Autor Tema: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)

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30 Junio, 2010, 06:57 am
Respuesta #280

mabelmatema

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sigo todavía en pie, medio dormida peroen esto.
Intenté una demostración, no sé que salió y la segunda parte me quedó trunca, podés ver lo que hice y tirarme una idea para seguir

" x es punto de acumulación de A sii d(x,A) = 0
\( \Rightarrow{} \) x es de acumulación \( \Rightarrow{} \) d (x,A) = 0

x es de acumulación de A si \( \displaystyle B_r(\mathbf x) \) \(  \forall{}r>0 \), incluye puntos de A diferentes de x

si   \( \begin{align*}\displaystyle   B_r(  x) := \{  y\in X:d(x,y) < r\}.\end{align*} \)

entonces el inf \( {d(x,y)/ x\in{}A e y \in{}B}= 0 \), entonces d(x,A)= 0

para la 2da parte, pensé

d(x,A)=0, \( {d(x,y)/ x\in{}A e y \in{}B}= 0 \) y ahí me quedé

veamos que salió

30 Junio, 2010, 07:05 am
Respuesta #281

argentinator

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La primer parte no me queda muy clara cómo la estás probando.

Hay dos formas: directa o por absurdo.

En la forma directa, hay que tomar un número positivo r, y probar que hay un punto z del conjunto A tal que d(x, z) < r.
En ese caso, el ínfimo que estás calculando está obligado a ser menor o igual que r.
Pero como esto lo probarías para r arbitrario, el único número no negativo que es menor o igual que todo r positivo... es el 0.

Creo que eso estás tratando de decir, pero hay que ser más claro.
Está bien invocar el hecho de que en la bola de radio r hay puntos distintos de x.
Hay que tomar uno de esos puntos, y usarlo un ratito para probar lo que te indiqué arriba.


La prueba por reducción al absurdo procedería suponiendo que la distancia del conjunto A al punto x es positiva, digamos s > 0.
En tal caso, tomando una bola de radio s/2 (o incluso menor, si te gusta) en torno al punto x, se obtiene un abierto que necesariamente es disjunto con A, porque si no el ínfimo no sería s, sino algún número menor o igual que s/2, contra la hipótesis.
Pero entonces la bola B(x, s/2) es un entorno de x que no contiene puntos de A, y esto contradice que x es punto de adherencia de A.

Fijate si se entiende lo que dije, si no, lo escribo menos conversado y con más rigor lógico.

Saludos

30 Junio, 2010, 07:16 am
Respuesta #282

mabelmatema

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La primer parte no me queda muy clara cómo la estás probando.

Hay dos formas: directa o por absurdo.

En la forma directa, hay que tomar un número positivo r, y probar que hay un punto z del conjunto A tal que d(x, z) < r

Pregunta: hay que probarlo a esto anterior que escribiste o se cumple sólo por el hecho de ser punto de acumulación?



30 Junio, 2010, 07:23 am
Respuesta #283

mabelmatema

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respecto a lo que decís

"En ese caso, el ínfimo que estás calculando está obligado a ser menor o igual que r.
Pero como esto lo probarías para r arbitrario, el único número no negativo que es menor o igual que todo r positivo... es el 0.

Creo que eso estás tratando de decir, pero hay que ser más claro.
Está bien invocar el hecho de que en la bola de radio r hay puntos distintos de x.
Hay que tomar uno de esos puntos, y usarlo un ratito para probar lo que te indiqué arriba.

Esto quiere decir que al tomar puntos de la bola de radio r, deberia trabajarlo para indicar que es distinto de x?

ya estoy muerta de sueño, miro tus respuestas mañana y sigo
mil gracias. saludos.

30 Junio, 2010, 07:26 am
Respuesta #284

argentinator

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Y... cuando te dije "tenés que probarlo", no se trata de una prueba difícil... es casi lo mismo que decir que es un punto de "adherencia".

Pero hay que desenredar un poco la madeja desde al definición de "adherencia" hasta la conclusión d(x, A) = 0.
"Probarlo" es simplemente "escribir las definiciones" y luego "fijarse si hay que deducir alguna cosita que falte para llegar a la conclusión".

Los pasos son casi triviales, a lo mejor. Pero hay que escribirlos a todos de una manera clara.

30 Junio, 2010, 03:34 pm
Respuesta #285

mabelmatema

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a ver si pude cerrar esta cuestión
x es de acumulación de A, entonces \( B(x,1/n)\cap{}A\neq{} \emptyset\forall{}n\in{}N \)
Luego existe \( a_n\in{}B(x,1/n)/d(x,a_n)<1/n \forall{}n\in{}N \)
Luego  el \(  inf {d(x,a)/ a\in{}A}<1/n \forall{}n\in{}N \)
es decir d( {x},a) = 0

para la vuelta
d(x,a) = 0, dice que toda bola con centro en x debe contener puntos de A, o sea x es punto de acumulación de A

para la primera parte miré un poco otras cosas porque no podía darme cuenta de que detalles faltaban, lamentablemente me falta mucho escirtura simbólica y lógica, pero, bueno, se irá adquiriendo.
saludos. mabel.

30 Junio, 2010, 07:25 pm
Respuesta #286

argentinator

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Bueno, la prueba de la primer parte ya estaría "matemáticamente" correcta.
La corrección "lógica" falta pulirse, pero eso de a poco se va logrando.

Una prueba está bastante correcta, según mi opinión, cuando uno comienza "exactamente" con la hipótesis, en el medio reemplaza hipótesis por definiciones o viceversa, se encadenan hechos o resultados intermedios de una manera clara y ordenada, y se llega al último paso con la "tesis" deseada, "tal cual" se indica en el enunciado.

Porque si uno pone una conclusión "equivalente", es que al menos falta "un pasito" en la prueba.

En el último paso, está correcto que si el ínfimo es menor que 1/n, todo n, entonces tiene que dar 0.
En realidad es "solamente" \( \leq 0 \), y uno podría agregar, si es muy quisquilloso, un pasito que diga: "y además sabemos que toda distancia es no negativa, así que el ínfimo no puede ser negativo".

Para la vuelta, no veo claramente cómo lo que has dicho es una prueba "completa" de lo que querés probar.
Te doy mi versión.

(1) Partimos de la hipótesis: d(x, A) = 0.
(2) Como A es un conjunto, y no un punto, esta notación significa que:

\( 0=d(x,A)=\inf\{d(x,z):z\in A\} \)

(3) Usando una propiedad bien conocido de los supremos y los ínfimos, sabemos ahora que para cada \( n\in N \) existe algún \( a_n\in A \) tal que \( d(x,a_n)<1/n \).

(4) Consideremos, para un n fijo, la bola de centro x y radio 1/n.  Por lo visto en (3), vemos que al menos existe un punto z, digamos el \( z = a_n \), tal que \( z\in B(x,1/n) \).

(5) Por lo tanto, para todo \( n\in N \), la bola B(x,1/n) contiene algún punto de A.

Ya hemos "casi" probado que x es de adherencia de A. Nos falta un paso, que es sencillo pero importante, porque puede que un contexto más general no tengamos "tanta suerte" de que el paso (5) alcance para hablar de "adherencia".

(6) Sea U un entorno (abierto) cualquiera del punto x. Por ser entorno, existe alguna bola B con centro x tal que \( B \subset U \). Sea r > 0 el radio de la bola. Tenemos que \( B(x,r)= B\subset A \).
Como r > 0, "se sabe" (usamos acá propiedades de tipo "arquimediana" de los números) existe un número natural n tal que 0 < 1/n < r.
Entonces, juntando hechos ya probados: \( a_n\in B(x,1/n)\subset B(x,r)\subset U \).

(7) Como cada \( a_n \) es un elemento de A, lo que hemos probado en (6), en definitiva, es que todo entorno U del punto x contiene algún punto de A.

(8) La conclusión de (7) es equivalente a decir que "x es punto de adherencia de A".

 

Desde el punto de vista "lógico" estricto, me parece que la línea (8) es innecesaria.
Pero en el trabajo matemático se suelen dar enunciados con más "palabrerío", porque los matemáticos prefieren trabajar mejor con las ideas y la explicación de las cosas, y no ser tan rígido con la lógica pura.

Entonces aparecen "definiciones" que son más bien de lenguaje hablado que de lógica misma.
Decir "x es punto de adherencia si... blabla" no tiene ninguna utilidad lógica, pero sirve en un texto matemático para llevar mejor el tema.

Sin embargo, cuando insisto con el rigor lógico es porque en definitiva la lógica es nuestro último juez: en caso de duda, o de enunciado difuso o arriesgado, siempre tenemos la lógica pura y estricta para hilar fino en los pasos de la deducción, y obtener mayor certeza de lo que estamos diciendo.
O sea, al menos sabemos que hay precisión si la buscamos.



01 Julio, 2010, 03:23 pm
Respuesta #287

mabelmatema

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Hola profe: de nuevo yo con la clausura y no clausurando.


"la clausura de un conjunto es un conjunto cerrado"

1er versión:

Cl(A) = conjunto de todos los puntos adherentes de A

Si todos los puntos de un conjunto son adherentes es cerrado, luego Cl(a) es cerrado

2da. versión:

A esta incluido en cl(A) si A es cerrado, luego cl(A)= intersección de todos los conjuntos cerrados de A

Como la intersección de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado, cl(A) es un conjunto cerrado.

Seguro sé falta algo, pero no sé qué. No la veo totalmente cerrada.(jeje)
Yo sé que me vas a criticar el nulo lenguaje simbólico, pero quisiera saber si la idea está y luego "juntos" le ponemos los símbolos. ¿te parece?
saludos. mabel

01 Julio, 2010, 07:04 pm
Respuesta #288

argentinator

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02 Julio, 2010, 01:52 am
Respuesta #289

mabelmatema

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hola!
te cuento:
en los apuntes de la materia que curso en la licenciatura de CAECE dice:
El conjunto de todos los puntos de A se llama clausura de A

anteriormente:
 x es un punto adherente de A si toda bola de centro en x contiene puntos de A.
Luego sub-clasifica los puntos adherentes en aislados y de acumulación.

 no te cierra esto?
ahora lo miro en el Munkres y en el Schaumm
gracias. mabel