Autor Tema: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)

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22 Junio, 2010, 06:12 am
Respuesta #240

mabelmatema

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hola: Vuelta la pelota al patio y volverá varias veces estos días.
pregunta en la definición de discon sin borde se expresa
\( \begin{align*}\displaystyle   B_r(P) := \{Q\in X:|Q-P|< r\}.\end{align*} \)
el X que se indica además de aclarar posteriormente que es el plano euclideo, es un espacio topolgógico o simplemente el plano?

Otra pregunta no referida a consulta específica, sino que veo has desarrollado hasta el capítulo 2 dle Munkres, y realmente exepcional tu desarrollo más aclaratorio que del libro mismo, pensas seguir con los otros capítulos? De todos modos seguiré con el Munkres en mano, preguntandote lo que no pueda desarrollar o no me quede claro, puede ser? gracias. mabel.

22 Junio, 2010, 05:49 pm
Respuesta #241

argentinator

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Hola.

Me frené en el capítulo 2 por problemas de mala suerte con la computación, básicamente
No puedo trabajar con la misma comodidad de antes...
Estoy de a poco tratando de arreglar las cosas.
Además quiero agregar más material gráfico, que creo que hace mucha falta, y a veces me las arreglo, pero a veces no.

Sin embargo, podés preguntarme igual sobre las secciones que faltan, no hay problema.

En cuanto al "X" y los discos, es el plano euclidiano, ya que la palabra "disco" se usa en el plano, y la palabra "bola" es el término general en espacios más generales.
Luego fui generalizando de a poco, hasta lograr la mayor abstracción posible.

Saludos

24 Junio, 2010, 03:35 pm
Respuesta #242

mabelmatema

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hola nuevamente, pregunta que puede parecer obvia, pero quiero asegurarme
referido a los discos. el borde se define
\( \begin{align*}\displaystyle   B_r(P) := \{Q\in X:|Q-P|= r\}.\end{align*} \)
¿?
Aparte, me parece muy bien lo de las gráficas, nos aclara a todos muchísimo, ya que esta materia es tan abstracta, que tus dibujos, por lo menos a mí me están sirviendo de mucho. gracias. mabel.

24 Junio, 2010, 03:59 pm
Respuesta #243

argentinator

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El borde...

Bueno, en el plano clásico de la geometría euclidiana, el borde del disco se define tal como lo has escrito.

Pero en topología se usa otra definición de "borde", que en realidad se llama "frontera", y se aplica a cualquier conjunto, no necesariamente discos o cosas similares.

Cuando hacemos topología del plano, usando a los discos abiertos como base, resulta que la "frontera" del disco coincide con el conjunto de "borde" que definiste.

Pero ese tipo de cosas hay que demostrarlas.
Cuando vayas por conjuntos "cerrados" o "puntos límite", podemos echar una ojeada de nuevo a este asunto.

Saludos

24 Junio, 2010, 04:18 pm
Respuesta #244

mabelmatema

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va otra más, perdón por lo desprolijo de las consultas, pero aparecen mientras voy leyendo el material.
Esta expresión:
\( \begin{align*}\displaystyle \tau &=\Big\{A\subset X|\\   &\qquad\qquad A=\emptyset\textsf{\ ó bien\ }\\   &\qquad\qquad\qquad \exists \{N_{\iota }\}_{\iota \in I}:      A=\bigcup_{\iota\in I}N_\iota\textsf{\ \ y\ \ } N_\iota = B_{r_{\iota }}(P_\iota),              \textsf{\ para ciertos\ }    P_\iota\in X, r_\iota>0 \Big\}\end{align*} \)

sería en síntesis la forma de definir la unión de discos sin borde ? o soy muy simple en el razonamiento?
gracias. mabel

24 Junio, 2010, 04:20 pm
Respuesta #245

mabelmatema

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hola:
bueno justamente mi pregunta del borde se refería a la continuidad y uso posterior para la frontera y demás, pero espero y cuando llegue a ese punto te consulto. mabel

24 Junio, 2010, 05:03 pm
Respuesta #246

argentinator

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va otra más, perdón por lo desprolijo de las consultas, pero aparecen mientras voy leyendo el material.
Esta expresión:
\( \begin{align*}\displaystyle \tau &=\Big\{A\subset X|\\   &\qquad\qquad A=\emptyset\textsf{\ ó bien\ }\\   &\qquad\qquad\qquad \exists \{N_{\iota }\}_{\iota \in I}:      A=\bigcup_{\iota\in I}N_\iota\textsf{\ \ y\ \ } N_\iota = B_{r_{\iota }}(P_\iota),              \textsf{\ para ciertos\ }    P_\iota\in X, r_\iota>0 \Big\}\end{align*} \)

sería en síntesis la forma de definir la unión de discos sin borde ? o soy muy simple en el razonamiento?
gracias. mabel

Un conjunto se definirá abierto si es unión de "alguna" familia de discos sin borde.
Una familia de discos sin borde se puede describir como una familia de conjuntos \( \{N_{\iota }\}_{\iota \in I} \) tal que cada uno de los elementos \( N_\iota \) es un disco abierto.
La familia \( \tau \) de todos estos "abiertos" así considerados es lo que tomamos como topología del plano.

Lo que he hecho con esa expresión es escribir las cosas de una manera menos "charlada".
Creo que he estado buscando "traducir" de a poco entre la forma "charlada" y la manera "formal exacta", o sea, la escritura "lógica correcta" de lo que estamos diciendo.

Vayamos traduciendo:

(1) La topología del plano euclidiano es la colección \( \tau \) de todos los conjuntos \( A \) que son uniones de discos abiertos. Las uniones pueden ser finitas o infinitas, o sea, arbitrarias, sin restricción.

(2) La topología \( \tau \) del plano se define como:

\( \tau=\{A:A\textsf{\ es un subconjunto del plano tal que es unión de discos abiertos \ }\} \)

(3) La topología \( \tau \) en \( X \) se define por:

\( \tau=\{A|A\subset X:A\textsf{\ es unión de discos abiertos \ }\} \)

(4) La topología \( \tau \) en \( X \) se define por:

\( \tau=\{A\subset X|\textsf{\ hay una colección de discos abiertos cuya unión es \ }A\} \)

(5) La topología \( \tau \) en \( X \) se define por:

\( \tau=\{A\subset X|\textsf{\ hay una colección de discos abiertos, digamos\ }\{N_\iota\}_{\iota},\textsf{\ tal que\ }A=\bigcup_{\iota}N_\iota\}. \)

Comentario: para no hacer engorrosa la escritura, no he puesto el conjunto de índices en el que varía \( \iota \), pero el detalle es importante, porque el conjunto de índices depende de cada conjunto \( A \).
Esto se puede arreglar simplificando la notación, y usando la forma de "operador" que vimos unos posts atrás.
En vez de hablar de una familia \( \{N_\iota\}_\iota \), que dependen de un conjunto de índices \( \iota \), podríamos simplemente hablar de una cierta familia de bolas \( \mathcal B_A \), que depende de A, y tal que la unión de los elementos de \( \mathcal B_A \) es A.
(\( A=\bigcup \mathcal B_A \)).

Pero dejo la notación de índices para que "se entienda un poco mejor" intuitivamente.
Estamos más acostumbrados a unir conjuntos "de a uno", y los subíndices nos hacen creer que estamos haciendo más o menos lo mismo, jeje.

(6) La topología \( \tau \) en \( X \) se define por:

\( \tau=\{A\subset X|\textsf{\ hay una colección de conjuntos, digamos\ }\{N_\iota\}_{\iota},\textsf{\ tal que cada \ }N_\iota\textsf{\ es un disco abierto y tal que \ }A=\bigcup_{\iota}N_\iota\}. \)

(7) La topología \( \tau \) en \( X \) se define por:

\(
\begin{align*}
\tau=\{A\subset X|&\\
&\textsf{\ hay una colección de conjuntos, digamos\ }\{N_\iota\}_{\iota},\\
&\qquad\textsf{\ tal que \bf para todo índice\ }\iota: N_\iota\textsf{\ es un disco abierto y tal que \ }A=\bigcup_{\iota}N_\iota\}
\end{align*}
 \)

(8) La topología \( \tau \) en \( X \) se define por:

\(
\begin{align*}
\tau=\{A\subset X|&\\
&\textsf{\ hay una colección de conjuntos, digamos\ }\{N_\iota\}_{\iota},\\
&\qquad\textsf{\ tal que\ }\forall{\iota}:N_\iota=B_{r_\iota}(P_\iota)\textsf{\ para algún punto \ }P_\iota,\textsf{\ y algún radio (número positivo)\ }r_\iota,\textsf{\ de manera que\  }A=\bigcup_{\iota}N_\iota\}
\end{align*}
 \)

(9) La topología \( \tau \) en \( X \) se define por:

\(
\begin{align*}
\tau=\{A\subset X|&\\
&\textsf{\ hay una colección\ }\{N_\iota\}_{\iota},\\
&\qquad\textsf{\ tal que \ }\forall{\iota:}N_\iota=B_{r_\iota}(P_\iota)\textsf{\ para ciertos\ }P_\iota\in X,r_\iota>0,\textsf{\ de manera que\  }A=\bigcup_{\iota}N_\iota\}
\end{align*}
 \)

(10) La topología \( \tau \) en \( X \) se define por:

\(
\begin{align*}
\tau=\{A\subset X|&\\
&\textsf{\ existe\ }\{N_\iota\}_{\iota},\\
&\qquad\textsf{\ tal que \ }\forall{\iota:}N_\iota=B_{r_\iota}(P_\iota)\textsf{\ siendo\ }P_\iota\in X,r_\iota>0,\textsf{\ de manera que\  }A=\bigcup_{\iota}N_\iota\}
\end{align*}
 \)


(11) La topología \( \tau \) en \( X \) se define por:

\(
\begin{align*}
\tau=\{A\subset X|&\\
&\exists\{N_\iota\}_{\iota},
&\qquad\textsf{\ tal que \ }\forall{\iota}: N_\iota=B_{r_\iota}(P_\iota)\textsf{\ siendo\ }P_\iota\in X,r_\iota>0,\textsf{\ tal que\  }A=\bigcup_{\iota}N_\iota\}
\end{align*}
 \)


La clave en todo esto es que quise mantener explícitamente todo el tiempo que los conjuntos A de la familia son uniones de bolas, porque si no, uno puede simplificar la escritura, haciendo un paso más:

(12) La topología \( \tau \) en \( X \) se define por:

\(
\begin{align*}
\tau=\{A\subset X|&\\
&\exists\{P_\iota\}_{\iota}\subset X,\{r_\iota\}_{\iota}\subset (0,\infty):
A=\bigcup_{\iota}B{r_\iota}(P_\iota)\}
\end{align*}
 \)

24 Junio, 2010, 05:18 pm
Respuesta #247

argentinator

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En el post anterior estuve escribiendo "disco abierto" cuando quería decir "disco sin borde".

Espero que se entienda. En realidad el término "disco sin borde" no se usa, y lo he empleado yo para explicar mejor la geometría específica del plano.
Pero la costumbre me ha llevado a escribir "disco abierto" en todas partes.

Si no se entiende, lo arreglo.

24 Junio, 2010, 05:26 pm
Respuesta #248

argentinator

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En los pasos del (7) en adelante me olvidé de "traducir" la palabra "cada" por "para todo", que luego se convierte en el cuantificador universal \( \forall{} \).

Así que ahora lo arreglé, y te ruego que lo vuelvas a mirar a esos pasos para ver cómo quedó.

24 Junio, 2010, 06:36 pm
Respuesta #249

mabelmatema

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gracias, ya lo imprimí, lo leo con detenimiento y te consulto cualquier cosa. como verás no te librás de mí fácilmente. :)