Muchas gracias por la ayuda, no había notado que podia verla como una composición, gracias .

Hola, cordial saludo. Estoy estudiando la demostración del siguiente teorema:

Primero consideremos el problema de minimización: \( (p) \;\;\; min \{ f(x): x \in X\} \) donde \( X=\{x \in \mathbb{R}^n: g_i(x)\leq{0}, i=\{1, 2, ..., p\}\} \) y definamos \( I(x^*)=\{i \in \{1, ...,p\}: g_i(x^*)=0\} \).


Teorema (Condición Suficiente): Sea \( f, g_i \) dos veces diferenciable en \( x^* \in X \) con \( i \in I(x^*) \). Si

• \( \nabla f (x^*) + \displaystyle\sum_{i \in I(x^*)}{\lambda_i \nabla g_i(x^*)}=0 \) para algún \( \lambda_i\geq{0}. \)
• \( v^T \left( \nabla^2 f(x^*)+ \displaystyle\sum_{i \in I(x^*)}{ \lambda_i \nabla^2g_i(x^*)}\right)v >0 \), para todo \( v \neq 0 \) tal que \( v^T \nabla g_i(x^*)=0, \;\; \forall i \in I(x^*) \).

Entonces, \( x^* \) es un minimizador local estricto del problema de minimización \( (p) \).

Para su demostración, se negó que \( x^* \) es un minimo local estricto, por tanto existen \( x_k \in X \setminus \{x^*\} \) tal que \( x_k \rightarrow{x^*}\ \) y \( f(x_k) \leq{ f(x^*)} \). Con lo anterior y haciendo ciertos calculos se llega a:

\( d^T \left( \nabla^2 f(x^*)+ \displaystyle\sum_{i \in I(x^*)}{ \lambda_i \nabla^2g_i(x^*)}\right)d \leq 0 \), donde (para una cierta subsecuencia) \( d^k=\dfrac{x^k-x^*}{\left\|{x^k-x^*}\right\|} \longrightarrow{d} \).

Ahora, tendría que probar que \(  \nabla g_i(x^*)^T d=0 \). Sin embargo no he podido concluir esta última parte, pues llego a que  \(   \lambda_i\nabla g_i(x^*)^T d=0, \;\; \forall i \in I(x^*) \).

Me podrian, por favor, ayudar con esto último. Muchas gracias de antemano.

\(  \)

Es bien geométrico el asunto. Entonces, ¿el proceso de hallar los puntos extremos es primero analizar las direcciones con una de las restricciones y luego ir intersecando con el resto de restricciones?

Cordial saludo.

Tengo lo siguiente: Sean \( C_1 \) y \( C_2 \) conos convexos de \( \mathbb{R}^n \). Mostrar que \( C_1 \oplus{C_2}=conv(C_1\cup{C_2}) \), donde \( conv(S)=\left\{x=\sum_{i=1}^{k}\lambda_i x_i; \;\;\sum_{i=1}^k \lambda_i=1, x_i \in S\;\; y\;\; \lambda_1\geq{0}, \forall i=1, ..., k\right\} \).

Yo ya tengo probado que \( C_1 \oplus{C_2} \) es un cono convexo, además \( conv(C_1\cup{C_2})\subseteq{C_1 \oplus{C_2}} \). Sin embargo no he podido probar la otra contenencia: \( C_1 \oplus{C_2}\subseteq{conv(C_1\cup{C_2})} \). Podrian por favor ayudarme con esto último.

Agradezco de antemano la ajuda.

Hola Luis. Lo que pasa es que estaba pensando en la pregunta de S.S y me surgio una duda que no he podido resolver. Para probar que \( \bar{x} \) solo tiene \( k\leq{m} \) elementos distintos del nulo, se prueba que las primeras k columnas son L.I y que a lo sumo pueden haber \( Rank(A)=m \). Pero no estoy viendo la relación de las componentes de \( \bar{x} \) con las columnas, por ejemplo si tomara \( \bar{x}=(x_1,...,x_k, \beta, ..., \beta)^T \) con \( \beta>0 \) ¿cómo se afectaría la prueba?

Gracias.

Cordial saludo. Estoy estudiando el siguiente teorema (del libro NONLINEAR PROGRAMMING de Bazaraa, Sherali y Shetty)

Definición: Sea \( S \subseteq{\mathbb{R}^n} \), no vacio y convexo. \( \bar{x} \in S \) es un punto extremo de \( S \) sii no existen \( x_1, x_2 \in S \setminus \{\bar{x}\} \) tal que \( \bar{x}= \lambda x_1 + (1-\lambda) x_2 \) con \( \lambda \in (0, 1). \)

Teorema 2.6.4 Sea \( S= \{x\in \mathbb{R}^n ; A x = b, x \geq{0}\} \), donde \( A \in \mathbb{R}^{m \times n} \), \( Rank(A)=m \) y \( b\in \mathbb{R}^m \). \( \bar{x} \in S \) es un punto extremo de \( S \Leftrightarrow{A } \) puede ser descompuesta en la forma \( [B, N]  \) tal que \(  \bar{x}= \begin{pmatrix} \bar{x}_B \\ \bar{x}_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}B^{-1}b \\ 0\end{pmatrix}  \), donde \( B \in \mathbb{R}^{m \times m} \) invertible con \( B^{-1}b \geq{0} \), \( N \in \mathbb{R}^{n-m} \) y \(  \bar{x}_B \in \mathbb{R}^m, \bar{x}_N \in \mathbb{R}^{n-m} \) son los vectores correspondientes a \( B \) y \( N \) respectivamente.

La siguiente imagen es una parte de la prueba del Teorema:



Solo que tengo dificultad en ver por qué dicen que sin perdida de generalidad puedo escoger a \( \bar{x}=(x_1, ..., x_k, 0, ..., 0)  \). Por ejemplo, si escojo un \(  \bar{x} \) con todas sus entradas distintas de cero tengo que  \(  A = [B, N] \) (no se modifica la prueba), pero no sé como puedo concluir que \(  \bar{x}= \begin{pmatrix} \bar{x}_B \\ \bar{x}_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}B^{-1}b \\ 0\end{pmatrix}  \).

Muchísimas gracias por la ayuda.

Hola, estoy estudiando el teorema de Hadamard y para ello necesito estudiar el siguiente lema:

Lema:  Sea M, N variedades Riemannianas y sea \( f: M \rightarrow{N} \) un difeomorfismo local. Si M es completa y para todo punto \( p \in M \) y todo \( v \in T_pM \) se tiene \( \left |{df_p(v)}\right | \geq{\left |{v}\right |} \), entonces \( f \) es una aplicación de recubrimiento. (libro Manfredo Do Carmo, Geometria Riemanniana.)

Para probar el lema se utiliza la siguiente propisición: sea  \( \pi: \tilde{B} \rightarrow{B} \) un homeomorfismo local con la propierad de levantar curvas. Si \( B \) es localmente simplemente conexo y \( \tilde{B} \) es localmente conexo por caminos, entonces \( \pi \) es una aplicacion de recubrimiento. Luego, para probar el lema faltaria probar que \( f \) posee la propiedad de levantar curvas.

ideas de la prueba del lema

• Fijamos una curva diferenciable \( c: [0,1] \rightarrow{N} \) con \( c(0)=p \) y consideramos el punto \( q \in M \) tal que \( f(q)=p \).
• Consideramos vecindades \( V\subset{N} \) y \( U \subset{M} \) de \( p \) y \( q \), tal que \( f:U\rightarrow{V} \) es un difeomorfismo.
• Si \( c([0,1]) \subset{V} \), podemos definir la curva de levantamiento como \( \bar{c}=f^{-1}\circ{c} \) y tenemos el resultado.
• Si \( c([0,1]) \not\subset V \) solo podemos levantar un pedazo de la curva \( c \), mediante la curva \( \bar{c}: [0, \epsilon]\rightarrow{M} \) para algún \( \epsilon>0 \). En este caso definimos \(  A  \) el intervalo máximo en el cual la curva \( c \) puede ser levantada.
• Tenemos que \( [0, \epsilon]\subseteq{A} \), podemos probar que \( A=[0,t_0) \), \( t_0 \in (0, 1] \) (es abierto en \( [0,1] \)) y queremos probar que \( A \) es cerrado en \( [0,1] \). Para probar que es cerrado, debemos probar que \( t_0 \in A \). Como \( t_0 \in \bar{A} \), existe una sucesión creciente \(  \left\{{t_n}\right\} \subset{A}  \) tal que  \( t_n \rightarrow{t_0} \). Afirmamos que \( \left\{{\bar{c}(t_n)}\right\} \) es de Cauchy. En efecto, dados \( t_n, t_m \in \left\{{t_n}\right\} \) con \( t_n < t_m \) tenemos
  
   \( d(\bar{c}(t_n), \bar{c}(t_m)) \leq l(\bar{c}\vert_{[t_n,tm]})= \displaystyle\int_{t_n}^{t_m}\left |{\bar{c}^\prime(s)}\right |ds \leq{\displaystyle\int_{t_n}^{t_m}} \left |df_{\bar{c}(s)}(\bar{c}^\prime(s)) \right | ds = \displaystyle\int_{t_n}^{t_m} \left |{c}^\prime(s) \right|ds= l({c}\vert_{[t_n,tm]}).  \)
  
  Luego se afirma que como  \(  \left\{{t_n}\right\}   \) es convergente entonces se tiene que \( l({c}\vert_{[t_n,tm]})\rightarrow{0} \).
  

Mi pregunta es, ¿por qué puedo afirmar lo que está en rojo? y ¿por qué de entrada no puedo usar el mismo argumento para decir que \( l(\bar{c}\vert_{[t_n,tm]})\rightarrow{0} \)?


Agradezco de antemano por las respuestas.

\(  \)

Hola Luis Fuentes gracias por responder.

Ah entiendo, si tiene razón, me estaba complicando demasiado.

Solo me surgue una duda, si me podría ayudar por favor. ¿Qué pasa en el caso \( p=\infty  \)? porque según entiendo la topología débil sería \( \sigma(\ell^\infty,(\ell^\infty)^*) \) y entonces no sé como entender ese \( \ell^q \) que aparece en el ejercicio.

Hola Luis Fuentes. Muchas gracias por su respuesta. 

Pues la verdad es que me sale con el menos, pero si ese signo no importa. Ya con su ayuda sale, gracias de nuevo.

Si que pena se me olvido responder esa parte. En efecto si, estoy trabajando en otro problema y en medio me salio ese resultado, la verdad solo me decian que por la construcción de los \( N_\gamma \) se tenia ese resultado y una de las caracteristicas para mi problema es que son no numerables, así que la coloqué.