[isamu]

¿Qué hay, equipo?
Saludos
en esta ocasión ojalá me sugieran cómo puedo atajar esta nimiedad( )
Tengo un espacio M que representa a las matrices de \( m\times{n} \) con elementos reales y se tiene la siguiente función
\( f(A,B)=tr(B^tA) \) comprobar que es un producto interno.

intuitivamente pues se ve que sí lo es, pero cómo se puede justificar o proponer la respuesta?

Gracias

[Sonata]

Hola Isamu. 

Veamos que \( f(A,B)=f(B,A) \) (recordemos que estamos en \( \mathbb{R} \)).

Dado que la traza de una matriz y su traspuesta es la misma, se tiene:

\( f(A,B)=tr(B^tA)=tr((B^tA)^t)=tr(A^tB)=f(B,A) \)

Por simetría, bastará ver que es lineal en el primer factor.

\( f(\alpha A+\beta B,C)=tr(C^t(\alpha A+\beta B))=\alpha tr(C^tA)+\beta tr(C^tB)=\alpha f(A,C)+\beta f(B,C) \)

Por último, veamos que \( f(A,A)\ge0 \) y \( f(A,A)=0\iff A=0 \)

En este caso, \( f(A,A)=tr(A^tA),  \) y como \( M=A^tA \) es la matriz cuyos elementos de la diagonal son \( m_{ii}=\displaystyle \sum_{j=1}^n}a_{ji}^2,i=1,\dots,n, \) se tiene que \( m_{ii}\ge0. \)  Además, \( m_{ii}=0\iff a_{ji}=0, \forall i, j=1,\dots,n, \) es decir, cuando \( A=0 \)

Recuerda que debes editar y corregir tu mensaje como te han indicado.

Un saludo 

[isamu]

Hola Sonata, muchas gracias por responder,
lo que no entiendo es esta parte
\( f(A,A)=0\iff A=0 \)
que me asegura que sea mayor a 0?
gracias

[Sonata]

¡Hola Isamu! Ya vimos aquí que \( f(A,A)\ge0, \) puesto que los elementos de la diagonal son los \( m_{ii} \) (que son positivos, al ser suma de cuadrados de números reales):

En este caso, \( f(A,A)=tr(A^tA),  \) y como \( M=A^tA \) es la matriz cuyos elementos de la diagonal son \( m_{ii}=\displaystyle \sum_{j=1}^n}a_{ji}^2,i=1,\dots,n, \) se tiene que \( m_{ii}\ge0. \)  Además, \( m_{ii}=0\iff a_{ji}=0, \forall i, j=1,\dots,n, \) es decir, cuando \( A=0 \)

No entiendo muy bien cuál es tu duda, ¿podrías concretarla?

Un saludo