Hay lenguajes de programación que de forma nativa permiten trabajar con números enteros grandes.

El lenguaje Python, así como el Mathematica, permiten trabajar de esa manera,
tal que los números enteros tienen (supuestamente) precisión tan grande como uno requiera,
aunque de forma algo lenta a la hora de usarlos en los cálculos.

No obstante, son convenientes para llevar a cabo prácticas de manera entendible, por ser lenguajes de alto nivel.

Con JavaScript también es posible trabajar con enteros de precisición arbitraria
con el tipo de datos nativo BigInt.

En las últimas versiones del lenguaje C aparecen tipos de datos enteros de precisición exacta,
en la forma _BitInt(N), donde N es una expresión constante entera que denota la cantidad de bits del número entero,
aunque con un valor máximo que depende del compilador.
Por ejemplo, el compilador de Intel permite unos 8 millones de bits.

En este caso, cada variable que definas con un tipo de datos _BitInt(N) tendrá una cantidad fija N de bits
a lo largo de todo el programa, por lo cual podrías usarlo si de antemano sabés que tus datos tendrán un tamaño fijo.
Si se requiere datos sin signo, hay que anteponer unsigned, como siempre.

Se habilitan con las opciones de compilación std=c2x o bien c23, etc., según el compilador que uses.

Este tipo de datos permite los cálculos aritméticos usuales, pero.........
tienen el problema de que no hay una manera estándar de imprimir sus valores, por ejemplo con printf().
Lo adecuado aquí sería hacer un type-punning contra un array de bytes
e imprimir los dígitos hexadecimales que se obtengan tras leer tal array.

La historia del video es cierta.

Y Amazon sigue teniendo éxito porque usted consume su producto.

Sí,todo muy lindo.
Pero estás quejándote de lo que no molesta.
No se usa ningún Axioma de Elección en la diagonalización de Cantor.

Por eso no veo por qué tanta insistencia con un dilema que no existe.

Este artículo que trae geometracat viene a decir que la diagonalización no tiene ningún problema.

Y encima hasta lo demuestra.

Estimado RDC.
Alguien te lo tiene que decir.
No sé de dónde sacaste a ese tal McLennan, pero es un idiota.

Carlos, si no entiendes nada de lo que te explico, no sería mejor que buscaras un libro y vieras por ti mismo

A mí me interesa. Recomiéndame un buen libro donde permitan ver eso por uno mismo.

Hola

Cita de: Carlos Ivorra en 24 Marzo, 2024, 12:04 am

También tu cerebro sigue un algoritmo que no tiene nada de novedoso. La cuestión es que hay algoritmos más inteligentes y otros menos inteligentes. Y nada impide que un algoritmo menos inteligente diseñe otro más inteligente. Al fin y al cabo, entre tus antepasados más lejanos encontrarás simios, y tú eres más inteligente que esos simios. ¿Por qué la inteligencia puede surgir de forma accidental en un ser vivo y no puede surgir accidental o premeditadamente en un ordenador?

¡¡Porque uno es un ser vivo y el otro no!!

El ser humano razona, la computadora no. Tenemos descendencia de primates de miles de años, la computadora fue creada hace varios años y en su antigüedad pesaba más que un elefante. No tiene punto de comparación una cosa con la otra. Todo esto lleva a que la computadora no podrá nunca hacer lo que el hombre no es capaz de hacer, porque fue programada por éste. Si sabe hacer algo es porque el hombre también lo podría hacer, dándole más tiempo.

Saludos

Apovechando que este hilo es una feria de temas inconexos, me sumo un rato a esta discusión.

No estoy de acuerdo en afirmaciones que comparan la inteligencia de humanos con máquinas, ni con otros seres vivos tampoco.
El concepto de inteligencia no está bien definido.

Así que por eso me chirrían los dichos de Carlos sobre la inteligencia de las máquinas y los algoritmos.
Un algoritmo es algo expresable mediante el modelo de una máquina de Turing.
Pero no se sabe si el funcionamiento de la mente humana se puede expresar de esa forma.

Tampoco la inteligencia artificial es un algoritmo, porque las decisiones que toma no son deterministas, ya que aparece el factor aleatorio en el entrenamiento de de ellas.

En cuanto a la objeción de manooooh, no la considero válida como objeción.
Pues está diciendo que las máquinas no razonan porque no están vivas.
En ese caso, habría que definir qué es un razonamiento.
Si se trata de un razonamiento formal, está definido mecánicamente,
y sería posible realizar un algoritmo (lento y por fuerza bruta)
que vaya seleccionando sentencias de una teoría axiomática,
agotando posibilidades, hasta llegar a una cadena finita de símbolos que denoten una sucesión de sentencias que constituyen una demostración.

El software de nuestros días de inteligencia artificial se enfoca en reconocimiento del lenguaje, cosa que algunos llaman "un loro estadístico".

Eso no alcanza para decir que la inteligencia artificial "entiende' el lenguaje,
o que el software da muestras de entendimiento,
pues para empezar, no está bien definido lo que significa "entender algo".

_______________

Por otra parte, tanto las computadoras en general, como los programas de inteligencia artificial, tienen un diseño que podemos entender (hasta cierto punto),
pero el funcionamiento del cerebro de los seres vivos no se puede disecar de la misma manera.

La única manera de decir que un software tiene "inteligencia" es que al interactuar con él nos engaña haciéndonos creer que es humano.
Pero de otro modo, no sabríamos cómo reconocer que algo tiene inteligencia,
porque la inteligencia no está bien definida como concepto.

Richard: la Metamatemática es una rama de la Matemática que, entre otras cosas, y principalmente, sirve para estudiar el correcto fundamento de las teorías matemáticas formales, como el caso de la teoría de conjuntos.

Parte de la metamatemática es el uso de entes concebidos mentalmente, sin definición ni axiomatización previa.

Entre esos entes mentales estaría la intuición kantiana de tiempo.
Y cabría preguntarse si eso juega o no un rol en la Metamatemática.
El tiempo está involucrado parcialmente en cosas como las secuencias de números naturales,
o en el ordenamiento de pasos en un proceso, tal como un algoritmo o una demostración,
y en general en cualquier cosa en la que el ordenamiento de los objetos involucrados sea esencial.

Que haya una relación posible, no significa que haya obligación de uso.
Pero eso ya es parte de la discusión y de la opinión de cada cual.

Cita de: Richard R Richard en 24 Marzo, 2024, 02:11 pm

Hola. Les presento mi punto de vista, bastante  en desacuerdo  con lo que se viene ahora pronunciando, pero no tanto al principio.
Pregunto , antes de Galileo, la cinemática de los cuerpos en caída libre vista por los humanos era diferente? Digo los verían caer más rápido o más lento que lo que los vemos caer hoy, caían en diagonal y Newton lo corrigió? No. Que sea $$1/2g t^2$$ la forma en que represetamos la posición respecto del tiempo,  no tiene nada que ver con que las matemáticas tengan ingerencia en los proceso físicos naturales.

Lo siento, no entiendo nada de lo que dices ahí. Nadie habló nada de injerencias de la matemática en lo físico y no puedo imaginar lo que pueda significar eso

Yo tampoco entendí nada. 

Hay que entender qué es lo que se pretende acá por "tiempo".

El tiempo como magnitud física, medida con relojes,
es un aspecto de la naturaleza cuya íntima realidad no se puede entender,
salvo por la sucesiva aproximación de las teorías físicas que intentan explicarlo.

Las teorías físicas sobre el tiempo pueden cambiar según los autores y el momento histórico.
Es decir, no hay un concepto fijo de "tiempo físico teórico",
sino teorías que explican mejor o peor una cosa en sí misma inentendible del todo,
que es la magnitud tiempo.

La experiencia de los procesos físicos deja huella en los seres vivos.
En particular, los humanos tenemos una comprensión somera del transcurso del tiempo,
la cual usamos para lidiar con los diversos problemas que nos presenta la existencia.
Eso es lo que llamaríamos "tiempo psicológico".

Las distintas ideas o impresiones que tengamos sobre el tiempo pueden tener diferencias entre distintas personas, y esto depende de la capacidad de memorizar que tenga cada cerebro, y del cúmulo de experiencias de cada personas.
En culturas antiguas la percepción del tiempo era circular,
porque la experiencia mostraba que los procesos naturales se repetían: salida y puesta del Sol, fases de la Luna, estaciones, movimientos estelares, etc.

No sé a partir de qué época el tiempo empezó a tomarse de manera lineal.
A partir del registro de hechos de forma histórica, es claro que el tiempo ya no puede considerarse de forma cíclica culturalmente hablando.

A lo que quiero llegar es al tiempo según Kant,
quien afirma que el tiempo es una intuición pura de caracter a priori con la que estructuramos nuestra comprensión de la realidad (junto con la intuición de espacio).

Claramente, la intuición pura de tiempo de Kant, por ser de carácter mental,
es parte de nuestra percepción psicológica de tiempo.
No es el tiempo intrínseco de la naturaleza (si es que eso existe),
ni el tiempo como magnitud medido experimentalmente por relojes,
ni los distintos tiempos según aparezcan en diversas teorías físicas,
ni el tiempo psicológico en un sentido amplio y variopinto,
sino una especialización, una parte concreta del tiempo psicológico que,
suponiendo que tal cosa tenga pleno sentido,
es una intuición pura compartida por todos los humanos.

Todas esas nociones distintas de tiempo están relacionadas unas con otras,
se influencia entre sí.

Para que el tiempo intuitivo a priori de Kant tenga sentido,
tiene que existir primero la mente humana, que previamente haya tenido una experiencia marcada por fenómenos físicos, entre ellos, el tiempo físico.

El inconveniente es que Kant dice que el tiempo intuitivo puro existe antes que la experiencia, porque tiene carácter "a priori", es decir, tiene que existir como condición necesaria para luego poder estructurar los fenómenos de los que vamos a teorizar después.

Esto no significa que el tiempo intuitivo ejerza una "injerencia" sobre el tiempo físico.
Yo lo que entiendo que ocurre acá es que, tras varias experiencias difusas y complejas de un cerebro humano, interactuando con los fenómenos físicos,
se termina obteniendo una idea intuitiva en forma de "síntesis" de todas esas experiencias.

Esa síntesis forma un "marco temporal intuitivo", que se usa luego como una vara mental de medir.

Y cuidado que dije "vara de medir" y no "regla de medir",
porque el tiempo intuitivo no es capaz de "partir el tiempo" en unidades precisamente delimitadas, sino que "a ojo" es capaz de ordenar fenómenos
de modo de intercalar sucesos que vinieron antes, respecto otros que vendrán después.
Se pueden hacer algunas generalizaciones más, para no sé qué más se pueda hacer.

Por ejemplo, pensar el tiempo Kantiano como un "continuo", no sé si tiene sentido,
ni tampoco utilidad alguna.
Los fenómenos que son "continuos" (como inflar un globo) corren en paralelo al continuo del tiempo.
No hay metamatemática basada en esto que yo sepa.

Sin ser filósofo, y sin haber leído mucho a Kant (honestamente hablando),
y tratando de hacerme a la idea de qué sentido tendría un tiempo intuitivo puro,
entiendo que tiene un atributo muy llamativo:
es uniforme, vale decir, esa síntesis de la que hablaba termina siendo la misma para todo el mundo, así como todo el mundo reconoce el verdor de una lechuga,
aún cuando no sabemos cómo percibe internamente el verde cada persona,
todos señalamos a los mismos objetos cuando nos preguntan cuáles son verdes.
Lo mismo sucede con el tiempo kantiano: pareciera ser que el entendimiento sintético del tiempo es el mismo para todos.

Sigo sin creérmelo demasiado, porque se me escapa comprender qué es exactamente,
qué características tiene, o cómo funciona.

Citar

Si es cierto que usamos matemáticas para modelar dichos procesos, pero una simple suma de valores definidos como entropia no son suficientes  para que se concluya que en el  universo dicha suma deba ser siempre mayor a cero, es decir que se cumpla el segundo  principio de la termodinámica.

Tampoco entiendo esta frase ni qué pinta la termodinámica en una discusión sobre metamatemática.

Yo tampoco entiendo.

No obstante, la termodinámica forma parte de qué cosa es el tiempo como magnitud física.
No le veo sentido hacer que eso forme parte de la discusión de un tiempo metamatemático.

Citar

La matemática es atemporal y aespacial si cabe el término...1+1 ha sido igual a 2 antes, ahora y lo será siempre, también aquí ,allí ,en la China o en Marte.
El tiempo es una característica básica del universo como lo es el espacio

De acuerdo, esto es un punto de partida básico.

Yo acá ya no estoy de acuerdo.

Es verdad que, antes que existan la matemática y la humanidad,
si se juntanba 2 moléculas de agua con otras 2, entonces daban 4 moléculas de agua.

Lo que no es cierto es que existieran el 2 y el 4,
pues son conceptos que fueron inventados por la mente humana.

Citar

y las matemáticas nos sirven para medir y en cierta forma para explicarlo, pero no para definirlo.

Aquí discrepo, el tiempo se mide con relojes, ¿no?     

Jeje. Buena observación.
El reloj hace la medición, y el resultado de esa medición son números.
Un escribano puede dar cuenta de esos números, no hace falta un matemático.

La matemática se usará para elaborar una teoría física sobre dichas mediciones.

No es obligatorio que una teoría física use matemáticas,
aunque en nuestra época pareciera que no se acepta otra opción
(también es difícil imaginar otra forma de teorizar la física...).

Citar

Respecto a usar enteros, racionales, o reales para medir, todavía no está claro, no hay procesos físicos distinguibles por debajo de $$1\times10^{-34}$$ de lo que hoy definimos como un segundo, así que suponer saltos o discontinuidad por debajo de esos valores no trae complicaciones a ninguna teoría  física.Solo hay que justificar  la elección, aportando pruebas.
Por otro lado justamente es el segundo principio de la termodinámica el que nos orienta en el sentido  de evolución de tiempo, pues  si el jarrón se cae y se rompe es mucho más probable que, desde el suelo se junten, se armen y se unan sus átomos ,que luego ascienda por el aire y se pose en la mesa.

A esto tampoco le veo mucha relación con la discusión de este hilo.

Tal vez sí esté muy relacionado con el tema del hilo.
La intuición que tenemos de tiempo se ha forjado en base
a experiencias temporales previas que involucran las leyes de la termodinámica.

Ahora bien, es curioso como el mismo ejemplo que pone Richard
muestra la diferencia entre tiempo físico y tiempo intuitivo.
En la realidad física no es posible que el jarrón roto en el piso se alce de nuevo hasta la mesa para recuperar su forma original.
Sin embargo, la intuición de esa secuencia "invertida" sí que es posible en la imaginación.

El tiepo intuitivo es reversible, y eso muestra claramente que ya no tiene nada que ver con el tiempo físico.

Citar

Yo no he visto a ningún avión que sea más inteligente que un humano y sin embargo el avión puede volar solo y un humano no.
Sigo esperando  al humano que si pueda volar por las propias.
Un avión no deja de ser una máquina creada por el hombre como lo es un ordenador.
Así que si una máquina halla un cero de la función de Riemann cuyo parte real no sea 1/2, no implicará que la máquina  sea la inteligente, el inteligente es el que la diseñó, porque la máquina no va a decidir por si sola que hoy es un buen día para calcular ese valor y va ha hacer prueba y error hasta que lo logre, alguien le programó, para decidirlo y para que intente dar solución con un método o algoritmo,  o para que ella misma elabore un algoritmo a medida que su experiencia  en prueba y error le amerite por programación autoajustarse.
Que una máquina sea rápida no implica que sea inteligente, el inteligente es el que hizo una máquina  rápida.
Que detecte tumores por comparación visual,  es porque un médico le dijo que tipo de patrón es un cáncer y que patrón no, así  que el que programa algo de medicina tiene que saber más allá  de comparación  de patrones en imágenes, que lo haga más rápido y fiable que un humano en 3d, no implica que la máquina es inteligente,  somos inteligentes al crear y usar la máquina para resolver problemas.

Está parte sobre IA la veo un poco desconectada del tema así que no entro aquí.

Coincido en que está desconectado del tema.

Pero puede formar parte de él,
ya que se habla mucho de la IA últimamente,
y me pregunto cómo entrenar a una IA para que tenga una intuición del tiempo como la humana,
si ni siquiera somos capaces de distinguir o entender nosotros mismos qué significa
concretamente esa cosa llamada intuición de tiempo.

Yo daría una respuesta doble a la pregunta: sí y no.

Nunca se puede dar un modelo riguroso de la realidad,
porque la realidad en forma exacta y perfecta no la conoce nadie.

En mi opinión, lo más sano y acertado
es considerar los modelos de ingeniería de la misma manera
en que se aborda el método científico de cualquier ciencia empírica,
con la salvedad de que el ingeniero tenderá a hacer teorías y modelos
que van variando con más rapidez que las sólidamente establecidas teorías científicas.

La cuestión es establecer qué te interesa modelar,
con qué variables matemáticas representarías los entes de ese modelo,
y cuáles son las relaciones matemáticas que crees que hay entre las variables.

Un "modelo" es una "teoría" de un fenómeno real.
Tu modelo estará sujeto a verificación experimental,
hasta que consiga tener un grado aceptable de predicción acertada.

Las variables matemáticas son "varas de medir",
pero no son "la cosa en sí" que estás midiendo con ellas.

Ahora bien.
Hay una dificultad básica en decidir cuáles variables te interesan.
Porque a lo mejor los datos que te interesan son difíciles de medir,
y hay que conformarse con las variables que uno es capaz de medir.
Y luego extraer las conclusiones que se pueda.

Un sistema posiblemente tenga millones de variables que lo describan.
Pero un humano no es capaz de aislar todas esas variables.
Así que hay que tener un cierto "arte" de saber reconocer cuáles son las variables más relevantes del sistema, y cuidar de no descartar ninguna variable importante.

Las demás variables se pueden amontonar en un sólo término restante de "error" o algo por el estilo, o simplemente poner un 0 ahí.

Las relaciones entre las variables deben expresarse matemáticamente,
procurando reflejar las relaciones esperadas entre ellas.
Para esto también se requiere algo de "arte", y se consigue con la práctica,
estudiando ejemplos de modelos que ya sean conocidos.

Una vez establecido el modelo matemático,
procederás a ponerlo a prueba con experimentos,
y ver en qué grado el modelo acierta los resultados.
Si el error relativo es algo, habrá que revisar en qué falla el modelo,
y comenzar de nuevo.
Esto se repite cícilicamente hasta alcanzar un modelo aceptable para uso público.

A veces hay un costo inaceptable en la realización de experimentos,
y se procede a llevar a cabo simulaciones por computadora.
En otras ocasiones las computadoras son necesarias para aproximar funciones numéricamente ya que la verdadera función matemática es complicada de expresar algebraicamente, o es demasiado desconocida.

Hay métodos para mejorar los modelos sistemáticamente,
como los ajustes por mínimos cuadrados,
o ajustes estadísticos de todos los gustos.

Es decir. Lo importante es siempre recordar que el modelo matemático puede tener un alto grado de acierto siempre que uno lo perfeccione continuamente,
pero nunca hay una equiparación exacta entre matemática y realidad.
Y el ajuste entre modelo y realidad no es espontáneo, sino que requiere un trabajo de prueba y error, experimentación, reflexión y ajuste.

O sea, que tendrás que pensar como un ingeniero después de todo.

Richard:

El símbolo \(\infty\) no tiene nada especial.
Es un símbolo como cualquier otro.
Es tan insulso como el símbolo 木,
un caracter chino que vaya uno a saber qué diablos significa.

Los símbolos son trazos que no significan nada en un principio,
y luego se les otorga un significado.
Ese significado tiene que estar bien definido.

Si le asignás un símbolo a algo "difusamente definido",
entonces estás haciendo algo que es lógicamente inválido.

___________________

Ahora bien.
Tratando de discernir qué es lo que has tratado de hacer,
se puede llevar la discusión para otro lado.

Estás usando un símbolo fijo para un concepto, según tus palabras, o mejor dicho,
para designar un objeto definido según un concepto o algo por el estilo:
el último elemento de un conjunto.

Consideremos la familia de conjuntos siguiente:

A = {2,3,5}
B = {3,5,7,11}
C = {7,11,13,17,23}

Es claro que cada uno de esos conjuntos tiene último elemento.

El concepto de "último elemento" es variable,
pues es distinto en cada uno  de esos conjuntos.

Entonces lo que en realidad estás haciendo, o te convendría hacer,
es aprovechar la noción de función.

Sea X el conjunto de conjuntos X = {A,B,C},
y sea N el conjunto de números naturales.

Se puede definir la función f con dominio X y codominio N,
tal que para cada conjunto E que pertenece a X, la imagen f(E) sea el último elemento de E.

Entonces, estarías hablando con precisión del último elemento de cada conjunto,
estaría correctamente expresado, y tendría el valor correcto para cada caso:

f(A) = 5
f(B) = 11
f(C) = 23

___________________________________________________

Así que, en vez de usar un símbolo \(\infty\) para denotar un ente "que varía con cada conjunto",
mejor expresar el último elemento con una función de conjuntos.

El inconveniente acá es que, cuando pretendas hacer eso con conjuntos infinitos,
te vas a topar con varias imprecisiones que tendrás que aclarar.
El ejemplo que te puse está armado muy a propósito para que todo cuadre.

Ahora te voy a castigar un poco, para que ya no cuadre nada.

Supongamos que el conjunto E es una circunferencia.
¿Cuál es su "último" elemento?
Mmmmmm.

No hay manera directa de establecer un primero o un último elemento en una circunferencia.
Por lo menos, no de forma honesta.

El problema ahí es que una circunferencia es un conjunto que no tiene asociada una relación de orden.

Así que, si pretendieras definir el valor de f(E), diciendo que es el último elemento de E,
no tendría ningún sentido.
La función estaría mal definida,
y eso es porque está mal definido a lo que le llamás el "'último elemento" de un conjunto.

Por eso, primero tenés que tener claro si está hablando de un conjunto ordenado,
y además si con dicho orden, tu conjunto tiene último elemento.

Sería igual de impropio hablar del "primer entero negativo".

Aceptar de plano "el objeto que cumple una cierta propiedad", que puede no cumplir,
te arrastra a una falacia, que consiste en asumir de manera vedad, implícita, que algo es verdad.
En este caso, la afirmación implícita es que todo conjunto tiene último elemento.
Es una creencia injustificada y falsa.


_____________________________

Un conjunto nunca está ordenado.
Si a un conjunto se le agrega una relación de orden, entonces forma un "conjunto ordenado",
o también se le dice "sistema ordenado".

Seguidamente ocurre que, aún si un conjunto está ordenado,
no necesariamente tiene un último elemento.

Tomemos el conjunto E = [0,1],
es decir, el intervalo [0,1] de números reales,
y asumamos que tenemos el orden usual de la recta
(que equivale a ordenar en forma de diccionario siguiendo los decimales de cada número).

Es claro que E, como sistema ordenado, tiene un último elemento, que es u = 1.

Si ahora formo el conjunto U = [0, 1),
es decir, el conjunto E, a quien le he quitado el 1,
sigue siendo un sistema ordenado.
¿Pero tiene un último elemento?

Ahora te pongo otro conjunto:

V = (0,1) U [2,3).

Es decir, la unión del intervalo abierto (0,1) y el semiabierto [2, 3).
¿Tiene primer elemento?
¿El número x = 2 pertenece a V?
¿Hay en V un elemento que sea inmediato precedente de 2?

Otro ejemplo.
Cada intervalo \(I_k = [0,1-(10)^k]\), para \(k=1,2,3,...\), tiene un último elemento.
Esos "últimos elementos" serían 0.9, 0.99, 0.999, etc., obviamente.

Ahora me formo un conjunto que es la unión de todos ellos:

\[E=\bigcup_{k=1}^\infty I_k.\]

¿Qué conjunto es \(E\)?
¿Tiene \(E\) un último elemento?

____________________________