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Hola buenas,
Se me presenta el siguiente problema:
Dados los puntos: \( A=(2,3), B=(1,5), C=(3,4) \) vértices del paralelogramo \( ABCD \), determine todos los parlelogramos que posean el vértice \( A \), lados paralelos a los lados del paralelogramo \( ABCD \) y cuyo área es cuatro veces la de éste.
Mis dudas son las siguientes:
a) Los lados paralelos los obtengo parametrizando los del paralelogramo original, pero sólo tengo la ecuación correspondiente al área que es 4 veces el original ¿De dónde obtengo la otra ecuación para poder tener dos ecuaciones para las dos incógnitas?
b) Por otro lado ¿Hay alguna forma de expresar el área sin recurrir al producto vectorial?
Gracias.
Hola
Juanji Entiendo que lo primero que debes hacer es identificar el vértice \( D \), si lo haces teniendo en cuenta que el polígono \( ABCD \) es un paralelogramo, lados opuestos paralelos, deberás obtener \( D(4,2) \) y además podrás comprobar el polígono dado es un rombo, sus 4 lados son iguales
\( AB=BC=CD=DA \)
y sus ángulos internos distintos de 90º.
Su área \( S \) puedes evaluarla como el semiproducto de sus diagonales, es decir
\( S=\dfrac{AC\cdot{BD}}{2}=\dfrac{d_1\cdot{d_2}}{2} \)
El rombo semejante al dado, cuya razón de semejanza es \( k \), verifica
\( S_1=4S\Rightarrow{}\dfrac{kd_1\cdot{kd_2}}{2}=4\dfrac{d_1\cdot{d_2}}{2}\Rightarrow{k=2} \)
Con eso puedes trabajar, si lo haces correctamente uno de los rombos de área \( S_1 \) que puedes encontrar será el \( AGFH \) siendo
\( [s]G ( 2,5)[/s],\quad F(0,1),\quad H(4,-1) \)
Editado, falta un signo menos en el primer vértice, es \( G(-2,5) \)Saludos
