[picuartos]

Hola, mi pregunta es la siguiente, tengo esta integral:

\( \displaystyle\int_{\displaystyle\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}^{1}\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\int_{\left\{{x^2+y^2\leq{1-z}}\right\}}^{}(x^2-y^2+z^2)dxdydz \)

No entiendo porque \(  \displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\int_{\left\{{x^2+y^2\leq{1-z}}\right\}}^{}x^2dxdy=\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\int_{\left\{{x^2+y^2\leq{1-z}}\right\}}^{}y^2dxdy \)

De manera que su resta da 0. Lo utilizamos para quitarnos esas varibles de la integral y solo quedarnos con z. Es que lo hicieron en clase, y dijeron algo de que se podía comprobar haciendo un cambio de variable, pero no lo llegué a entender muy bien. Si alguien me lo pudiera explicar

Un saludo

[ingmarov]

Hola

Hola, mi pregunta es la siguiente, tengo esta integral:

\( \displaystyle\int_{\displaystyle\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}^{1}\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\int_{\left\{{x^2+y^2\leq{1-z}}\right\}}^{}(x^2-y^2+z^2)dxdydz \)

No entiendo porque \(  \displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\int_{\left\{{x^2+y^2\leq{1-z}}\right\}}^{}x^2dxdy=\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\int_{\left\{{x^2+y^2\leq{1-z}}\right\}}^{}y^2dxdy \)

De manera que su resta da 0. Lo utilizamos para quitarnos esas varibles de la integral y solo quedarnos con z. Es que lo hicieron en clase, y dijeron algo de que se podía comprobar haciendo un cambio de variable, pero no lo llegué a entender muy bien. Si alguien me lo pudiera explicar

Un saludo

Si tenemos

\(  \displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\int_{\left\{{{\color{blue}x^2}+{\color{red}y^2}\leq{1-z}}\right\}}{\color{blue}x^2}{\color{blue}dx}{\color{red}dy} \)

Y hacemos el cambio de variables

\[ \color{blue}x=y' \]      y      \[ \color{red}y=x' \]

Obtenemos

\(  \displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\int_{\left\{{{\color{blue}y'^2}+{\color{red}x'^2}\leq{1-z}}\right\}}{\color{blue}y'^2}{\color{blue}dy'}{\color{red}dx'} \)


Y es fácil ver que esto último debe ser igual a

\(  \displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\int_{\left\{{\color{blue}x^2}+{{\color{red}y^2}\leq{1-z}}\right\}}{\color{red}y^2}{\color{blue}dx}{\color{red}dy} \)



Saludos

[picuartos]

Vale, muchas gracias
Lo puedes hacer en detalles, es que no lo veo.

Saludos

[Masacroso]

Una justificación más formal es que, debido al teorema de Fubini-Tonelli, esta igualdad

\( \displaystyle{
\iint_{\{x^2+y^2\leqslant c\}}x^2 \,d x\,d y=\iint_{\{x^2+y^2\leqslant c\}}x^2 \,d y\,d x
} \)

es cierta. Ahora, en la segunda integral puedes llamar \( x \) a \( y \) y viceversa que su valor no cambia, ya que esas letras son meras etiquetas.

[picuartos]

Vale, muchas gracias.