Autor Tema: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)

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28 Junio, 2010, 08:28 pm
Respuesta #270

argentinator

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Es más, todo punto de A está en la clausura de A.

Pero puede haber puntos del mismo A que no sean punto límite de A: se trata de los puntos "aislados".


29 Junio, 2010, 03:49 pm
Respuesta #271

mabelmatema

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Buen día
Se me atravesó el tema de los tipos de puntos y conjuntos. ( perdón si no uso el lenguaje simbólico, pero como no tengo claro el concepto sería un lío)

Voy a escribir lo que entendí hasta ahora y por favor te pido me corrijas o aclares si es necesario

1. x es interior de A si existe una bola abierta alrededor de él que esté incluida en A. El cojunto de  todos los puntos interiores de A hacen el conjunto int(A).

2. El conjunto clausura:
a) no puedo verlo como intersección  de los cerrados que incluyen a A. ¿hay puntos exteriores a A, porque puede haber un conjunto cerrado que incluya a A, pero que además no tenga elementos de A?
b) Por otro lado se define como clausura al conjunto de puntos adherentes de A y ahí viene la cosa.
Punto adherente:se lo define como: " x es adherente si toda bola de centro en x contiene puntos de A. entonces me surge el conflicto entre adeherentes e interiores, ¿Cuál sería la diferencia esencial? gracias.

29 Junio, 2010, 05:48 pm
Respuesta #272

argentinator

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Lo que veo es que estás hablando de "bolas abiertas", así que estás asumiendo que estamos en un espacio métrico.

En topología general no siempre hay "bolas".... mmmm

Así que concretemos al menos que estamos hablando de cosas más específicas: bolas en un espacio métrico.

Inclusive, hasta podríamos decir que estamos trabajando en un espacio métrico bien conocido: \( \mathbb{R}^n \).

Un conjunto A puede tener regiones muy irregulares de diverso tipo, pero si un punto x es interior, quiere decir que al menos en esa zona por donde vive el x, hay un conjunto abierto que contiene al x, o sea, es un lugar menos "inhóspito" jeje. Es bastante holgadito.

En particular hay una bola centrada en x ahí.

Bien.

En cuanto a los conjuntos cerrados, son complementos de abiertos. Claro.
Ahora nos preguntamos por todos aquellos puntos que están "cerca" de un conjunto C.
Obviamente, los mismos puntos de C están "cerca" de C.
Los puntos x "cercanos" a C que vienen de afuera de C satisfacen que hay alguna sucesión de puntos de C que se aproxima al x.
Esa es la idea en el espacio euclidiano.
Uno puede acercarse por alguna sucesión, por ejemplo, que venga desde "adentro" del conjunto C.

Sea \( \{x_n\}_n \) la sucesión. Lo que estamos diciendo es que el límite de \( x_n \) tiende a x cuando n tiende a infinito.
Ahora bien, esto quiere decir que, para todo \( \epsilon \) existe un índice N  tal que
para todo \( n \geq N \) los puntos \( x_n \) "caen" todos adentro de \( B_\epsilon (x) \).
El valor de N depende de \( \epsilon \).

Esto significa ahora que todo abierto U que contenga a x tiene asociado un índice \( N=N_U \) como antes, ya que "dentro" de U hay alguna bolita que contiene a x como centro,
y por lo tanto \( x_N\in U \).
Pero recordemos que \( x_N \) es un elemento de C.

Lo que estamos concluyendo es lo siguiente:

* Dado un abierto U que contiene al punto x, hay algún punto de C, que también pertenece a U.

Esto es equivalente a pedir que \( U\cap C\neq \emptyset \).

Pero si esto ocurre para todo entorno U de x, resulta que x es punto de aherencia de C.

La diferencia entre "adherente" e "interior" es que

* un punto x es adherente si la intersección de "toda bola" que en torno a x con el conjunto es no vacía.

* un punto x es interior si "existe una bola" completamente contenida en el conjunto.

Fijate el dibujillo:

El punto z es "adherente", porque tomo un abierto U cualquiera, dentro de él una bola de centro z, y "me conformo" con encontrar "al menos" un solo punto p que esté dentro de A.
Hay muchos otros puntitos verdes ahí, pero no me interesan. Conque haya uno, el p, me alcanza.
No hace falta que la bola B(z, r) esté contenida en A.

Para decir que el punto x es interior, tengo que encontrar una bola, la roja, tal que todos los puntos de esa bola estén contenidos dentro de A.



29 Junio, 2010, 06:09 pm
Respuesta #273

mabelmatema

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gracias por la rapidiísima respuesta
una conclusión tal vez alocada
un punto interior puede considerarse adherente también pero un adherente no puede ser nunca interior?
gracias. ahora sí puedo seguir con los otros..

29 Junio, 2010, 06:28 pm
Respuesta #274

argentinator

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Todo punto de A está en la clausura de A, trivialmente.

En particular un punto interior de A es un punto de A, y está en la clausura.


30 Junio, 2010, 05:23 am
Respuesta #275

mabelmatema

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hola profe:
bueno mando algo hecho, para ver si hay algo que correjir, agregar,etc. Pido disculpas por no seguir la ejercitación propuesta pero, voy haciendo los que tengo de la materia y luego analizaré los propuestos, creo que algunos deben ser muy similares. Lógicamente en todos casos me estoy refiriendo a que (X,d) es un espacio métrico.

la consigna " la unión de cerrados es cerrada"
LLamemos \( \begin{align*}\displaystyle A=\bigcup_{\iota \in I} N_\iota,\end{align*} \)
, donde  \( \displaystyle N_i \)  es cerrado \(  \forall{}i\in{}I \)
\(  A^c  \) = \( (\bigcup_{\iota \in I} A_\iota)^c  \)  = \( \bigcup_{\iota \in I} A_\iota ^c} \)
donde cada \(  A_i \) es abierto ya que \(  A_i \) es cerrado
luego \(  A^c  \) es abierto, ya que es la intersección de una familia de abiertos, por lo demostrado anteriormente
Entonces A es cerrado por ser el complemento de un abiero.

El mismo procedimiento se puede seguir para demostrar que la intersección de cerrados es cerrada. gracias. por la paciencia. mabel.



30 Junio, 2010, 05:30 am
Respuesta #276

argentinator

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Mmmm

Esa igualdad no es cierta.

La unión de cerrados no es necesariamente cerrada.
Por ejemplo, un punto en el plano euclidiano es cerrado, pero la unión de puntos con coordenadas racionales es un conjunto que no es cerrado, ni abierto, ni nada...

La unión de una cantidad "finita" de cerrados es cerrada.
La intersecciónde una cantidad "finita" de abiertos es abierta.

Pero uniones arbitrarias de cerrados no siempre da cerrado.

Como sólo son válidas uniones finitas, no hace falta unir sobre una familia general.
Basta tomar 2 conjuntos cerrados, unirlos, y probar que es cerrado.
Luego, por inducción, se puede probar que la unión de n cerrados es cerrado.

A propósito. ¿Qué definición de cerrado estás usando en (X, d)? ¿Complemento de algún abierto, o usando la noción de adherencia, o cómo?




30 Junio, 2010, 05:38 am
Respuesta #277

mabelmatema

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está correcta tu observación la consiga es " la unión finita de de una familia de cerrados es cerrada".
 Y si la definición de cerrado que tomo es complemento de abierto

30 Junio, 2010, 05:42 am
Respuesta #278

argentinator

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La idea es correcta, pero erraste el símbolo de la operación.
Debe haber sido un mero error de tipeo: al usar las leyes de De Morgan, hay que poner "intersección".

Y entonces el razonamiento estaría perfecto.
Es así cómo se razona, no hay duda.
Incluso, la misma prueba vale cualquier espacio topológico, no sólo métricos, porque solamente se está usando que "un cerrado es complemento de un abierto", y las leyes de De Morgan.


Saludos

30 Junio, 2010, 05:44 am
Respuesta #279

mabelmatema

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ahh bueno, muchas gracias. si fue un error de tipeo, pero tengo bien presenta la aplicación de De Morgan. siguen las gracias.
pero no termina aquí.
nos vemos.