Hola abeelperez
Bienvenido al foro
Tienes que aprender el LATEX, de lo contrario no se entiende nada, en las reglas esta prohibido adjuntar imágenes en lugar de escribir las fórmulas con LATEX, hay un tutorial en el foro.
Te ayudo con el primer problema :
Si E es un espacio de dimensión finita por ejemplo n y M es un subespacio, también ha de tener dimensión finita por ejemplo m y se cumple que \( m\leq{n} \). En todo caso existe siempre una base de E denominándola \( B=\left\{{b_1,b_2, ...,b_m,..b_n}\right\} \) tal que \( \left\{{b_1,b_2, ...,b_m}\right\} \) es una base de M, en esas condiciones cualquier elemento de E por ejemplo \( e=\displaystyle\sum_{i=1}^n{c_i \ b_i}=\displaystyle\sum_{i=1}^m{c_i \ b_i}+\displaystyle\sum_{i=m+1}^n{c_i \ b_i} \), considerando un elemento genérico de M por ejemplo \( y=\displaystyle\sum_{i=1}^m{\alpha_i \ b_i} \), se tiene que \( \left\|{e-y}\right\|=\left\|{\displaystyle\sum_{i=1}^m{(c_i- \alpha_i)b_i}+\displaystyle\sum_{i=m+1}^n{c_i \ b_i}}\right\| \), analizando, esta expresión toma su valor mínimo cuando \( \displaystyle\sum_{i=1}^m{(c_i- \alpha_i)b_i}=O\Rightarrow{\exists{y_{min}}\in{M} \ / \ \left\|{e-y}\right\|} \) es mínima, para ese caso \( y_{min}=\displaystyle\sum_{i=1}^m{c_i \ b_i} \)
Saludos
