Hola
Prueba que el sistema $$\dot{x} = -x^3, \dot{y} = -y + x^2$$ no tiene variedad central analítica (supuesta de la forma $$y = h(x) = a_2x^2 + a_3x^3 + \cdots$$, entonces $$a_{2n+1} = 0, n \geq 1, a_2 = 1, a_{n+2} = na_n, n \geq 2$$). ¿Crees que la variedad es $$C^{\infty}$$?
Está basado en el ejercicio adjunto del libro 'Methods of Bifurcation Theory de Chow y Hale', pero no entiendo por qué 'se puede ver fácilmente'. Gracias.
No me di cuenta de que quedaba esto pendiente.
Si tienes \( y=h(x) \) entonces:
\( y'=h'(x)x'=-h'(x)x^3 \)
y sustituyendo en la segunda ecuación:
\( -h'(x)x^3=-h(x)+x^2\quad \Rightarrow{}\quad h'(x)x^3-h(x)+x^2=0 \) (*)
Pero:
\( h(x)=\displaystyle\sum_{n=2}^\infty{}a_nx^n \)
\( h'(x)=\displaystyle\sum_{n=2}^\infty{}na_nx^{n-1} \)
Sustituyendo en (*):
\( \displaystyle\sum_{n=2}^\infty{}na_nx^{n+2}-\displaystyle\sum_{n=2}^\infty{}a_nx^n+x^2=0 \)
\( \displaystyle\sum_{n=2}^\infty{}na_nx^{n+2}-\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{}a_{n+2}x^{n+2}+x^2=0 \)
\( \displaystyle\sum_{n=2}^\infty{}(na_n-a_{n+2})x^{n+2}+(1-a_2)x^2+a_3x^3=0 \)
De donde:
\( a_{n+2}=na_n \) para \( n\geq 2 \)
\( a_2=1 \)
\( a_3=0 \)
Del hecho de que \( a_3=0 \) y que \( a_{n+2}=na_n \) se tiene que \( a_5=3a_3=0 \), \( a_7=7a_5=0 \) y en general que \( a_{2n+1}=0 \).
Saludos.
