Hola
Problema del día:
Para cualquier triángulo, los simétricos del ortocentro respecto a los lados pertenecen a la circunferencia circunscrita.
Este problema fue resuelto por L.Carnot (padre del Carnot de la termodinámica) en su publicación 'Géométrie de position'. Como siempre, son bienvenidas demostraciones analíticas y sintéticas.
Sugerencia: Probar que el círculo que determinan dos vértices cualesquiera y el ortocentro, tiene el mismo radio que el círculo circunscrito.
Saludos
Hola:
Entonces... si el triángulo es \( \triangle{ABC} \) y el ortocentro y circuncentro son respectivamente \( O \) y \( D \), sería suficiente con hallar el punto de corte \( P \) de las mediatrices de los segmentos \( \overline{OC} \) y \( \overline{OB} \), que sería el centro de la circunferencia que pasa por \( O,B,C \) y comprobar que la distancia \( d(P,O)=d(P,B)=d(P,C)=d(D,B)=d(D,C) \),
(lo cual se puede hacer verificando que el punto medio del segmento \( \overline{DP} \) está en el lado \( \overline{BC} \) y que \( D \) y \( P \) están en la mediatriz de dicho lado), y así, por simetría, el simétrico de \( O \) respecto del lado \( \overline{BC}, \,O' \), estaría en la circunferencia circunscrita al triángulo. El mismo razonamiento para los simétricos de \( O \) respecto a los otros dos lados. Presiento que los cálculos teóricos han de ser farragosos
Saludos