[Pie]

Calcular el área sombreada.



Saludos.

[ani_pascual]

Calcular el área sombreada.

Hola:
Éste, lo tengo visto en  "Academia internet" 

Spoiler

Basta con hacer triangulaciones y usar que las áreas de los triángulos son iguales por parejas
Así, \( x=z+42-z=42\,u^2 \)
 

[cerrar]

Saludos

[Pie]

Calcular el área sombreada.

Hola:
Éste, lo tengo visto en  "Academia internet" 

Spoiler

Basta con hacer triangulaciones y usar que las áreas de los triángulos son iguales por parejas
Así, \( x=z+42-z=42\,u^2 \)
 

[cerrar]

Saludos

Sí, los saco casi todos de ahí.. empecé viendo alguno y ahora me aparecen cada dos por tres en las recomendaciones de youtube jeje son un vicio. 

PD.

Spoiler

Yo con este me quedé con cara de tonto porque lo resolvi planteando un sistema de 3 ecuaciones (no lineales) bastante "complicaillo". Aunque al menos me sirvió para practicar un poco y para saber la altura de los triángulos.

[cerrar]

Saludos.

[ani_pascual]

Sí, los saco casi todos de ahí.. empecé viendo alguno y ahora me aparecen cada dos por tres en las recomendaciones de youtube jeje son un vicio. 

Hola:
Estoy de acuerdo, son un vicio. Supongo que habrás visto este
Si \( x^x=2 \), calcúlese \( A=x^{x^{x+1}}+x^{x^{1+x^{1+x}}} \)

Spoiler

A=20

[cerrar]

PD.

Spoiler

Yo con este me quedé con cara de tonto porque lo resolvi planteando un sistema de 3 ecuaciones (no lineales) bastante "complicaillo". Aunque al menos me sirvió para practicar un poco y para saber la altura de los triángulos.

[cerrar]

Creo recordar que a mí me ocurrió algo parecido
Saludos

[Pie]

Supongo que habrás visto este
Si \( x^x=2 \), calcúlese \( A=x^{x^{x+1}}+x^{x^{1+x^{1+x}}} \)

Pues no. Y la verdad que aún no me sale. El primer sumando sale fácil pero el segundo aún no sé cómo sacarlo, la verdad que me mareo con tanto exponente xD..

Spoiler

\[ x^{x^{x+1}} = x^{x\cdot x^x}=(x^x)^{(x^x)} = 2^2 = 4 \]

[cerrar]

Seguiré pensando..

Saludos.

[Pie]

Si \( x^x=2 \), calcúlese \( A=x^{x^{x+1}}+x^{x^{1+x^{1+x}}} \)

Ahora creo que sí, no vi que se podia aprovechar el primer resultado la primera vez que lo intenté y me quedaban expresiones ininteligibles.. casi me quedo bizco.

Spoiler

\[ x^{x^{x+1}} = x^{x\cdot x^x}=(x^x)^{(x^x)} = 2^2 = 4 \]

\[ x^{{1+x}^{1+x}} = x \cdot x^{x^{x+1}} = 4x \Rightarrow{} \]

\[ x^{x^{{1+x}^{1+x}}} = x^{4x} = (x^x)^4 = 2^4 = 16 \]

Por tanto:  \[ A = 4 + 16 = 20
 \]

[cerrar]

Al final más fácil de lo que parecía, como ocurre con casi todos estos problemas.

Saludos.

[ani_pascual]

Ahora creo que sí, no vi que se podia aprovechar el primer resultado la primera vez que lo intenté y me quedaban expresiones ininteligibles.. casi me quedo bizco.

Spoiler

\[ x^{x^{x+1}} = x^{x\cdot x^x}=(x^x)^{(x^x)} = 2^2 = 4 \]

\[ x^{{1+x}^{1+x}} = x \cdot x^{x^{x+1}} = 4x \Rightarrow{} \]

\[ x^{x^{{1+x}^{1+x}}} = x^{4x} = (x^x)^4 = 2^4 = 16 \]

Por tanto:  \[ A = 4 + 16 = 20
 \]

[cerrar]

Al final más fácil de lo que parecía, como ocurre con casi todos estos problemas.

Cierto, suele ser así, como en los juegos de ingenio
Saludos

[Ignacio Larrosa]

En general, si se toma un punto interior a un paralelogramo y se unw con los cuatro puntos medios de los lados, los cuadiláteros resultantes opuestos por el vértice tienen la mitad del área del paralelogramo. otro tanto ocurre con los triángulos obtenidos al unir el punto con los cuatro vértices. Es consecuencia de que los 8 triángulos no solapados determinados por el punto, un vértice y un punto medio de un lado adyacente, pueden agruparse en cuatro pares de triángulos opuestos por el vértice que suman un área de \( \dfrac{1}{4} \) de la del paralelogramo y que los que están sobre el mismo lado del paralelogramo tienen áreas iguales.



Paralelogramo cuarteado

Saludos,

[Pie]

En general, si se toma un punto interior a un paralelogramo y se unw con los cuatro puntos medios de los lados, los cuadiláteros resultantes opuestos por el vértice tienen la mitad del área del paralelogramo. otro tanto ocurre con los triángulos obtenidos al unir el punto con los cuatro vértices. Es consecuencia de que los 8 triángulos no solapados determinados por el punto, un vértice y un punto medio de un lado adyacente, pueden agruparse en cuatro pares de triángulos opuestos por el vértice que suman un área de \( \dfrac{1}{4} \) de la del paralelogramo y que los que están sobre el mismo lado del paralelogramo tienen áreas iguales.

Paralelogramo cuarteado

Genial explicación y generalización.  La clave era ver que al ser punto medio los triángulos opuestos comparten base, y como la suma de sus alturas es siempre constante, la suma de sus áreas también debe serlo. 

Saludos.