Hola
Es conveniente que deduzcas la región de integración, considerando los límites, un esquema ayuda :
En la primera integración
x permanece constante e
y varía desde la curva \( \sqrt[ ]{1-x^2}=y \) hasta la curva \( \sqrt[ ]{4-x^2}=y \) se ha de deducir que esto ocurre en un dominio común, lo cual lo corroborra la segunda integración que nos indica que
x varía desde
-1 hasta
1. Ojo que la primera curva es la parte positiva de una circunferencia centrada en el origen cuyo radio es 1 y la segunda es la parte positiva de una circunferencia centrada en el origen cuyo radio es 2.
Se ve claramente que no es aconsejable alterar el orden de integración, para fines didácticos esta bien, en este caso las curvas límites inferior y superior varían, y conveniente es considerar la simetría de la región de integración bosquejando :
Integrando primero respecto a
x viendo el esquema :
y constante desde 0 hasta 1, hay dos situaciones
x varía desde \( \sqrt[ ]{1-y^2} \) hasta 1 y la otra situación
x varía desde -1 hasta \( - \sqrt[ ]{1-y^2} \)
y constante desde 1 hasta L,
x varía desde -1 hasta 1, donde L es la ordenada del punto de la semicircunferencia mayor cuya abscisa es 1, es decir \( L=\sqrt[ ]{3} \)
y constante desde \( \sqrt[ ]{3} \) hasta 2,
x varía desde \( -\sqrt[ ]{4-y^2} \) hasta \( \sqrt[ ]{4-y^2} \)
Saludos
Nota : Observa que la región es simétrica respecto al eje Y
