Hola
Decimos que una relación de orden en \( A=\{1,2,\ldots,7\} \) es regular si verifica todas las siguientes condiciones:
\( 7 \) es un elemento máximo de \( A \).
\( 1,2,3 \) son los únicos elementos minimales.
No existe una cadena con \( 4 \) elementos.
Existen exactamente \( 3 \) cadenas de largo \( 3 \) que pasan por el elemento \( 6 \).
Entonces existen \( \boxed{\phantom{A}\qquad} \) órdenes regulares de los cuales \( \boxed{\phantom{A}\qquad} \) son retículos.
Si no me equivoco me salen \( 7^2=49 \).
El \( 7 \) es máximo por tanto es mayor que cualquier otro elemento.
El \( 1,2,3 \) son los únicos mínimales; por tanto cualquier otro elemento tiene que tener un elemento menor. O en otras palabras cualquier cadena de longitud \( 3 \) (no las hay más largas) tiene que empezar en \( 1,2,3 \) y terminar en \( 7 \).
Por tanto las tres cadenas de longitud \( 3 \) que contienen al \( 6 \) tienen que ser:
\( 1<6<7,\quad 2<6<7,\quad 3<6<7 \)
El \( 6 \) no puede tener más relaciones con el \( 4 \) o el \( 5 \) porque entonces dado que éstos no son minimales y el \( 7 \) es el máximo, añadiendo un minimal y el máximo, formaríamos una cadena de longitud \( 4 \) o más.
Por el mismo motivo \( 4,5 \) no pueden estar relacionados entre si. Entonces cualquiera de los dos es menor que \( 7 \) y mayor que al menos uno de \( 1,2,3 \) (pudieran ser todos, dos de ellos, uno sólo...). Entonces hay \( 2^3-1 \) opciones para elegir que números entre \( 1,2,3 \) son menores que \( 4 \) y \( 5 \).
En total: \( 7^2=49 \) opciones.
Saludos.
