Gustavo tiene muy claro el asunto, incluso los detalles históricos, lo cual personalmente me resulta de gran provecho.
Así que aprovecho para agradecer tu aporte.
Aún así no tengo del todo claro qué es lo que estamos asumiendo como reglas de juego.
Lo único que saco en limpio hasta ahora es esto:
(1) Podemos asumir que la secuencia de los números naturales está presente en nuestro intelecto, y que ciertas propiedades básicas de ella pueden tomarse como intuitivamente válidas. En lo que a mí respecto, no hay nada intuitivamente válido, pero bueno... si es lo que hay.
(2) Disponemos de una lista de signos gráficos, digamos: \( 1, \forall{},\exists{},\longrightarrow{},\wedge,\vee,=,(,),x, \) y quizá dos o tres más, pero no más que esos.
(3) Podemos escribir los signos listados en (2) en orden, uno a la derecha del otro, de modo que podemos hacer corresponder a cada número natural ''intuitivo'' (y aún no construido en teoría de conjuntos alguna) un cierto signo. Por ejemplo, si escribo \( \wedge\vee1=\exists{}) \), estoy diciendo que hay un 1er signo que corresponde a \( \wedge \), un 2do signo que sería el \( \vee \), un 3er signo que sería el 1, un 4to signo que sería el =, y así sucesivamente.
(4) Los signos listados en (2) al colocarse ordenadamente como se explica en (3), pueden repetirse tantas veces como se desee. Así, por ejemplo, la secuencia \( \wedge\wedge(((1))11)= \) que contiene varios signos repetidos, sería válida.
(5) Todo lo que se haga con estas herramientas debe permanecer ''bajo control'', o sea, no debe haber duda de que se llevarán a cabo pasos ''seguros'', que no den lugar a ambigüedad, duda, etc. Para lograr pasos ''seguros'' se procura trabajar con objetos que sean ''intuitivamente'' claros e inconfundibles.
Estas cuestiones intuitivas no me parecen tan obvias, sino todo lo contrario.
Hay unos indígenas australianos que cuentan 1, 2, 3 y muchos. No conocen otros números.
Ellos no manejan ''nuestra'' intuición de número natural. Difícilmente podrían seguir una sentencia ''finitaria'' con más de 3 signos, me parece.
Así que los números que conocemos están ''inculcados'' o ''aprendidos''. No son inherentes al ser humano. Aunque se puede asumir que son un objeto cultural... qué sé yo.
Lo intuitivo acarrea el problema de que no todos los seres humanos intuyen lo mismo, y es por eso que se buscan pruebas sólidas en la ciencia, para no dejarnos llevar por el engaño.
¿Cómo es que los matemáticos, entre ellos el gran formalista Hilbert, terminan diciendo que son ciertas percepciones intuitivas lo que se toma como base de demostraciones lógico-matemáticas seguras?
Incluso Hilbert, según he leído y comentado, criticaba a Pasch por usar la intuición de lo empírico en geometría en vez del razonamiento sintético, y criticaba a los intuicionistas también (es más, creo que él mismo los bautizó con ese nombre en forma algo despectiva).
Así que no queda más remedio que decir: ''Bueno, asumimos que todos los seres humanos tenemos esta intuición colectiva, llamémosla secuencia de números naturales 1, 2, 3, 4, etc., y que Dios nos ampare".
Así que, para no llevar el asunto por vías filosóficas ajenas a la prueba en sí, asumo estas cosas por ahora como válidas.
En todo caso, da toda la sensación de que Hilbert procuraba atenerse a ''intuiciones¨básicas", que fueran tan obvias y elementales que no habría lugar a discusión, y poder hablar entonces de una teoría de la demostración, una metamatemática.
Pero el concepto de ''finito'' no me parece algo tan básico como para incluirlo en ese esquema.
Sin recurrir a la teoría de conjuntos (que estamos tratando de evitar en todo esto porque en la metamatemática no hay ni lógica, ni conjuntos, ni nada), puedo asumir que entiendo intuitivamente el significado de ciertas cantidades pequeñas como 1, 2, 80, 1200, no sé, hasta cierto número ni muy chico ni muy grande, pero que sea manejable, ya sea porque tiene pocas cifras, o por lo que fuere. Puedo decir que ciertas listas de signos son ''finitas'' si puedo enumerarlas o contarlas, y su número es pequeño y está dentro de lo que considero manejable.
¿Pero puedo ir más allá, y hablar con toda generalidad de "todas las secuencias finitas de signos"?
Porque en ese caso, estoy asumiendo que mi intuición elemental entiende sin ambiguedad lo que significa finito.
Y también estoy asumiento que entiendo lo que significa ''todas las secuencias de signos".
¿No hay problemas o dudas al abarcar esa totalidad de secuencias?
Nota: estamos hablando de todas esas secuencias cuando pedimos por ejemplo que dado un enunciado cualquiera debe ser posible verificar mecánicamente en una cantidad finita de pasos si ese enunciado es, o no, un axioma.
Ahora bien, después de toda esta queja, que no sé qué tan en serio pueda tomarse, viene la peor parte, porque para ser honesto con todo el mundo, la verdad es que sí tengo una intuición clara de lo que significa una secuencia finita de signos, o una sucesión finita de pasos mecánicos, y de lo que significa hablar de ''todas esas secuencias'', etc.
Pero la experiencia con totalidades (como el imposible conjunto de todos los conjuntos) es lo que me obliga a dudar.
También está la cuestión de que uno puede definir finitud de maneras alternativas al mero "ser equipotente con los primeros n naturales, para algún n", y esas alternativas no tienen consecuencias claras (al menos para mí) en alguna teoría de conjuntos con axiomas más débiles que los usuales.
Y como estamos en el terreno de la ''carencia de axiomas'', o sea, es todo muy ''débil'', me asusta tener a mano ciertas posibilidades o herramientas "fuertes".
Pero bueno, para poder continuar parece que debemos asumir que:
(6) Se asume o se entiende intuitivamente claro y sin ambigüedad lo que significa una secuencia finita de signos, y una secuencia finita de pasos. Se entiende lo que es concatenar y repetir símbolos.
(7) No sólo se aceptan las convenciones de la (1) a la (6), sino que además se asume que, en cierta manera, todos estamos de acuerdo en lo que significan dichas convenciones. O sea, asumimos que hay un consenso intuitivo, convenciones de lenguaje y comprensión, etc.
Mmmmmm... Es todo cada vez más sospechoso, pero de algún punto debemos partir.
Y aunque quería mostrar mis dudas filosóficas sobre todo esto, no deseo llevar la discusión por ese lado, porque antes que nada quiero entender qué estamos asumiendo para probar el dichoso teorema.
Ahora bien. Gustavo, mencionaste lo de los "palotes" de Hilbert.
Pero creo que la prueba de Godel no viene en ese formato de palotes, ¿o sí?
Lo que entiendo de este asunto viene a ser como sigue (si hay errores, corríjanme):
(A) Partimos de trabajar con ciertos signos en forma ordenada, según se explica en los pasos (1) a (7) que mencioné antes.
Llamamos al contexto de trabajo: metamatemática.
(B) A una secuencia finita de signos dada se le llamará sentencia. No importa cómo esté formada, ni si parecen tener sentido o no, por ejemplo: \( =(\wedge\vee\longrightarrow{\longrightarrow{}})\wedge) \)
Para no andar escribiendo cualquier cosa, habrá que elegir cuáles sentencias tendrán sentido para nosotros, y cuáles no.
Se elige un gran grupo de sentencias, y se dice que ellas forma un lenguaje L.
Lo más probable es que la cantidad de sentencias que figuran en L sea infinita (Aggh!!).
Así que, para mantenernos en terreno firme, exigimos que:
(C) Debe haber un método mecánico y claro por el cual, en una cantidad finita de pasos se puede determinar si una determinada sentencia S forma parte o no del lenguaje L.
(D) Se elige, de entre las sentencias del lenguaje L, una lista de sentencias, y se las bautiza como Axiomas. La lista dada puede ser finita o infinita (AUCH!).
Me molesta el hecho de que haya infinitos axiomas, porque se supone que para trabajar con ''pasos seguros'' como Hilbert pretendía, debemos quedarnos en el jardín de las cosas finitas. Sin embargo, por lo que sé, la matemática que conocemos no podría funcionar a toda su potencia con una lista finita de axiomas.
Sin embargo, existe una cosa llamada esquema axiomático, lo cual, en vez de dar un axioma, lo que hace es dar una regla de tal modo que toda sentencia que cumpla esa regla, será un axioma.
Esto me parece de por sí sospechoso, porque involucra una totalidad infinita.
Claro que, a lo mejor estoy teniendo demasiados prejuicios contra las totalidades infinitas.
A lo mejor mi conducta respecto a lo infinito es más bien de un temor supersticioso.
Pero es que... si hablo de un esquema axiomático, ya no estoy escribiendo una secuencia de signos, sino que estoy escribiendo una secuencia de meta-signos.
Un ejemplo de esquema axiomático sería escribir, por ejemplo, que:
para toda secuencia finita de signos, la cual simbolizamos momentáneamente por A, la sentencia \( A=(A) \) será un axioma.
Así, generaríamos la lista de axiomas 1=(1), (x1xxx)=(x1xxx), (((1111)))=((((1111)))), y un largo e infinito etcétera.
La letra A en el esquema axiomático anterior no es uno de los signos permitidos según la lista del punto (2).
La letra A es sólo un signo ''informal'' dentro de nuestro lenguaje para comunicar a otros o a uno mismo, que cierta regla habrá de ser utilizada.
La letra A sería un meta-signo, y eso ya me empieza a perturbar bastante la paz, porque nada impediría que uno hable de meta-meta-signos, o de meta-meta-matemática. ¿Hasta dónde llega el asunto?
Tengo que creer en este punto que esos meta-signos se usan de un modo ''razonable y controlado'' por la meta-matemática, pero no me satisface que haya tanta libertad en ello.
De todos modos, aún siendo concientes de esto, podemos seguir adelante un poco más.
Para permitir ese tipo de situaciones que involucran esquemas axiomáticos, y mantenerse aún en una conducta ''finitaria'', se introduce una restricción que recibe el nombre de recursividad, que Gustavo menciona.
Así que, si bien la lista de axiomas no es finita,
(E) se puede, sin embargo, determinar en un número finito de pasos mecánicos si una determinada sentencia es un axioma o no es un axioma. (Definición de Recursividad)
Así que, en realidad, pareciera que no es muy importante aquello de los meta-signos. Uno podría despreocuparse de ellos, o del hecho de estar usando esquemas axiomáticos, siempre y cuando uno esté seguro de que puede determinar en un número finito de pasos si una sentencia es un axioma o no...
Aún así, ¿cómo probar que mi sistema de axiomas satisface esta propiedad, acaso comprobándolos uno a uno?
Claro que eso no se puede... y así veo de nuevo el fantasma de los infinitos y las totalidades por estos lugares, y la verdad es que me dan comezón.
Como sea, terminemos con el asunto.
(F) A una ''lista'' dada de axiomas como se especifica en (D) se la llama sistema axiomático.
(G) Se agrega al sistema axiomático una lista finita de reglas de inferencia, que son, hasta donde logro entender, reglas que especifican si una sentencia dada es un teorema o no es un teorema.
Esta clasificación entre teorema y no-teorema puede tener en principio una apariencia arbitraria. Sería lo mismo que clasificar en cocos y no-cocos.
Además, lo importante de dichas reglas no son tanto ellas mismas, sino que mediante un número finito de pasos mecánicos y perfectamente discernibles se puede determinar si cierta sentencia es o no es un teorema.
En cuanto a las reglas de inferencia, ¿qué rol juegan en todo esto? No son axiomas, no me parece que sean esquemas axiomáticos. ¿Son algo distinto? ¿Se dan en el metalenguaje, al estilo ''esquema''? ¿Cómo debo entenderlas?
Dado que en general no hay más que unas pocas reglas de inferencia, asumo que son finitas.
Por último, te pregunto Gustavo, ¿a qué les llamás exactamente sentencias finitarias?
¿Qué sería una sentencia no finitaria?
No comprendo si te estás refiriendo a ''afirmaciones'' como la de 2 + 3 = 5, que es una afirmación por sí sola, explícita,
o si acaso te estás refiriendo a ''esquemas de afirmaciones'' como una fórmula con meta-signos del tipo A + B = B + A.
Yo estuve usando el término ''sentencia'' como el de ristra ordenada de signos del punto (2), y no como fórmula escrita con meta-signos.
También puede que esté equivocado en el manejo que hago de la terminología de la teoría de modelos, que en realidad casi ni conozco.
¿Debo corregir algo en todo lo dicho?
Saludos
