Autor Tema: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)

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12 Junio, 2010, 06:57 am
Respuesta #230

argentinator

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Gracias por la aclaración.

También se puede decir "contable" para decir que un conjunto puede ser "finito" o "infinito numerable", y dejar la palabra "numerable" para el cardinal.

Pero esto contradice el significado de "numerable" que pone enloalto.

Así que... a sufrir con las ambigüedades, como siempre.

Buenas noches... y que sueñen con los "infinitos"...


14 Junio, 2010, 05:59 am
Respuesta #231

jvm78

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Argentinator,
Estoy mirando los ejercicios de la capítulo 2 ej.16.8 que habla de en cada caso es una topología familiar, a que se refiere con eso?
Supongo que debe ser algunas de las ya nombradas, pero como las distingo para cada caso?
Debería de encararlo como la topología producto y ver el L  como un subespacio que hereda de esas topologías familiares.
gracias

14 Junio, 2010, 06:13 am
Respuesta #232

argentinator

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Bueno, sinceramente cuando hice ese ejercicio tuve las mismas dudas.


Lo que hice fue, simplemente, ponerme a ver cuáles eran las topologías que se obtenían en cada caso, y enumerarlas.

Ya hemos discutido este ejercicio con enloalto, acá te repito lo que hemos hablado, por si te sirve.
Si no, preguntá de nuevo.
Deseaba hacer unos dibujos para ver las distintas situaciones, pero siempre está el verdugo tiempo.
Podrías intentar dibujar y ver si te aclara las ideas.

Ejercicio 16.8. Si \( L \) es una recta en el plano, describa la topología que \( L \) hereda como subespacio de \( \mathbb{R}_l\times{\mathbb{R}} \) y como subespacio de \( \mathbb{R}_l\times{\mathbb{R}_l} \). En ambos casos se trata de una topología conocida.

Solución.

No la he resuelto, pero pongo mi intento. Tengo problemas en definir a L, la que se me ocurre es
\( L=\{(x,y)\in{\mathbb{R}^2}|y=mx+n\mbox{, m y n números reales}\} \).
Para estudiar la topología, voy a ver que sucede con la base.

Sea \( U \) un elemento básico de la base del subespacio que L hereda de \( \mathbb{R}_l\times{\mathbb{R}} \), entonces existen \( [a,b)\in{B_{\mathbb{R}_l}} \) y \( (c,d)\in{B_{\mathbb{R}}} \) tal que
\( U=L\cap{([a,b)\times{(c,d)})} \)
Entonces, si \( (w,z)\in{U} \), se tiene que
\( z=mw+n \) y \( a\leq{w}<b \) y \( c<z<d \), de aquí

Aca tendría que estudiar dos casos:
1) \( m>0 \)
entonces \( ma+n\leq{mw+n}<mb+n\Rightarrow{ma+n\leq{z}<mb+n} \) y \( c<z<d \).
Es decir \( z\in{[ma+n,mb+n)\cap{(c,d)}} \).
Ahi me quedo  :banghead: :banghead:




En los ejercicios donde hay "planos", "rectas" y cosas por el estilo, incluso tambien "intervalos" y "rayos", es siempre buena idea hacer el dibujo y tratar de comprender la situación geométrica.

¿Qué aspecto tiene un elemento típico de la base en la topología de \( L \)?

Claro que hay que separar en casos...
Sin embargo, toda recta \( L \) en el plano tiene un orden estándar.
Esto es típico de la geometría plana.

Estableciendo el orden "natural" de la recta \( L \), se puede definir allí la topología de los intervalos semiabiertos por la izquierda, y denotamos con \( L_\ell \) a la recta cuando la miramos con esa topología.

Ahora te pregunto si al considerar \( L \) como subespacio de \( \mathbb{R}_\ell\times \mathbb R \) tiene la topología de \( L_\ell \).

Para trabajar con comodidad, hay que probar que la intersección de dos intervalos da otro intervalo, y conviene tener claro qué tipo de intervalo da en cada caso (abierto, semiabierto, etc.).

Una vez probado eso, la traducción de la geometría a la forma analítica es casi directa.
Aunque se dan varios casos distintos, según como se efectúen las "intersecciones" con distintos elementos de la base de \( \mathbb{R}_\ell\times\mathbb{R} \)

Consideremos primero una recta con pendiente positiva.

La base de la topología de subespacio de \( \mathbb{R}_\ell\times\mathbb{R} \) contiene a todos los elementos de la topología de \( L_\ell \).
También contiene a los "intervalos abiertos" de \( L \) con su "orden natural". Pero estos conjuntos ya son "abiertos" en \( L_\ell \), así que no estamos agregando nada a la topología, aunque sí que la "base" subespacio obtenido es mayor...

¿Hay otros elementos posibles en la base de subespacio para L?
Hay 4 casos tipicos posibles, y la respuesta sería, según veo, que no.
(Se puede disentir, claro está!!! ...)

Así que la topología sería la de \( L_\ell \), aunque la base obtenida sea mayor.

El conjunto vacío pertenece también a la base en este caso.

------------------------------------------------------------------------------------

Supongamos ahora que \( L \) tiene pendiente nula, o sea, \( L \) es horizontal.
La situación que se obtiene es similar al caso anterior, salvo que la base es la misma que la  \( L_\ell \), aunque con el agregado del conjunto vacío.

Así que obtenemos otra vez \( L_\ell \).

------------------------------------------------------------------------------

Si la recta \( L \) es vertical, se obtiene la base de segmentos "abiertos", o sea, "sin extremos". Esto nos daría la "topología del orden" de la recta L, que difiere claro está de \( L_\ell \).


--------------------------------------------------------------------------------

El último caso a analizar es el de las rectas de pendiente negativa.

La situación es la misma que para las pendientes positivas, aunque con algunas salvedades en el camino.
Por ejemplo, con el orden natural respecto a la orientación del eje x, la recta \( L \) puede considerarse como ordenada "al revés".
Además, la prueba no es exactamente igual, porque los "bordes" de \( R_\ell \) quedan del lado izquierdo siempre, mientras que la inclinación de las rectas ha quedado ahora para el lado opuesto.

Así que podríamos decir que la topología es la de \( L_\ell \), pero teniendo cuidado de decir en qué sentido se toma el orden en \( L \).



-----------------------------------------------------------------------------------------------------

Ahora pasemos a las rectas \( L \) como subespacios de \( \mathbb{R}_\ell\times\mathbb{R}_\ell \).

Para las rectas \( L \) de pendiente vertical se obtiene de nuevo \( L_\ell \).

Cuando la recta \( L \) es horizontal, se obtiene de nuevo \( L_\ell \).

Cuando la recta \( L \) es vertical, ahora la cosa cambia, y se obtiene \( L_\ell \).

Finalmente, cuando la recta \( L \) tiene pendiente negativa, se obtiene la topología discreta de \( L \).
¿Por qué? Bastaría probar que cada punto en L es abierto.

¿Y por qué en el resto del ejercicio no se obtuvo la topología discreta?


-------------------------------------------------------------------------------------------

Lo que no entiendo del ejercicio es por qué dice que lo que se obtiene es una "topología familiar". No sé a qué se refiere.

La cuestión es que si uno le da a la recta \( L \) un sistema de coordenadas, olvidándose de su descripción inicial con coordenadas \( (x,y) \), lo que se obtiene es que \( L \) es ahora "lo mismo" que el sistema de números reales \( \mathbb{R} \), y las topologías obtenidas han sido: \( \mathbb{R}_\ell,\mathbb{R},\mathbb{R}_d \), según los casos.

O sea, 3 de las topologías más familiares.

Esto está bien justificado, si consideramos un isomorfismo algebraico entre el sistema \( \mathbb{R} \) de números reales y los puntos de la recta \( L \), dados en la forma analítica siguiente (que además sirve de isomorfismo): \( t\to (t,mt+b) \), por ejemplo.

Hasta ahora no hemos visto isomorfismos topológicos,
pero lo que estamos describiendo es tan sólo un isomorfismo algebraico,
y sólo cuenta la interacción entre \( \mathbb{R}\times\mathbb{R} \) y \( L \) con su sistema de coordenadas.

Y además, cuando hablamos de \( \mathbb{R} \), nos estamos refiriendo a "cualquier conjunto que satisfaga los axiomas de los números reales".
Fijate que en la sección 4 se dan a los reales sólo como axiomas, y todas las propiedades de los reales son aplicables a cualquier sistema algebraico que verifique esos axiomas.

Parametrizando las rectas en un espacio vectorial, mediante la manera usual del álgebra lineal básica, se obtiene un sistema coordenado sobre dicha recta que satisface los axiomas de números reales, y es isomorfo a cualquier cosa que consideremos como \( \mathbb{R} \).

Ese es el sentido del álgebra lineal, que en cualquier espacio vectorial hay líneas rectas y nociones de paralelismo (suma vectorial).
Hagamos la salvedad de que, si bien una recta en un espacio vectorial cualquiera tiene una topología idéntica a los reales, si así se desea, esto no quiere decir que el espacio completo esté dotado de alguna topología adecuada.



-------------------------------------------

No vislumbro otro sentido de la palabra "familiar" en el enunciado del ejercicio.
Salvo que me esté saltando algún detalle importante.
¿Qué pensás de todo esto?
Antes de pensar cualquier cosa, hay que dibujar, jeje...  ;)

¡Con ejercicios de productos cartesianos siempre hay que dibujar!

Saludos


14 Junio, 2010, 06:17 am
Respuesta #233

argentinator

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Mensaje para enloalto: Ahora veo lo útil de tu plan de poner los ejercicios resueltos en un "solucionario".
Evita que se repitan los mensajes como el anterior.

Por un lado, lo malo de un solucionario es que al haber una solución a un problema, pareciera que es la única posible, y mata el espíritu de búsqueda de alternativas, o el desafío de hacer por primera vez un ejercicio.
Pero muchos ejercicios se hacen "de una sola manera", y es tedioso repetirlo todo.


21 Junio, 2010, 10:52 pm
Respuesta #234

mabelmatema

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Hola profe:
referida a la unión de conjuntos, en 2 partes figuran expresiones que me son un poco raraas y quería saber si son equivalentes
1. en la introducción que hace inidca referido a la unidón de familia de conjuntos algo así
\( \bigcup_{\iota \in I} A_\iota := \{x:\exists{\iota \in I}(x\in A_\iota )\} \)
 
esto va clarísimo, pero
2.En la síntesis del Munkres,
\( \displaystyle \bigcup_{A\in\mathcal B}A=\{x|\exists{A\in\mathcal B}:x\in A\} \)

???
en ese caso quién es B? la familia de conjuntos?
NO me queda clara la diferencia entre familia de conjuntos y las uniones generalizadas entre conjuntos. Podrías aclararme un poco más? gracias. mabel

21 Junio, 2010, 11:24 pm
Respuesta #235

argentinator

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Hay que reflexionar un rato acerca de los "conjuntos de conjuntos".

Son conjuntos que tienen como elementos a su vez a otros conjuntos.

Una "familia de conjuntos" es exactamente eso: un conjunto de conjuntos, nada ha cambiado.
Sin embargo, lo que suele hacerse es indicar una función \( \gamma \) que parte desde cierto conjunto de índices, digamos I, y "cae" en la familia de conjuntos \( \mathcal B \).
Así que, para cada \( i\in I \), tenemos un elemento \( \gamma(i) \) de la familia \( \mathcal B \).

Pero cuando se trata de familias de conjuntos solemos olvidarnos de toda esta descripción funcional, y en vez de escribir algo como \( \gamma(i) \) preferimos algo más breve como \( A_i \), donde \( A_i=\gamma(i) \).

Luego, la unión de la familia \( \mathcal B \) es lo que vos ya entendés perfectamente: \( \bigcup_{i\in I}A_i \).

Bueno, pero eso no es necesario.
A uno lo que le interesa es simplemente la "unión de todos los conjuntos que están en \( \mathcal B \)".

¿Qué significa esto para la familia? Quiere decir que un elemento \( x \) está en la unión \( \bigcup_{i\in I}A_i \) si, y solamente si, existe algún valor del índice \( i \) tal que \( x\in A_i \).

Bueno, pero ¿no quiere decir esto que \( x \) está en la unión si y solamente si existe un elemento \( A \) del conjunto \( \mathcal B \) tal que \( x\in A \)? ¿No son afirmaciones equivalentes?

Bien, pues eso es lo que significa el símbolo de "unión", es un operador que se traduce por "existe", en el sentido que expliqué párrafos arriba.

Creo que haciendo esa analogía entre

* "operador de unión generalizada" ----> "cuantificador existencial"   (\( \bigcup\longrightarrow{\exists{}} \))
* "operador de intersección generalizada" ----> "cuantificador universal" (\( \bigcap\longrightarrow{\forall{}} \))

se puede ayudar a la mente a captar bien y mejor lo que se está haciendo.

O sea, las uniones e intersecciones generalizadas son, en realidad, "abreviaturas" de ciertas afirmaciones de la teoría de conjuntos que usan cuantificadores. El paralelismo de ideas es correctamente aplicado.




Otra forma de entender que ambas notaciones son lo mismo, consiste en pensar simplemente que todo conjunto de conjuntos \( \mathcal B \) puede describirse como una "familia subindicada" usando \( I=\mathcal B \) como conjunto de subíndices!!!

O sea, a la familia misma la usamos como índices, y elegimos \( B_A=A \) para todo elemento A de \( \mathcal B \).
En ese caso, tendríamos claro está:

\( \bigcup_{A\in I} B_A \)

Pero como \( B_A=A \), es lo mismo que poner:

\( \bigcup_{A\in I} A \)

Pero además, como \( I=\mathcal B \), es lo mismo que poner:

\( \bigcup_{A\in\mathcal B} A \)



Lo importante es darse cuenta que "cualquier conjunto" puede usarse como conjunto I de índices.

Hay incluso otra notación de operador generalizado, que no usa subíndices:

\( \bigcup \mathcal B \) significa: la unión de todos los conjuntos que son elementos de \( \mathcal B \)
\( \bigcap \mathcal B \) significa: la intersección de todos los conjuntos que son elementos de \( \mathcal B \)

Esa notación no se confunde con las anteriores, porque no hay subíndices afectando a los operadores de unión o intersección.

Saludos

22 Junio, 2010, 01:32 am
Respuesta #236

mabelmatema

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hola argentinator
Gracias por la respuesta rápida, aclaratoria y con buenos detalles, como siempre.
Me queda más claro, lo que a veces uno se pregunta, aunque no lo vea enelmomento porqué tantas notaciones para indicar lo mismo.
Pero entendí muy bien las diferencias y similitudes. de nuevo gracias y saludos
será hasta la próxima consulta.

22 Junio, 2010, 02:17 am
Respuesta #237

mabelmatema

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hola nuevamente:
Como verás marcha un poco rápido el estudio..
Preguntonta referida a los conjuntoa abiertos y cerrados,
Dice el texto algo así:
Si \(  A  \) es un conjunto abierto, entonces \(  A^C  \) es conjunto cerrado, ahora bien, puedo decir:
Si \(  A^C \) es conjunto abierto, quiere decir que \(  A  \) es conjunto cerrado?
gracias. mabel

22 Junio, 2010, 02:20 am
Respuesta #238

argentinator

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Por supuesto, los conjuntos abiertos y cerrados siempre son complementarios porque justamente un conjunto cerrado C se define como el complemento de "algún" abierto A.
Cuando le tomás el complemento a C, que es cerrado, volvés a obtener el mismo A de antes, que era abierto.

O sea, recordar que \( A^C \) es simplemente \( X\setminus A \), donde X es el espacio de referencia.

Saludos

22 Junio, 2010, 03:16 am
Respuesta #239

mabelmatema

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ajá era cuestión de pensarlo un poquito, gracias. saludos