¡Hola!
Sea un triángulo \( ABC \), consideremos sus circunferencias inscrita y circunscrita. Sean \( O \) e \( I \) el circuncentro y el incentro, respectivamente. Sean \( R \) y \( r \) los radios de las circunferencias inscrita y circunscritas, respectivamente. Llamemos \( d \) a la distancia entre \( OI \). Demostrar que \( d^2=R^2-2rR \).
Lamento que aún no haya aprendido a usar Geogebra. Trataré de explicar cuál es la idea que habíamos pensado.
La ecuación \( d^2=R^2-2rR \) es equivalente a \( d^2+r^2=R^2-2rR+r^2 \), de donde \( R-r = \sqrt{d^2+r^2} \). Considero ahora el triángulo rectángulo cuyos catetos miden \( d \) y \( r \) (es decir, sus vértices son O e I, y el otro vértice queda sobre la circunferencia inscrita). Si lograra demostrar que la hipotenusa de dicho triángulo es \( R-r \), habría terminado.
Gracias de antemano.
