[FerOliMenNewton]

Hola a todos,
Recientemente empecé a estudiar un poco de sistemas dinámicos y al empezar a hacer ejercicios me topé con este curioso ejercicio, el cual creo que no estoy entendiendo bien. Dice así:
Una función es impar si \( F(-x)=-F(x) \), usar esta fórmula para encontrar una forma fácil de encontrar ciclos de periodo \( 2  \) para \( F \)(es decir, hallar puntos \( x \) tal que \( F(x) \neq x \) pero \( F^2(x):=F(F(x))=x \)).
No veo por qué a partir de ahí es "fácil" encontrar puntos periódicos, consideremos por ejemplo \( F(x)=x \), entonces \( F \) es impar pero todos los puntos son puntos fijos así que no hay puntos de periodo 2. Después de considerar este ejemplo pensé que a lo mejor hay que excluir a la identidad, pero venga, si consideramos la función \( F(x)=x^3 \) entonces está tampoco tiene puntos de periodo 2. Estos puntos deberían ser raíces del polinomio \( x^9-x \). Lo sé, es un polinomio poco agradable, pero sabemos que \( 0,1,-1 \) son puntos fijos de \( F \) así que \( x(x-1)(x+1) \) divide a este polinomio así que sólo tendríamos que hallar las raíces del cociente que nos quede y tomar las que sean distintas de los puntos fijos. Y si hacemos las cuentas nos queda \( x^6+x^4+x^2+1 \) el cual no tiene raíces reales y por tanto no hay puntos de periodo 2. ¿Estoy interpretando mal el ejercicio? .
Saludos.

[geómetracat]

Quizás se refiera a lo siguiente: si \[ F \] es impar, todas las soluciones de \[ F(x)=-x \] salvo \[ x=0 \] son puntos \[ 2 \]-periódicos. En efecto: \[ F^2(x)=F(F(x))=F(-x)=-F(x)=x \].

Cuidado por eso: no todos los puntos \[ 2 \]-periódicos tienen por qué cumplir \[ F^2(x)=-x \]. Por ejemplo, considera una función continua cualquiera \[ F:[0,\infty) \to [0,\infty) \] que cumpla \[ F(0)=0,F(2)=1/2, F(1/2)=2 \], y extiéndela a todo \[ \Bbb R \] imponiendo \[ F(-x)=-F(x) \]. Entonces \[ F \] es impar y continua con un punto \[ 2 \]-periódico (el \[ 2 \]) que no cumple \[ F(x)=-x \].

Por otro lado, puedes probar que ni \[ F(x)=x \], ni \[ F(x)=x^3 \], ni \[ F(x)=x^n \] con \[ n \] impar tienen puntos \[ 2 \]-periódicos. El motivo es que estas funciones son estrictamente crecientes, lo que implica que no tiene puntos \[ 2 \]-periódicos. En efecto, si  \[ x \neq F(x) \] debe ser \[ x<F(x) \] o \[ F(x)<x \]. En el primer caso \[ x<F(x)<F^2(x) \] y en el segundo \[ F^2(x)<F(x)<x \].

Pero puedes probar con \[ F(x)=-x \], para la que todos los puntos son \[ 2 \]-periódicos (salvo el \[ 0 \] que es fijo), o \[ F(x)=-x^3 \], que tiene por puntos fijos el \[ 0 \], y por \[ 2 \]-periódicos las soluciones de \[ x^9=x \] que no sean el \[ 0 \], es decir \[ 1 \] y \[ -1 \]

[FerOliMenNewton]

Hola geómetracat,
Sí yo creo que se refiere a eso , no veo qué más podríamos inferir, y si es muy útil en el sentido de que nos ahorramos el cálculo de la segunda iteración.
También respondiste la pregunta que me surgió inmediatamente al leer el primer renglón: sí el recíproco era cierto o no.
Muchas gracias!