Autor Tema: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)

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24 Junio, 2010, 06:48 pm
Respuesta #250

mabelmatema

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Ahora me quedó mucho más claro a qué se quiere llegar y los pasos: definir que es una topología del plano en funcío de los discos abiertos. gracias. mabel. vuelvo más tarde

24 Junio, 2010, 08:43 pm
Respuesta #251

argentinator

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Preguntá lo que quieras, no hay problema.

Ocurre que muchas veces "pienso en idioma lógico" y lo "escribo en castellano" o bien algo intermedio, y cuando uno elige expresiones intermedias se pierde exactitud matemática.

Me parece importante ir entrenándose en el manejo exacto de las expresiones lógicas con conjuntos, puesto que es una de las habilidades que a uno luego le dan confianza en el resto de la matemática.

Uno puede decir muchas cosas con ideas, pero al final hay que poder expresarlo con exactitud matemáticamente.

Para eso hay que tener más o menos claro que el lenguaje lógico es "restrictivo" en la manera en que permite construir enunciados o afirmaciones. Se me ocurren los siguientes criterios:

* Usar letras (latinas o griegas) para indicar variables, constantes, conjuntos, subíndices, etc, pero no para expresar "palabras".

*) Aceptar el uso de números (en toda la matemática necesitamos usar números).

*) Permitirse usar los símbolos de cuantificación \( \forall{,\exists{}} \), y los simbolos de pertenencia, inclusión, igualdad: \( \in,\subset,= \).

*) Permitirse el uso de paréntesis, y signos que indiquen operaciones o relaciones: \( (,),<,>,\cup,\setminus,\prod,\sum,\bigcup,\bigcap \).

*) Y reemplazar los "tal que" por ":", y sólo detrás de un cuantificador.

Uno tiene que tratar de expresar las relaciones matemáticas que necesita restringiéndose a esos signos del lenguaje.
Claro que también hay ciertas reglas en la manera de combianar esos símbolos, pero no creo que haga falta entrar ahora en eso, y tampoco creo que convenga...

Pero sí hay que tratar de "eliminar" la fraseología en castellano, hasta que quede algo bien escrito, con exactitud, en lenguaje lógico-matemático.

Una vez que uno se mueve con seguridad en estas expresiones, puede "relajar" la manera de hacer una exposición, reemplazando signos por palabras, a fin de hacer la lectura menos accidentada, más suave, más placentera, en fin.

Pero no es posible explicar matemática en "castellano" (en prosa) si no se tiene un manejo exacto del costado "lógico estricto".

Saludos

25 Junio, 2010, 05:33 am
Respuesta #252

mabelmatema

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hola arentinator: muy buenas tus sugerencias, tenes toda la razón. Sucede que hasta ahora me manejé en el nivel secundario y terciario (análisis de sistemas) y te diré que ambos ambientes, hay que traducir tanto que se pierde toda la simbología, sería muy bueno que desde la primaria se trabajara con la simbología más simple para luego acostumbrarlos, de otra forma es muy difícil y uno termina escribiendo cualquier cosa, es decir mezcla de símbolos y palabras y aún así, piden expliquelo en facil.
bueno, mañana seguimos con la topología n-dimensional. gracias. saludos

25 Junio, 2010, 05:37 am
Respuesta #253

argentinator

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25 Junio, 2010, 11:49 pm
Respuesta #254

mabelmatema

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hola profe: de nuevo y ahora sí empieza el baile: ( para mí), aplicar lo leído:
 A ver si me  podés orientar en esto:
El ejercicio en cuestión dice:( ejercitación de la materia que curso)
Probar que en un espacio métrico (X;d)
a) X y \( \emptyset \) son abiertos
b) la unión de una familia de abiertos es abierto
la intersección de una familia finita de abiertos es abierto
En el ejercicio siguiente dice lo mismo pero para cerrados
La verdad es que no sé como empezar lo que tengo claro es que \( \emptyset \) es tanto abierto como cerrado, pero X, ( que vendría siendo el plano, espacio, o la n-dimensión) también es abierto y cerrado? o abierto solamente?
espero tu respuesta y sigo resolviendo ejercicios, y se vendrá otra catarata de dudas.


Perdón pero creo que aunque no me queda muy clara la parte posterior creo que está en el apunto, lo veo y consulto
gracias

26 Junio, 2010, 12:59 am
Respuesta #255

mabelmatema

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Bueno, aquí voy empezando a aclararme algunas cosas, en tu explicación anterior, lo que entiendo es como definis una familia de conjuntos \( \tau \)  que luego probarás, demostrando los 4 axiomas que es una topología, ¿ Hasta ahí bien?
Es lo mismo que me piden en el ejercicio a mí, pero sin la definición que has hecho de \( \tau \) 
Pregunta:
¿Porqué definiste así
\( \tau=\{A:A\textsf{\ es un subconjunto del plano tal que es unión de discos abiertos \ }\} \)
por conveniencia para demsotración posterior de axiomas 3 y 4?
Si no defino así \( \tau \) y digo simplemente X sin aclarar que son los conjuntos abiertos?
se entiende la pregunta?, perdón si es para crispar, pero me parece fundamental tenerlo claro ahora para poder seguir con los contenidos siguientes. gracias por tu paciencia, desde ya. mabel



26 Junio, 2010, 04:08 am
Respuesta #256

argentinator

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No, con el X solamente no sirve para definir una topología.

X es sólo un conjunto, y una topología es un conjunto sobre el cual se "toma en consideración" una "estructura".

Un error muy común es pensar que un conjunto ya tiene su propia estructura.
Eso pasa porque estamos acostumbrados a trabajar con operaciones dentro del conjunto, y no nos damos cuenta de que el conjunto y la estructura están separados (desde el punto de vista de la teoría de conjuntos), y que luego se han juntado como un todo.

Por ejemplo, cuando trabajamos con los números enteros, estamos acostumbrados a trabajar con la suma, resta y producto de dichos números.
Y entonces hablamos del "conjunto" Z de los números enteros y sus propiedades.
En realidad esto está mal dicho, mal expresado, porque los elementos de un conjunto no tienen orden interno, ni estructura. Son solamente una colección de objetos.

De un conjunto sólo puede saberse su "cardinalidad", y claro está, los elementos que le pertenecen.

Así que Z, como conjunto, es sólo un conjunto infinito numerable, y nada más puede saberse de él.
Para poder hacer operaciones, hay que dotarlo de estructura, y esto significa que a cada elemento de Z se lo distingue de los otros por medio de una estructura que dice qué operaciones se pueden hacer con ellos.

Por eso yo siempre hablo del "sistema de números enteros" y no del "conjunto de números enteros", porque pienso que eso induce a confusión.
El "sistema" de números enteros es una lista (Z, +, ., <, 0, 1), formada por un conjunto Z, es cierto, pero también unas operaciones + y . (suma y producto), una relación de orden < definida en Z, y también unos elementos 0 y 1 que se distinguen por tener propiedades especiales (son neutros respecto las operaciones + y .).

La suma es ahora una "función" de dos variables, cuyo dominio es el producto cartesiano Z x Z, y cuya imagen es Z mismo.
Lo mismo para el producto.
Ambas operaciones se relacionan con el orden < satisfaciendo ciertas propiedades.
Y un largo etcétera.

Con espacios métricos pasa lo mismo.
Un conjunto "pelado" X no tiene estructura ni propiedades, salvo una lista de elementos, y un cardinal.
La estructura hay que "imponérsela" desde afuera, nosotros le decimos a los elementos del conjunto X cómo tienen que comportarse y relacionarse entre sí.

Por eso, un espacio topológico necesita de un par \( (X, \tau) \), tal que X es un conjunto dado, y \( \tau \) es una familia de subconjuntos del mismo X que cumplen los Äxiomas de una "topología".

Si tengo solamente X... ¿cómo voy a hacer para "adivinar" cuáles son los abiertos, los cerrados, etc?



Me parece bien que preguntes estas cosas.
Yo las escribo naturalmente creyendo que se entienden, pero el formalismo matemático seguramente requiere explicación.
La clave está en que si vas a demostrar propiedades de algo, o calcular algo, necesitás que los objetos o cosas de las que hablás tienen que estar definidas o construidas en alguna parte.



Cuando uno estudia topología general, "asume" que tiene una familia de conjuntos "abiertos".
Pero en la práctica, te dan una familia de conjuntos y tenés que probar que realmente cumple con los axiomas de topología.
Una vez hecho esto, podés decir que los conjuntos son abiertos... pero claro, sólo respecto a esa topología.

Y acá es cuando surge otra cuestión que no permite especificar el X solito: en un mismo conjunto X se puden definir muchas topologías distintas, y por eso hay que especificar claramente las dos cosas: el conjunto X y la familia \( \tau \).



En cuanto a los 10 pasos que dí antes... no he demostrado nada.
Solamente te "mostré" 10 o 12 formas distintas de escribir lo mismo.
Lo único que hice fue pasar de una forma "conversada" a un formato más "técnico", lógico, formal.

La "idea" es que estamos definiendo una topología en el plano a partir de discos abiertos, y entonces decimios, "informalmente" que un abierto será una "unión de discos abiertos".

Para decirlo con mayor exactitud es que vamos puliendo el lenguaje hablado hasta llegar a los cuantificadores  y los signos de conjuntos, etc.

Para demostrar que X es un "elemento de la topología" en (X, d), lo que hacemos es escribirlo como una "unión de bolas abiertas" (si es que estamos en un espacio métrico cualquiera).
Eso es todo lo que queremos, pero bueno, lo hacemos paso a paso, buscando bolas definidas con la distancia d que nos den la métrica.





En cuanto a las cosas que yo fui escribiendo por ahí, el "X" es un espacio que comienza siendo un plano.
Lo que hago es construir una topología en el plano, en base a discos abiertos.
Después lo que hago es tratar de cambiar la "intuición geométrica" al espacio 3-dimensional, y luego al n-dimensional.
Lo único que hago es "cambiar la notación" y el "palabrerío", pero las demostraciones son las mismas.

Y por eso estoy insistiendo siempre con cambios de notación.
A lo mejor te he confudido porque hago lo mismo más de una vez posiblemente, pero eso es sólo para mostrar que "lo mismo" se dice de modo "diferente", y al hacerlo así "se adapta" la demostración o la construcción a "espacios geométricos" más generales.

O sea, la misma demostración vale en contextos más generales que el n-espacio euclidiano.
Puede ser un espacio métrico cualquiera (X, d) (siempre que hablemos de bolas).

En la recta numérica real la topología se genera con "intervalos". Los intervalos son como "bolas" o "discos" degenerados, porque tienen una sola dimensión... pero lo interesante es que la recta está ordenada, y entonces la misma topología puede "mirarse" con una idea distinta a la de una "métrica", y aprovechar el concepto de "orden", generalizando a "topologías de orden" en cualquier conjunto ordenado.

Generalizaciones puede haberlas de varias formas, y en varias direcciones. La topología permite estudiarlas a todas de modo muy general.

Espero esto aclare tus dudas.

Si no entendí tus preguntas, decime.

Saludos

26 Junio, 2010, 06:58 am
Respuesta #257

mabelmatema

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Hola profe, de nuevo golpeando la puerta
A ver, clarísimos tus conceptos, pero la verdad es que no encuadran en lo que tengo de teoría, que no sé por que la veo más simple.

" Una  colección T de subconjuntos de X se dirá que es una topologÌa sobre X si:
 Xes uno de los elementos de esa colección,
si \( \emptyset \)  es un elemento de la colección,
si la unión de elementos de la colección da como resultado un elemento de la colección
y si la intersección finita de elementos de la colección también es un elemento de
la  colección."

Hasta ahí todo va igual, mi duda aparece cuando se dice
 
A  los  elementos  de  la  colección  T  se  les  denomina  abiertos  de  la
topologÌa T, y al par (X,T) se le denomina espacio topológico.

En este caso T vendría a ser \( \displaystyle \tau \)
pero no se lo define como unión de abiertos, entonces

Cuando se pide probar que (X,d) es un espacio métrico
para probar que X es abierto, simplemente se puede decir
\(  \forall{ \) x \( \in{} \) X y \( \forall{} \)delta\( \geq{} \) o B(x,detla)\( \subset{} \)X

Es decir se libera de todo lo que incluis vos como unión de abiertos, que no es que no lo comprenda sólo quiero saber si son equivalentes . gracias. mabel.








 

26 Junio, 2010, 07:20 am
Respuesta #258

argentinator

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En cuanto a demostrar que X es abierto, depende de la definición de abierto que se use.

* Si abierto significa: "ser unión de discos sin borde", entonces hay que demostrar que vale esta igualdad de conjuntos:

\( X=\bigcup_{x\in X} B(x,r_x) \)

en donde \( r_x \) es algún número positivo que depende de cada x, pero no importa mucho, ya que se trata de un caso sencillo.

* Si abierto significa "tener un disco centrado en cada punto del conjunto", entonces hay que demostrar que en cada punto x del conjunto X existe una bola B(x, r) incluida totalmente en X (aquí el radio r dependería del punto x).

Esto último es lo que vos hiciste.

Puede ser que haya complicado las cosas en algún lugar.
No sé qué razones habré tenido.
A lo mejor quería resaltar alguna idea geométrica, quién sabe.  :)

Ya no recuerdo.
Pero bueno, teneme paciencia. Ese texto que puse es introductorio al capítulo 2.
Algunas cosas te van a resultar demasiado pesadas, otras fáciles, y otras quizá incomprensibles, jeje.

Igual tus comentarios son bienvenidos.
Gracias por leer tan minuciosamente. Eso me ayudará a mejorar el texto.

En la lista de ejemplos he dejado hacia al final algunos huecos sin llenar, porque quise acelerar los temas de teoría, y seguí adelante con el libro.
Pero todo es mejorable.

Saludos

26 Junio, 2010, 07:27 am
Respuesta #259

mabelmatema

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muchísimas gracias, de todos modos tranquilo, yo entendí lo rebuscado de tu anotación, sino que vi la otra y me parecio más simple, pero vlae
ahora seguiré con las demostraciones de los otros axiomas, pero mañana. saludos.