Hola soy nuevo en el foro, queria saber si me podrian ayudar con una tarea.

La consigna dice :  Si el ancho de una pileta de natación rectangular es la tercera parte de su longitud y se sabe que su perimetro es de 96m, determinar las dimensiones del natatorio.
 
Se supone que hay que plantearlo usando Sistema de ecuaciones pero no logro entender la consigna como para plantearlo de mnera correcta. Por favor ayuda!

Me han pasado este ejercicio para que lo haga (al parecer alguna vez salió en la antigua PAU)
Creo que es un problema de geometría del espacio con planos.
Que se trata de dos planos R y S y que se me pregunta por su intersección.

El problema me lo pasan así :
R :  x=lambda
     y=1-lambda
     z=3

S   x-1=y=z-3

Me piden
a) Coordenadas  del punto A de R \cap{}  S  (acabo de ingresar en el foro y no manejo los símbolos muy bien,quiero poner el símbolo de intersección de conjuntos)
b) Ecuación de (letra griega pi mayúscula) que contiene a R y S.

Gracias

Hola buenas,

Se me presenta el siguiente problema:

Dados los puntos: \( A=(2,3), B=(1,5), C=(3,4) \) vértices del paralelogramo \( ABCD \), determine todos los parlelogramos que posean el vértice \( A \), lados paralelos a los lados del paralelogramo \( ABCD \) y cuyo área es cuatro veces la de éste.

Mis dudas son las siguientes:

a) Los lados paralelos los obtengo parametrizando los del paralelogramo original, pero sólo tengo la ecuación correspondiente al área que es 4 veces el original ¿De dónde obtengo la otra ecuación para poder tener dos ecuaciones para las dos incógnitas?

b) Por otro lado ¿Hay alguna forma de expresar el área sin recurrir al producto vectorial?

Gracias.

Hola a todos!!

Por favor, déjenme que les cuente la introducción antes de empezar.

En el día de hoy pasó algo poco común. El profesor de Álgebra y Geometría Analítica comenzó repasando autovalores y matrices. Luego de eso, pasó a explicar tema nuevo: las cónicas. Todo bien. En un momento, agarró los ejercicios y empezó a resolver los primeros. En uno, sólo aparecían dos subejercicios, así que se fijó en su guía (que es más antigua a la actual, parece que han sacado varios ejercicios) y dictó otros tres más. Los dos primeros pudieron despejarse rápido. El último aclaró: "Chicos, ojo con este. Recuerdo que era medio difícil". Lo empezó a resolver. Cuando llegamos a cierto punto nos dimos cuenta que... nos quedó la misma expresión que la recién calculada. Habíamos llegado a un absurdo . La risa que se produjo en ese aula fue pocas veces visto. Así que por eso estoy hoy acá, para que me ayuden (nos ayuden) a resolver el ejercicio. Les adjunto la foto que tomé al pizarrón del desarrollo del profesor ayudado por nosotros los alumnos para que se deleiten .

Comencemos.

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"Encuentre la ecuación de una circunferencia si pasa por \( \textrm{P}(2, 3) \), \( \textrm{Q}(3, 6) \) y es tangente a la recta \( x + 2y - 2 = 0 \)".

Planteamos la distancia desde el centro hasta la recta, es decir, "distancia punto-recta":
\( d_{(C, r)} = \displaystyle\frac{\left |{α + 2β - 2}\right |}{\sqrt[ ]{5}} = r \)

y luego la ecuación de la circunferencia con centro \( C(α, β) \) y radio \( r \) (llamada canónica, estándard u ordinaria) por cada punto:
\( (2 - α)^2 + (3 - β)^2 = r^2 \)

\( (3 - α)^2 + (6 - β)^2 = r^2 \)

Entonces nos quedó un sistema de \( 3 \) ecuaciones con \( 3 \) incógnitas:

\( (1) \quad (2 - α)^2 + (3 - β)^2 = r^2 \)

\( (2) \quad (3 - α)^2 + (6 - β)^2 = r^2 \)

\( (3) \quad \displaystyle\frac{\left |{α + 2β - 2}\right |}{\sqrt[ ]{5}} = r \)

y a partir de acá hay que despejar. Mi duda es que creo que es un sistema NO lineal, pues tenemos una incógnita de grado superior a \( 1 \). Sin embargo, nunca resolvimos de este tipo. Primero, ¿es correcto el enunciado? (el profesor se lo memorizó), segundo, ¿están planteadas correctamente las ecuaciones?

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Resolución fallida:
Lo que hicimos fue desarrollar los binomios al cuadrado de \( (1) \) y \( (2) \) e igualarlos, ya que tienen en común \( r^2 \). Además elevamos al cuadrado m.a.m. a \( (3) \) para sacar el módulo del numerador y para que nos quede \( r^2 \). Así

\( (2 - α)^2 + (3 - β)^2 = r^2 \Longrightarrow{} \ldots \Longrightarrow{} \color{red}α^2 + β^2 - 4α - 6β + 13 = r^2 \)

\( (3 - α)^2 + (6 - β)^2 = r^2 \Longrightarrow{} \ldots \Longrightarrow{} \color{red}α^2 + β^2 - 6α - 12β + 45 = r^2 \)

\( \displaystyle\frac{\left |{α + 2β - 2}\right |}{\sqrt[ ]{5}} = r \Longrightarrow{} \left(\displaystyle\frac{\left |{α + 2β - 2}\right |}{\sqrt[ ]{5}}\right) ^2 = r^2 \Longrightarrow{} \displaystyle\frac{(α + 2β - 2)^2}{5} = r^2 \Longrightarrow{} \ldots \Longrightarrow{} \color{red}α^2 + 4β^2 + 4αβ - 4α - 4β + 4 = 5r^2 \)



¿Alguna idea? Por favor, al realizar cálculos especifiquen cada cosa de manera fácil. Tengan en cuenta que recién comenzamos a ver cónicas.

Muchas gracias!