tanto para espacios topológicos, que son más generales que los métricos, en relación a esta prueba de que la clausura es cerrada...

En realidad todo depende de la definición que se dé de clausura.

A lo mejor el camino al que estoy acostumbrado es a "definir" que la clausura es intersección de los cerrados que contienen al A, y esto da automáticamente que A es cerrado.
Pero luego uno trata de describir cuáles son los puntos que están en dicha clausura.
En algún momento hay que probar que los puntos que están ahí son los de adherencia de A.

Pero esto también es fácil, porque todos los cerrados B que contienen al A, contienen a todos los puntos de adherencia de A...

Hay algo en todo esto que no me cierra... no sé dónde está la "vueltita" que complicó todo.

Saludos


02 Julio, 2010, 03:02 am
Respuesta #293

mabelmatema

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 a ver preguntonta, a propósito dejaste de lado, los aislados?
porque los aislados son adherentes o no? y por lo tanto pertenecen a la clausura?
te compliqué mucho?

02 Julio, 2010, 03:11 am
Respuesta #294

argentinator

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Sí, están en la clausura, pero para concluir que un conjunto es cerrado, basta demostrar que los de acumulación están en el conjunto.

No los tuve en cuenta sólo en la prueba de ese resultado.

Pero no es que no haya que tomarlos en cuenta.

Es sólo una propiedad: contener los propios puntos de acumulación es equivlente a ser cerrado

02 Julio, 2010, 04:46 am
Respuesta #295

mabelmatema

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03 Julio, 2010, 06:18 am
Respuesta #296

mabelmatema

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hola argentinator: de nuevo yo peleando con los interiores, la clausura y la frontera.
La verdad es que en la teoría esta claro, pero cuando se presenta un caso concreto es difícil de verlos a cada conjunto, por ejemplo te pido en ayuda para determinar el conjunto interior int(A), cl(a) y F(A) en los siguientes casos:

a) \( \left\{(x_1,x_2)\in{}R^2: x_1=0, a<x_2<b\right\} \)

b) \(  \left\{{(x_1,x_2,x_3)/x_1^2+x_2^2<1}\right\} \)

gracias, mabel.

03 Julio, 2010, 06:25 am
Respuesta #297

mabelmatema

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olvidé colocar que ambos conjuntos se consideran con la distancia euclídea.

03 Julio, 2010, 07:15 am
Respuesta #298

argentinator

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El ejercicio (a) se resuelve de manera muy sencilla: hacete un dibujito, y empezá a dibujar bolas (en este caso discos) y ver cómo se relacionan con el conjunto.

El ejercicio (b) es algo difícil de dibujar, porque es en dimensión 3...
Sin embargo, sólo hay restricciones para las primeras 2 variables, así que se trata de una figura cilindrica (infinito) con eje vertical.
La base del cilindro es un disco abierto.

Creo que dibujando ambas cosas: una perspectiva del cilindro, y la base circular, te vas a dar una idea de cómo han de ser las bolas.

Las bolas en torno a un punto del conjunto te dirán si el punto es interior o no.

El dibujo mismo te sugerirá en cada caso cuál es la frontera, y entonces los puntos de la frontera son candidatos a puntos de adherencia (además de los del conjunto mismo, claro, que siempre están) .

Si aún así las cosas no salen, avisame, y nos metemos en las cuentas.

A propósito... ¿te animás a colgar acá en los posts algunos dibujitos? Jeje

03 Julio, 2010, 07:51 am
Respuesta #299

mabelmatema

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bien veré como salen, la verdad es que nunca dibujé en la compu en 3 dimensiones, pero veré, si prometes que será sólo entre nostros, sin mostrar a nadie más. mañana veo como hago. hasta mañana. mabel.