Buenas tardes.
Necesito ayuda con este problema de estadística que no logro responder.
Considera \( \textbf{X}\sim{N_2(\mu,\Sigma)} \) con \( \mu=\left[\begin{array}{cc}{2}\\{2}\end{array}\right] \) y \( \Sigma=\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{0}&{1}\end{bmatrix} \) y las matrices \( A=\left[\begin{array}{cc}{1}&{1}\end{array}\right]\ y \ B=\left[\begin{array}{cc}{1}&{-1}\end{array}\right] \). Demostrar que \( A\textbf{X}\ y \ B\textbf{X} \) son independientes.
Si alguien me puede ayudar lo agradezco.
Un saludo.
De la función de densidad de \( X \), que es
\( \displaystyle{
f_X(s,t)=\frac1{2\pi}\exp\left(-\frac{(s-2)^2+(t-2)^2}{2}\right)\tag1
} \)
entonces tenemos que si \( X=(Y,Z) \) las distribuciones marginales de \( X \) nos dejan las densidades de \( Y \) y de \( Z \), que son \( f_Y(s)=f_Z(s)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-(s-2)^2/2\right) \), es decir que \( Y,Z\sim \mathcal{N}(2,1) \). Además \( \mathrm{(1)} \) nos muestra que \( Y \) y \( Z \) son independientes entre sí, ya que \( f_X=f_Y\cdot f_Z \).
Como \( AX=Y+Z \) y \( BX=Y-Z \) entonces tienes que demostrar que
\( \displaystyle{
\Pr[Y+Z\leqslant s\,\land\, Y-Z\leqslant t]=\Pr[Y+Z\leqslant s]\Pr[Y-Z\leqslant t]\tag2
} \)
Sin embargo para demostrar \( \mathrm{(2)} \) no conozco una manera elemental. La idea de demostración que tengo es: si definimos \( h:\Bbb R^2\to \Bbb R^2,\, (s,t)\mapsto (s+t,s-t) \) entonces \( h \) es una función lineal e invertible que puede ser representada por la matriz cuadrada \( (A,B)^T \). Entonces \( (AX,BX)=h(X) \), lo que utilizando un teorema de cambio de variable nos permite hallar la distribución de \( h(X) \) conociendo la de \( X \). Luego tendríamos que hallar la distribución de \( AX \) y de \( BX \) y ver que \( F_{h(X)}=F_{AX}\cdot F_{BX} \).
Seguramente debe haber una manera mucho más sencilla de resolver este ejercicio.
